高中数学选修4-421曲线的参数方程

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1、-1-第二讲参数方程-2-一曲线的参数方程-3-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页-4-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1.参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 ,并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普

2、通方程.(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有几何意义或物理意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.-5-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页-6-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页-7-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页做一做1以下表示x轴的参数方程的是()答案：D-8-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIA

3、NCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页2.圆的参数方程(1)如果在时刻t,圆周上某点M转过的角度是,坐标是(x,y),那么=t(为角速度).设|OM|=r,那么由三角函数的定义,有cos t=(t为参数).这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点做匀速圆周运动的时刻).(2)若取为参数,因为=t,于是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为 (为参数).其中参数的几何意义是OM0(M0为t=0时点M的位置)绕点O逆时针旋转到 OM 的位置时,OM0转过的角度.-9-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DA

4、YIJIEHUO答疑解惑首页-10-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页3.参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么 就是曲线的参数方程.(3)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.-11-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYI

5、JIEHUO答疑解惑首页-12-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页做一做3(1)将参数方程 (为参数)化为普通方程是;(2)直线y=2x的一个参数方程可以是.解析：(1)由于sin2+cos2=1,所以x+y=1,并且0 x1.(2)设t为参数,令x=t,则y=2t,答案：(1)x+y=1(0 x1)-13-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)参数方程是通过

6、参数反映坐标变量x,y之间的间接联系.()(2)参数方程中的参数没有任何意义.()-14-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析参数方程的概念参数方程的概念【例1】已知曲线C的参数方程为 (t为参数).(1)点M(0,4)是否在曲线C上?(2)若点(a+2,4a)在曲线C上,求实数a的值.分析：(1)通过参数t的值进行判断;(2)建立实数a的等式求解.-15-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三

7、思维辨析-16-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知某条曲线C的参数方程为 (其中t为参数,aR).点M(5,4)在该曲线上,求常数a.-17-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析圆的参数方程及其应用圆的参数方程及其应用【例2】导学号73760020圆的直径AB上有两点C,D,且|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点,求|PC|+|PD|的最大值.分析：先建

8、立平面直角坐标系,将点P的坐标用圆的参数方程的形式表示出来,为参数,那么|PC|+|PD|就可以用只含有的式子来表示,再利用三角函数等相关知识计算出最大值.-18-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解：以AB所在直线为x轴,以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系(如图),则点C(-1,0),D(1,0).因为点P在圆上,所以可设点P的坐标为(5cos,5sin).-19-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页

9、探究一探究二探究三思维辨析-20-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图所示,已知点Q是圆x2+y2=4上的动点,定点P(4,0),若点M满足 ,求点M的轨迹的参数方程.解：设点M的坐标为(x,y),xOQ=,则点Q的坐标为(2cos,2sin).-21-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化【例3】(1)将下列参数方程化为普通

10、方程,并说明方程表示的曲线.(2)设x=2cos,为参数,求曲线4x2+y2=16的参数方程.分析：对于(1),只需消去参数,建立x,y的等式即可;对于(2),将x=2cos 代入曲线方程进行求解.-22-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解：(1)由已知得t=,将其代入y=4t中,得4x+3y-4=0.故所求的普通方程为4x+3y-4=0,它表示的是一条直线.由y=-1+cos 2可得y=-2sin2,把sin2=x-2代入y=-2sin2可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0.因

11、为2x=2+sin23,所以所求的普通方程是2x+y-4=0(2x3),它表示的是一条线段.-23-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析-24-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线.-25-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维

12、辨析-26-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析忽视参数的取值范围致误 正解由于0t,则-1cos t1,0sin t1,所以-3x5,-2y2,于是(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16.因此普通方程为(x-1)2+(y+2)2=16(-3x5,-2y2),它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,半径为4的上半圆.-27-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析-2

13、8-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练将方程 (t为参数)化为普通方程,并说明方程表示什么曲线.-29-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 4 51.当参数变化时,由点P(2cos,3sin)所确定的曲线过点()解析：令2cos=2,得cos=1,从而sin=0,即3sin=0,所以曲线过点(2,0).答案：D-30-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIAN

14、CE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 4 52.圆(x-1)2+y2=4上的点可以表示为()A.(-1+cos,sin)(为参数)B.(1+sin,cos)(为参数)C.(-1+2cos,2sin)(为参数)D.(1+2cos,2sin)(为参数)答案：D-31-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 4 53.将参数方程 (为参数)化为普通方程是()A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2x3)D.y=x+2(0y1)解析：由于0sin21,所以x=2+sin22,3,故普通方程为

15、y=x-2(2x3).答案：C-32-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 4 54.将参数方程 (为参数)化成普通方程为.解析：因为 cos2+sin2=1,所以x2+(y-1)2=1.因为-1cos 1,-1sin 1,所以-1x1,0y2.故所求的普通方程为x2+(y-1)2=1(-1x1,0y2).答案：x2+(y-1)2=1(-1x1,0y2)-33-一曲线的参数方程XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 4 55.已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上任意一点P(x,y),求x+y的最值.