01第一讲__极限及其相关问题

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1、第一讲 函数、极限与持续考纲规定1.理解函数的概念，掌握函数的表达法，会建立简朴应用问题的函数关系.2.理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，理解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会运用它们求极限，掌握运用两个重要极限求极限的措施.8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较措施，会用等价无穷小求极限.9.理解函数持续性的概念（含左持续与右持续），会鉴别函数间断

2、点的类型.10.理解持续函数的性质和初等函数的持续性，理解闭区间上持续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.一、函数问题1 如何求函数的定义域？答 求定义域的环节是：根据运算规定（如分式规定分母不等于零，开偶次方规定被开方数不小于等于零，对数规定真数，反正弦规定等）列不等式（组）解不等式（组）例已知，求的定义域；设，求的定义域.问题2 已知函数，如何求复合函数？答 用代入法，即以替代中的，就可以求出.例已知 求；设，求.问题3 已知复合函数，如何求函数？答 用换元法，即令，代入，求出，就可以求出.例已知 ， 求；设，求.问题4 已知函数，如何求其反函数？答 求反

3、函数的环节是：先由解得，再互换，得其反函数.例求的反函数；求的反函数.问题5 如何将表达到分段函数的形式？答 核心是找出分段函数的分段点，的分段点是使的点，的分段点是使的点，的分段点是使取整数的点，的分段点是使的点.例 将下列函数表达到分段函数：；.问题6 论述函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义.答 有界性：设函数在上有定义，如果存在，使得，均有，则称在上有界.单调性：设函数在区间上有定义，如果，当时，总有，则称在上是递增的. 如果，当时，总有，则称在上是递减的.奇偶性：设函数的定义域有关原点对称，如果，总有，则称是偶函数，如果，总有，则称是奇函数.周期性：设函数的定义域为，如果存在，使

4、得，均有，则称是周期函数.问题7 论述基本初等函数和初等函数的定义.答 基本初等函数是指：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，读者要会画它们的图形，并通过图形记住它们的性质.初等函数：由常数和基本初等函数通过有限次四则运算，有限次函数复合得到的，能用一种式子表达的函数称为初等函数.二、极限问题8 如何理解极限的定义？答 极限的定义诸多，但重要的是如下四个：定义1 当时，有.定义2 当时，有.定义3 当时，有.定义4 当时，有.觉得例，表达自变量时，相应的函数值无限接近一种常数，即与的距离可以任意小，也就是说，只要和接近到一定限度，就可以不不小于任何正数，即当时，有或者.取，有，得

5、局部有界性；若，取，有，得局部保号性；若，取，则有，由此可见，函数的极限反映的是函数的局部性态.2.左右极限左极限，右极限.问题9 极限与左右极限有何关系？哪些情形下规定左右极限？答 极限与左右极限的关系是：.求分段函数分段点的极限时，如果分段点两側函数体现式不同步，规定左右极限，此外，型极限规定左右极限.例设求；求.问题10 论述极限的性质.答 数列极限的性质如下：性质1（唯一性）如果数列收敛，则它的极限是唯一的.性质2（有界性）如果数列收敛，则数列一定有界.由此可得：无界数列必发散.性质3（保号性）如果且，则存在，.由此可得：如果，且，则.性质4（子数列的收敛性）如果数列收敛于，则它的任一

6、子数列也收敛于.特别，若，则函数极限的性质如下：性质1（唯一性）如果存在，则极限是唯一的. 性质2（局部有界性）如果存在，则在某内有界. 性质3（局部保号性）如果且，则在某内，.推论 如果，且在某内，则.性质4（ 函数极限与数列极限的关系）设存在，且，则.例 有界数列与否一定收敛？阐明理由.答 收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛，例如摆动数列有界，但是不收敛.问题11 若而不存在，有何结论？若，,而，有何结论？答 若而不存在，则不存在.若，,而，则不存在.请读者用反证法证明之.读者可以运用上述结论证明不存在.问题12 论述极限的运算法则.答 极限运算法则是极限运算的理论基本，对的使用法则才干

7、求出对的的成果.常用的极限运算法则有：定理1（极限的四则运算法则）设函数和在点有极限，则；,其中为常数；,其中.定理2（复合函数的极限运算法则） 设，且在点的某去心邻域内有，则复合函数当时的极限存在，且.定理3（幂指函数极限法则）设，则.定理4（洛必达法则）如果（1）为或者型；（2）存在或者为无穷大，则=.问题13 若，存在，问与否存在？若，存在，问与否存在？答 若，存在，一定存在，由于由极限运算法则知存在.若，存在，不一定存在，由于由极限的运算法则知不一定存在，例如，而不存在.问题14 极限的四则运算法则和幂指函数极限法则的条件是什么？有何作用？答 极限的四则运算法则和幂指函数极限法则的条件

8、是：各函数的极限都存在，分母的极限不为零，底的极限不小于零，法则的作用是：将复杂极限分解为简朴极限，从而简化极限的运算.问题15 论述极限存在准则.答 定理5（单调有界准则）单调有界数列一定收敛.注：若递增，且有上界，则存在且；若递减，且有下界，则存在且.定理6（夹逼准则）设数列，满足：（）；，则.问题16 求极限有哪些措施？答 求极限是重要的考点，必须纯熟掌握各类极限（特别是不定式）的求法. 与极限有关的考点尚有： 拟定极限式中的常数（极限的反问题）、已知一种极限，求另一种极限、无穷小比较、持续性的讨论、间断点的分类、可导性的讨论、渐近线、用极限定义函数、用极限研究函数的局部性态等.求极限的

9、措施有：极限的定义持续的定义导数的定义（增量比的极限）定积分的定义（积分和的极限）两个重要极限（类型与形式的统一：，（）无穷小与有界函数的乘积是无穷小单调有界准则（证明极限存在，常用于求递推式的极限）夹逼准则(合适放缩)极限存在的充要条件（极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等）初等变形（根式有理化、对数恒等式等）变量替代（倒代换、线性代换等）极限运算法则（极限都存在，且分母极限不为零时才干使用）等价无穷小代换（只有商或者积的分子、分母的无穷小因子才干代换）洛必达法则（合用于或者且导数之比的极限存在或者为）微分中值定理泰勒公式（五个函数的麦克劳林公式）积分中值定理问题17 求极限时，如何对的

10、地使用等价无穷小代换？答 等价无穷小代换是简化极限运算的重要措施，使用时要注意两点：记住常用的等价无穷小：当时，其中无穷小改为无穷小时各式仍成立.这种措施只有在求商或者积的极限时才干使用，且只能将商或者积的分子、分母中的无穷小因子进行等价无穷小代换.常用的错误有：（不是无穷小因子不能代换）（幂指函数不能代换）问题18 如何求不定式的极限？答 不定式有七种类型：、，其中、是两种基本类型，其他五种不定式均可化为、，措施如下：型：；型：（一般运用通分、根式有理化、倒代换）；、型：（幂指型一般运用对数恒等式）.求不定式的极限，不能直接使用极限的四则运算法则和幂指函数法则，一般要综合运用初等变形（根式有

11、理化、对数恒等式等）、变量替代（倒代换、线性代换等）、极限运算法则、等价无穷小代换、洛必达法则，先化简，再计算.例1. 2. 解 【无穷小一般化为，以便等价无穷小代换】（初等变形，极限法则）（等价无穷小代换）.（洛必达法则）3. 4. .解 【型极限一般用通分化为或者】（通分，化为）（分解因式，等价无穷小代换）（极限运算法则，分解为两个简朴极限）.（洛必达法则）5. .解 【幂指函数一般采用对数恒等式转化】（对数恒等式）（等价无穷小代换）.（洛必达法则）6. .解 【这种类型的极限，必须考虑单侧极限】左极限，右极限，由极限存在的充要条件，得.7. .解 【若，则. 运用此结论将数列的极限问题转

12、化为函数的极限问题，以便运用洛必达法则】（倒代换）（第二个重要极限），（洛必达法则）由函数极限与数列极限的关系知.问题19 如何求和的极限？答 求和的极限，常用措施有：先求和（等差、等比、裂项相消、错位相减），再求极限；夹逼法(核心是合适放缩)；定积分（合用于积分和，见第三讲问题9）.例题 1. () 【】2. 【】问题20 如何运用递推式求极限？答 当数列由递推式给出时，必须先证明极限存在（常常运用单调有界准则），再运用递推式求极限.例1设，求. 【】2设，求. 【】3设，求. 【】问题21 如何拟定极限式中的常数？答 拟定极限式中的常数，核心是找到所求常数满足的等式（方程），除了运用已知极

13、限外，还要善于发现极限式中隐含的信息，如若存在且，则；若存在且，则.例 1已知，求常数 【】2.已知，求常数 解 ，（否则，与矛盾），故.将代入，得.问题21 如何从已知极限求另一种极限？答 核心是从已知极限中找出所求极限的有关信息，请看下面的例题.例1已知，求. 【】2. 已知，求. 【】解 【规定，核心是验证，并求】由，得，由此得，并由，得， 故.问题22 何谓无穷小比较？如何进行无穷小比较？答 所谓无穷小比较就是比较无穷小趋于零的速度的快慢，进行无穷小比较，核心是求它们比值的极限：设是在自变量的同一变化过程中的两个无穷小，若，则称是比高阶的无穷小，记作；若，则称是比低阶的无穷小；若，则称

14、是与同阶的无穷小；若，则称与是等价的无穷小，记作；若则称是的阶无穷小.在比较多种无穷小的阶时将它们逐个与基本无穷小比较；若时，是基本无穷小的阶无穷小，则是的阶无穷小，故无穷小阶的比较可以转化为它们的导数的阶的比较.例 1设时，是比高阶的无穷小，求常数 【】2设时，与是同阶无穷小，则 . 【】3.试拟定常数，的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小. 三、持续性问题23 如何判断函数的持续性？答 一方面要理解函数在一点持续和在一种区间上持续的定义：函数在点持续，函数在一种区间上持续是指它在这个区间上每一点都持续（在区间端点指单側持续），由于初等函数在其定义区间上持续，重点是判断分段函数分段点的持续性

15、.例 设 拟定使在其定义域内持续.解 持续，持续，要使在其定义域内持续，只要在左持续和在右持续，在左持续，在右持续，故.问题24 如何判断间断点类型？答 间断点分类原则是：间断点处的左、右极限与否都存在，若函数在间断点处的左、右极限都存在，则称为第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），否则称为第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点等）.要判断间断点类型，核心是求出间断点处的左右极限.例1.求在内的间断点并判断其类型.2设，补充定义，使在上持续.解 在上持续，要使在上持续，只要在左持续，即，故.问题25 如何求曲线的渐近线？答 曲线的渐近线有三种：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线，可按如下顺序求出

16、：水平、垂直、斜渐近线. 求法如下：设曲线的方程为.若（，），则是曲线的水平渐近线；若（，），则是曲线的垂直渐近线（为的无穷间断点或者是定义域的端点）；若，（单側极限也可以），则是曲线的斜渐近线.注意 在同一过程中，有水平渐近线就没有斜渐近线.例题1曲线的斜渐近线方程为 . 【】2曲线的渐近线方程为 . 【；】问题26 如何解决含参数的极限（极限定义的函数）？答 解决极限定义的函数（含参数的极限），一般是先求出极限（此极限一般与参数的符号、大小有关，要对参数进行讨论），化为一般的函数，读者应通过例题掌握含参数极限的求法.例1求的间断点并指出其类型. 【第二类】2讨论的持续性. 【持续】3设，求

17、.问题27 如何运用极限的保号性研究函数的局部性态？答 核心是运用极限的保号性：若，则在某内，得到一种不等式，再结合其他知识，得到函数的局部性态.例1.设，则在（ ）.（A）可导，且 （B）取极大值 （C）取极小值 （D）不可导 【B】2.设在内持续，且，则在（ ）.（A）可导，且 （B）取极大值 （C）取极小值 （D）不可导 【C】问题28 论述闭区间上持续函数的性质.答 闭区间上持续函数的性质是微积分理论的重要构成部分，它们是证明微分中值定理和积分中值定理的基本.论述如下：定理1（有界性定理）如果函数在闭区间上持续，则它在上有界.定理2（最大值和最小值定理）如果函数在闭区间上持续,则它在上有最大值和最小值.定理3（零点定理）如果函数在闭区间上持续，且，则至少存在一点，使.定理4（介值定理）如果函数在闭区间上持续，且，则在上必获得介于之间的任何一种值.推论 如果函数在闭区间上持续，则在上必获得介于它的最大值和最小值之间的任何一种值.