关于无穷级数求和问题的探讨毕业论文.doc

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1、关于无穷级数求和问题的探讨 方先锋（莆田学院数学系 指导教师：林美琳）摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容,无穷级数的和对于研究无穷级数的特性、函数敛散性、近似计算等都有重要的作用，本文介绍了无穷级数求和的一些方法，如裂项相消法、逐项微分或积分法、转化为函数项级数求解法、利用子列的极限等等，以及这些方法在具体例子中的应用，其目的是为了让读者更加熟练地掌握无穷级数求和方法及技巧，从而进一步促进其对该知识的学习和理解无穷级数，为以后更深入的学习数学做好准备。关键字：级数求和;逐项积分;函数项级数;拉普拉斯变换Abstract: Infinite series is an important p

2、art of mathematical analysis, infinite series and for research the characteristics, function infinite series converges scattered sex, approximate computation has important effect, this paper introduces some methods of infinite series summation, such as Cancellation Method of Splitting, item by item,

3、 a photograph of differential and integral method, is transformed into a function of series method, using subsequence limit, etc, and these methods in specific examples of application, Its purpose is to let the reader more mastered the infinite series summation methods and skills, thus further promo

4、te its to the knowledge learning and understanding infinite series, for further study mathematics ready.Keywords: Series summation; Item by item, integral; Function of series; Laplace transform引言无穷级数不仅是研究分析学的重要工具，同时在自然科学和工程技术中有许多问题也可以由无穷级数来解决。这是因为，一方面有很多函数可以用无穷级数来表示；另一方面，又能借助于无穷级数来研究函数逼近和近似计算等问题。所以无

5、穷级数理论在理论或实际应用中，都是研究函数的一种重要数学工具。要掌握这一工具无穷收敛级数求和的问题，便成为一个基本又很重要的一个课题了。 我们在研究级数的敛散性时, 当级数收敛的情况下, 如何去求出其和, 有时是比较麻烦的事。对于无穷级数求和的这一问题，李素峰、张春平、郑春雨、蔡炯辉等人对此有一定的研究，并撰写了与此相关的一些文章，对学生学习起到了一定的指导作用 但他们的文章篇幅甚少，内容简单，没有系统全面地介绍无穷级数求和的方法，本文作者通过长时间阅读大量的文献学习研究，研究级数求和方法以飨读者。1 利用级数和的定义求和法定义：如果级数的部分和数列有极限，即，则称无穷级数收敛，这时极限叫做这

6、级数的和，并写成；如果没有极限，则称无穷级数发散。例1 求和 .分析：我们可以根据已知级数的特点：后一项中的的次数都比前一项的次数多一，这样我们就可以乘以一个，然后作差，最后再取极限。解：记部分和则两式相减得： 取极限后易得： .例 2 求级数的和。分析：由已知级数的通项可知：它的后一项的分母是前一项分母的倍，我们把通项的分母先乘以，然后作差，最后取极限。解： 由得：即于是2 裂项相消法求和法 主要适用于无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数。它的关键是将级数的一般项分解成部分分式的形式。诸如：，等等，都可以用裂项相消法求和。例 3 求无穷级数的和.分析：观察到此无穷级数的通项

7、公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数，注意到，然后再求和。解 ：因为 所以即例 4 求无穷级数.分析：题目所给出的级数的通项是分母为根式之积的分式，我们可以考虑先将其分母有理化再进行约分化简成可抵消的两项之差。解：先对通项分母中的和式进行有理化，得所以 从而3 利用逐项求导与逐项求积分求和法定理1 如果级数的各项在区间上连续，且在上一致收敛于，则级数在上可以逐项积分，即 其中并且上式右端的级数在上也一致连续。定理2 如果级数在区间上收敛于和，它的各项都具有连续导数，并且级数在上一致收敛，则级数在上也一致收敛，且可逐项求导，即方法：利用逐项求导或逐项积分，将级数化为已知的展式求和。例 5 求

8、级数的和.分析：观察到如果先对原级数从到积分，然后再变形就可转化为泰勒展开式了，最后求和。解：记，其中。因为所以，当时，发散。 当时，发散即的收敛域为，从而在其收敛域内逐项积分有所以 .例 6 计算无穷级数之和。分析：该级数求和的困难之处在于有分母, 如果没有分母, 这就是一个等比级数, 其和马上可以写出。但此级数容易证明其收敛半径为。因此,内可以逐项微分任意多次。将级数逐项微分两次之后便消去了全部分母, 成为了。求出和再积分（从积到）两次,即可得解。解：由则对于级数，两边从积到，得 两边再从积到，得 上式左边正是原级数。所以级数和 例 7 设，求.分析：首先我们将积分算出来，然后又注意到是中

9、的值，由我们想到先求导后积分及可以求出。解：积分：.因此设 求导后再求和，得 积分，得 令，则 . 故 4 转化数列极限的计算问题求和法数列的敛散性可由其子列来研究,并且有一个重要的结论：引理 1:数列收敛的充分必要条件是的任一子列都收敛,且有相同的极限。特别地,由引理1,可得引理2:数列收敛于的充分必要条件是的两个子列和都收敛于同一极限，此时， 称两个子列和为互补子序列。可将引理2推广到一般情形定理1: 数列收敛于的充分必要条件是的(是某个正整数)个子列,，都收敛于同一极限.证明:当时,结论显然成立;下面证明当p = 3 时结论成立,其他情形类似可证由引理1可知必要性显然,只要证明“充分性”

10、由条件,由收敛于，则对，当时，有由收敛于，则对上述的，当时，有由收敛于，则对上述的，当时，有取，则时，有且且当时，或或所以故证数列收敛于。定理2：若级数的通项（当时），则收敛于的充分必要条件是部分和数列的子数列收敛于。此时。证明：必要性：由引理可知。 充分性：因为收敛于，由收敛的“” 定义可得：对，当时，有，又因为，由收敛的“” 定义可得：则对上述的，当时，有，则当，考察因此，由收敛的“”的定义得：收敛于，再根据引理，可知收敛于。定理3：若级数的通项（当时），则收敛于的充分必要条件是部分和数列的的一个子列（是某个正整数，收敛于。证明：当时结论成立，下面证明时结论成立，其他的情形类似可证。必要性

11、：由引理可知。充分性：收敛于，由收敛的“” 定义可得：则对，当时，有，又因为，由收敛的“” 定义可得：则对上述的，当时，有，则，考察因此，由收敛的“” 定义可得，收敛于，再根据定理可得收敛于。例 8 求交错级数的和.分析：通过写出观察后，我们可先考虑的极限，然后化简就可以利用定理3知其和。解：原级数，观察后，考察部分和数列的子列的极限。首先给出一个重要的公式： 其中成为常数，且。对于原级数，并由式可知即，又因为所以，有定理3知，原级数收敛，其和为.例 9 计算级数的和。分析：我们发现原级数每三项就会出项一个负的项，我们这样就可以考虑级数的前项的和，从而得出结果。解：级数的前项的和为 所以收敛于

12、，又因为，因此根据定理可得原级数收敛，其和为。 5 利用解微分方程求和法即研究它的导数或其与它本身有何特点及相关联系，看其是否满足某微分方程及定解条件 找出欲求和级数所满足的微分方程及定解条件，再解该方程。例 10 求无穷级数的和.分析：我们发现此级数它的本身其实和它的导数的和相等，这样我们就可列出微分方程，求其解，也就是无穷级数的和。解：易知该幂级数的收敛，故在内级数处处收敛，且可逐项求导，令 又当时，解一阶微分方程得，即= .例 11 求无穷级数的和.分析：先对原级数求导，而后就会注意到，解这个一阶线性微分方程就得出其和。解：该级数收敛域为，设其和为. 则 即这是一阶线性微分方程，由通解公

13、式： 由，得， .6 利用傅里叶级数求和法在将某些函数展开成傅里叶级数时，往往得到一些比较规范的三角级数展开式。设在区间上连续的函数的傅里叶级数，其中，它在上收敛，它的和函数例 12 求的和.分析：注意到该级数的和函数在展开的傅里叶级数的关系。解：先求的傅里叶级数，所以将函数在上展成傅里叶级数得： ；令，则例 13 求无穷级数的和。分析：通过先求的傅里叶级数，然后再转向原级数求和。解：先求的傅里叶级数 ， ，有在处连续 ，有 7 利用欧拉常数求和法极限的值为欧拉常数，设为，则有： 其中。利用上式可求某些数值级数的和。例 14 求.分析：首先我们可以先用裂项相消法，然后化简，注意到可以用欧拉常数

14、求和法，从而求和。解： 即 .例 15 级数.分析：注意到，之后再用欧拉常数法。解：注意到，则 (是常数)8 利用拉普拉斯（laplace）变换求和法基本定义和有关定理定义 设函数当时有定义，而且积分 （为复参数）在的某一领域内收敛，则有此积分所确定的函数为 公式称为函数的拉普拉斯变换式。记为 称为的拉氏变换，而称为的拉氏逆变换，记为 积分反演定理 若是可变换的，且，则 。例 16 求级数之和.分析：这种题目比较简单，也有其他的方法，我们这里就用拉普拉斯变换来求和。解： 由于，将改成得 ，故得.例 17 求级数之和.分析：这里用拉普拉斯变换来求和，比较一下和其他的其和方法有什么好的地方。解：由

15、于，把改成，即有.所以.9 结论以上本着由浅入深循序渐进的原则介绍了无穷级数的几种求和方法 相信对于解决此类问题会起到一定的指导作用，但单纯地掌握几种方法还远远不够，总之 ,在级数求和过程中,要掌握多种求和方法 ,而且要根据具体题确定用哪种方法。以上较为全面地介绍了一些常用的方法和技巧，希望对提高学生的计算能力和计算速度起到一定的作用，特别是针对许多一题多解的级数求和问题采取正确的方法以便最简。有些求和问题用一种方法求解很麻烦甚至不可能，它需要多种方法的灵活交错使用，有些题目也可以用多种方法求解，读者可以结合自身的特点使用。致谢在此论文撰写过程中，要特别感谢我的导师林美琳的指导与督促，同时感谢

16、她的谅解与包容。没有林美琳老师的帮助也就没有今天的这篇论文。求学历程是艰苦的，但又是快乐的。感谢我的铺导员陈梅香老师、林斌老师，谢谢他们在这四年中为我们全班所做的一切，他们不求回报，无私奉献的精神很让我感动，再次向他们表示由衷的感谢。在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富。在此，也对他们表示衷心感谢。 谢谢我的父母，没有他们辛勤的付出也就没有我的今天，在这一刻，将最崇高的敬意献给你们！ 本文参考了大量的文献资料，在此，向各学术界的前辈们致敬！参考文献：1 李素峰.关于无穷级数求和问题的探讨J.邢台学院学报，2008，（4）：12-13.2 张春平.无穷级数的求

17、和探讨J.沈阳师范大学学报，2008，（3）：20-21.3 郑春雨.数项级数和的求法例谈J.海南广播电视大学学报，2006，24（3）：96-97.4 蔡炯辉，胡晓敏.收敛级数求和的初等方法J.玉溪师范学院院报，2006，22（6）：95-98.5 复旦大学数学系. 数学分析M.3版.北京：高等教育出版社，1983.6同济大学数学系.高等数学习题全解指南M.北京：高等教育出版社，2007 .7复旦大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2007：75-88.8华东师范大学数学系.数学分析：上册M.2版北京：高等教育出版社，1991: 43.9 汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史M.北京:科学出版社,2002.10复旦大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2007：108-119.11张春平.无穷级数求和探讨J. 沈阳师范大学学报，2008，26（3）：279.12沈克精.利用拉普拉斯（laplace）变换对无穷级数求和J. 安徽大学学报（自然科学版），1995，(s1):32-34.14