概率论习题答案.pdf

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1、第 十 一 次 作 业一 填 空 题 ：1 设 随 机 变 量 ( , )X Y 的 概 率 密 度 为 ( ) 0 ,( , ) 0 x yae x yf x y ， 其 他 ， 则 a 1 ， ( 2, 1)P X Y 1 2 31 e e e 。2 若 二 维 随 机 变 量 ( , )X Y 的 联 合 分 布 列 为X Y 0 10 16 14 1 13 14则 随 机 变 量 ( , )X Y 的 联 合 分 布 函 数 为0, 0 01/6, 0 1,0 1( , ) 5/12, 0 1, 11/2, 1,0 11, 1, 1x or yx yF x y x yx yx y 3.

2、 设 随 机 变 量 2,1,412141 101 iXi , 且 满 足 1)0( 21 XXP ， 则 )( 21 XXP 0 .二 . 选 择 题（ 1） 设 ( , )X Y 服 从 二 维 均 匀 的 分 布 ， 联 合 密 度 函 数 为, 0 1,( , ) 0,A x y xf x y 其 它 ， 则 常 数 A=( A ).B（ A） 12 (B)1 (C) 2 (D) 4.（ 2） 设 （ X ， Y ） 的 分 布 函 数 为 ),( yxF ， 则 , bYaXP =（ C ） A ),( baF B 1 ),( baFC ),0(),(),0(1 aFbFbaFD )

3、,(),(),(1 aFbFbaF（ 3） 设 1( )F x ， 2( )F x 为 两 个 分 布 函 数 ， 其 相 应 的 概 率 密 度 为 1 2( ), ( )f x f x 是 连 续函 数 ， 则 可 以 作 为 某 个 连 续 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 的 是 （ D ）A 1 2( ) ( )f x f x B 1 22 ( ) ( )f x F xC 1 2( ) ( )f x F x D 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x F x f x F x 三 . 计 算 题1. 设 二 维 随 机 向 量 ( , ) 仅 取 (1,1),(2

4、,3),(4,5)三 个 点 ， 且 取 它 们 的 概 率 相 同 ， 求( , ) 的 联 合 分 布 列 。解 ： 1 3 51 13 0 02 0 13 0 4 0 0 132. 某 箱 装 有 100件 产 品 ， 其 中 一 、 二 、 三 等 品 分 别 为 80， 10， 10件 ， 现 在 从 中随 机 抽 取 一 件 ， 记 1 1,230i iX i 抽 到 等 品 （， ， ）其 他试 求 随 机 变 量 1 2X X和 的 联 合 概 率 分 布 。解 ： 令 1,2,3iA i i 抽 到 等 品 ， ,则 1 2 3, ,A A A 两 两 不 相 容 .1 2

5、3( ) 0.8, ( ) ( ) 0.1P A P A P A 1 2 3( 0, 0) ( ) 0.1P X X P A 1 2 2( 0, 1) ( ) 0.1P X X P A 1 2 1( 1, 0) ( ) 0.8P X X P A 1 2( 1, 1) ( ) 0P X X P 3 将 一 硬 币 抛 掷 3次 ， X 表 示 3次 中 出 现 正 面 的 次 数 ， Y 表 示 3次 中 出 现 正 面次 数 与 反 面 次 数 之 差 的 绝 对 值 ， 求 X 和 Y 的 联 合 分 布 率 。解 ： 当 连 抛 三 次 出 现 三 次 反 面 时 ， ),( YX 的 取

6、 值 为 )3,0( ；出 现 一 次 正 面 两 次 反 面 时 ， ),( YX 的 取 值 为 )1,1( ；出 现 两 次 正 面 一 次 反 面 时 ， ),( YX 的 取 值 为 )1,2( ； 出 现 三 次 正 面 时 ， ),( YX 的 取 值 为 )3,3( 。并 且 81)21(3,0 3 YXP ； 83)21(131,1 3 YXP ；83)21(131,2 3 YXP ； 81)21(3,3 3 YXP所 以 ， ),( YX 的 联 合 概 率 分 布 为 ：YX 1 3 0 0 811 83 02 83 03 0 814 设 随 机 向 量 ( , )X Y

7、 的 联 合 概 率 密 度 函 数 为(6 ), 0 2,2 4( , ) 0 ,A x y x yp x y 其 他 （ 1） 确 定 常 数 A;（ 2） 求 1, 3, 4P X Y P X Y 解 ： （ 1） 根 据 规 范 性 有 ( , ) 1p x y dxdy A 18 （ 2） 1 30 21 3 1, 3 (6 )8 8P X Y x y dxdy 2 40 21 2( 4) (6 )8 3xP X Y x y dydx 5. 若 随 机 变 量 ,X Y 的 概 率 分 布 分 别 为X 0 1 Y -1 0 1P 13 23 P 13 13 13且 满 足 2 2(

8、 ) 1P X Y 。 求 二 维 随 机 变 量 ( , )X Y 的 联 合 概 率 分 布 。解 ： 由 于 2 2( ) 1P X Y ， 故 2 2( ) 0P X Y 。 故 有( 0, 1) ( 1, 0) ( 0, 1) 0P X Y P X Y P X Y ，易 得 ( , )X Y 的 联 合 概 率 分 布 如 下 ：XY 0 1-1 0 130 13 01 0 13第 十 二 次 作 业 一 .填 空 题 ：1. 如 果 随 机 向 量 ),( 的 联 合 分 布 列 为 0 10 0.1 b1 a 0.4 并 且 2( 1| 1) 3P ， 则 a= 0.3 ,b=

9、0.2 .2. ),( 的 联 合 分 布 列 为 0 1 2-1 115 t 151 s 15 310若 , 相 互 独 立 ， 则 （ s,t） = （ 0.1， 215 ） 。3. 设 ( , )X Y 在 以 原 点 为 中 心 ， r为 半 径 的 圆 域 R上 服 从 均 匀 分 布 ， 求 X 的 边 缘 概 率 密 度 为 rx rxr xrxpX |,0 |,2)( 2 22 .二 .选 择 题（ 1） 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 2,4N ,随 机 变 量 Y 服 从 正 态 分 布 2,5N ，记 1 4p P X ， 2 5p P Y ,则 (A)(

10、A)对 任 何 实 数 ,都 有 1 2p p(B)对 任 何 实 数 ,都 有 1 2p p(C)仅 对 的 个 别 值 ,有 1 2p p (D)对 任 何 实 数 ,都 有 1 2p p（ 2） 设 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 1 2,x x ， Y 的 可 能 取 值 为 1 2 3, ,y y y ， 若1 1 1 1( , ) ( ) ( )P X x Y y P X x P Y y ， 则 随 机 变 量 X 和 Y （ C ）A 一 定 独 立 B 一 定 不 独 立 C 不 一 定 独 立 D 以 上 答 案 都 不 对（ 3） . 设 随 机 变 量 X ，

11、 Y 相 互 独 立 ， 服 从 相 同 的 两 点 分 布 1 11 2 1 2 ， 则 （ A ）A 1 2P X Y B 1 3P X Y C 0P X Y D 1 4P X Y 三 .计 算 题1 设 随 机 变 量 , 的 联 合 分 布 列 为（ 1） 求 边 缘 分 布 列 ； （ 2） 在 1 的 条 件 下 ， 的 条 件 分 布 列 ；（ 3） 问 和 是 否 独 立 ？解 ： （ 1） 0 1 2P 512 12 112 0 1 2P 712 718 136 （ 2） ( 0, 1) 4( 0| 1) ( 1) 7PP P ( 1, 1) 3( 1| 1) ( 1) 7P

12、P P ( 0, 1)( 2| 1) 0( 1)PP P （ 3） ( 0, 0) ( 0) ( 0)P P P 和 不 独 立 2 设 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ( , )X Y 的 联 合 概 率 密 度 函 数 为( , )( , ) 0Axy x y Gf x y 其 他其 中 ( , )|0 2,0 G x y x y x ，（ 1） 求 系 数 A；（ 2） X 和 Y 的 边 缘 密 度 函 数 ；（ 3） | ( | )X Yf x y ；（ 4） X和 Y是 否 独 立 ， 为 什 么 ？解 ： （ 1） 根 据 规 范 性 ( , ) 1f x y dxdy 12

13、A （ 2） 30 1( , ) , 0 2( ) 2 40, xX xf x y dy xydy xf x 其 他321( , ) , 0 2( ) 2 40,yY yf x y dx xydx y yf y 其 他（ 3） | ( , )( | ) ( )X Y Yf x yf x y f y 2| 2 ( , )4( | ) 0X Y x x y Gyf x y 其 他（ 4） G 不 是 矩 形 区 间 ， X和 Y不 独 立 3 设 随 机 变 量 （ X ， Y ） 的 联 合 密 度 为 ： | | 1,| | 1( , ) 0C x yx y 其 它试 求 ： 常 数 C； 1 2P X Y 及 2 2 1P X Y ； X 和 Y 的 边 缘 密 度 函 数解 ： ( , ) 1x y dxdy , 14 C ,得 常 数 14C ； 1 2P X Y 12 ( , )x y x y dxdy = 932；2 2 1P X Y 2 2 1 ( , )x y x y dxdy 2 2 114 4x y dxdy ； X 和 Y 的 边 缘 密 度 函 数 分 别 为 ： 其 他,0 1,21)( xxX ， 其 他,0 1,21)( yyY