华工概率论与数理统计第五、六章作业答案.pdf

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1、 概率论第 五 章答案 5.1 解：因 0 = + = + Y E X E Y X E 故 36 ) 6 ( ) 6 ( Y X Var Y X E Y X P Y X P + + + = + 而 ) , cov( 2 Y X Y Var X Var Y X Var + + = + ) , ( 2 Y Var X Var Y X r Y Var X Var + + = 7 2 3 2 9 1 = + = 所以 36 7 36 = + = Y X Var c 5.3 解：由题 意知 , , , 2 1 X X 为独立同 分布随 机 变量序列 且 i X 1 2 3 4 P 4 1 4 1 4 1

2、 4 1 故 , , , 2 2 2 1 X X 为独立同 分布随机 变量序 列 且 有 0 1 1 lim 1 1 2 2 = = = n i n i i i n X n E X n P 从而当 n 时， 2 15 1 1 2 = P n i i X n 5.4 利用柯尔 莫哥 洛夫强大 数定律 1 ， 即书上定理 5.1.3. 5.5 解：令 n n n n X X X Y 3 1 3 2 2 3 + = 因 n X 是独立同 分 布的随机 变量序 列 ，且 ( ) 10 2 2 2 = = n n n n X E X E X E X Var 故 n Y 是独立同 分 布的随机 变量序 列

3、 ，且 3 1 3 2 2 3 n n n n X X X E Y E + = 3 1 3 2 2 3 n n n X E X E X E + = 14 = 14 1 1 = = = n n i i Y E Y n E 所以由辛钦弱 大数定律 ，对任 意 0 有 0 1 1 lim 1 1 = = = n i n i i i n Y n E Y n P 从而当 n 时， 14 1 1 = P n i i Y n 即当 n 时 14 3 1 3 2 2 3 6 5 2 4 3 2 2 1 + + + + + + P n n n n X X X X X X X X X 因此 14 = a 5.8

4、解：令 = . , 0 , 1 个部件未损坏 第 个部件损坏， 第 i i X i ，则 i X 服从两点分 布， 1 . 0 = i X E ， 09 . 0 = i X Var ， , , , 2 1 X X 为独立 同 分布随机 序 列，且损 坏的部 件 个数为 n X X + + 1 . 因 95 . 0 ) 8 . 0 ) ( ( 1 + n X X n P n 95 . 0 ) 2 . 0 ( 1 + + n X X P n 所以由林德伯格莱维定 理 + = + + n n n n n X X P n X X P n n 09 . 0 1 . 0 2 . 0 09 . 0 1 .

5、0 ) 2 . 0 ( 1 1 25 65 . 1 3 95 . 0 3 = n n n 5.9 解：由题意 知 , , , 2 1 X X 为独立 同分布 随 机序列， 且 0 = i X E ， 0075 . 0 = i X Var . 因 + = = 60 1 60 52 50 48 ) 52 48 ( i i X P Y P ) 2 2 ( 60 1 = = i i X P 所以由林德伯 格莱维定 理 = = 60 1 60 ) 2 2 ( ) 52 48 ( i i X P Y P 9971 . 0 1 ) 981 . 2 ( 2 0075 . 0 60 0 2 0075 . 0 6

6、0 0 0075 . 0 60 0 2 60 1 = = = i i X P 概率论第六章答 案 6.2 解：由 题知 ) 4 , 0 ( 1 N X ， ) 52 , 0 ( 3 2 3 2 N X X + ， ) 68 , 0 ( 4 5 4 N X X 从而 ) 1 , 0 ( 2 1 N X ， ) 1 , 0 ( 13 2 3 2 3 2 N X X + ， ) 1 , 0 ( 17 2 4 5 4 N X X 因此 ) 1 ( 2 2 2 1 X ， ) 1 ( 13 2 3 2 2 2 3 2 + X X ， ) 1 ( 17 2 4 2 2 5 4 X X 所以 2 5 4 2

7、 3 2 2 1 ) 4 ( ) 3 2 ( X X c X X b aX Y + + + = 2 5 4 2 3 2 2 2 17 2 4 68 13 2 3 2 52 2 4 + + + = X X c X X b X a 要服从 2 分布，则 68 1 , 52 1 , 4 1 = = = c b a . 6.3 解：由题 意知 ) 3 , 0 ( 5 4 3 N X X X + + ， ) 3 , 0 ( 8 7 6 N X X X + + 从而 ) 1 , 0 ( 3 5 4 3 N X X X + + ， ) 1 , 0 ( 3 8 7 6 N X X X + + 因此 ) 2 (

8、 2 2 2 2 1 X X + ， ) 1 ( 3 2 2 5 4 3 + + X X X ， ) 1 ( 3 2 2 8 7 6 + + X X X 所以要使 2 8 7 6 2 5 4 3 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( X X X X X X X X c + + + + + + 2 8 7 6 2 5 4 3 2 2 2 1 3 3 ) ( 3 + + + + + + = X X X X X X X X c 服从 ) 2 , 2 ( F 分布， 则 3 = c . 6.4 解：由题 意知 ) 3 , 0 ( 3 2 1 N X X X + + ， ) 2 , 0 ( 5 4 N

9、 X X + ， ) 2 , 0 ( 7 6 N X X + ， ) 2 , 0 ( 9 8 N X X + 从而 ) 1 , 0 ( 3 3 2 1 N X X X + + ， ) 1 ( 2 2 2 5 4 + X X ) 1 ( 2 2 2 7 6 + X X ， ) 1 ( 2 2 2 9 8 + X X 所以要使 2 9 8 2 7 6 2 5 4 3 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( X X X X X X X X X c + + + + + + + 3 2 2 2 3 2 2 9 8 2 7 6 2 5 4 3 2 1 + + + + + + + = X X X X X X

10、 X X X c 服从 ) 3 ( t 分布， 则 2 = c . 6.5 解：由 推论 6.3.1 知 = = 9 , 9 1 2 9 1 N X X i i . 从而 ) 1 , 0 ( 3 10 9 10 , 0 10 2 10 N X X N X X 因 ) 8 ( 8 2 2 2 * 9 S 所以 8 8 3 10 10 ) ( 3 2 * 9 10 * 9 10 2 2 S X X S X X T = = 服从 ) 8 ( t 分布 . 6.7 解：由 题意知 ) 4 ( 2 9 6 2 2 3 = = i i X Z . 另外由推论 6.3.1 知 ) 4 ( 2 2 1 Z ，

11、 ) 4 ( 2 2 2 Z 所以 4 8 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 Z Z Z Z Z Z T + = + = 服从 ) 4 , 8 ( F 分布 . 6.9 解： （1 ） 由题 意知 = 0 , 0 , 1 0 , , 1 , 1 ) ( 2 x x x x x F X 从而 ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( x X P x F X = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) , , (max x F x X P x X P x X P x X P x X x X x X P x X X

12、X P X = = = = = = 0 , 0 , 1 0 , , 1 , 1 6 x x x x 所以 = = . , 0 , 1 0 , 6 ) ( ) ( 5 ) 3 ( ) 3 ( 其它 x x x F x P X X 也可直接 利用课 本 给出的公 式计算 密 度函数。 （2 ） 因 7 6 6 1 0 5 ) 3 ( = = dx x x X E ， 4 3 6 1 0 5 2 2 ) 3 ( = = dx x x X E 故 ( ) 196 3 49 36 4 3 2 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 3 ( = = = X E X E X Var . 6.12 解： （1 ） 由

13、题意 知 . , , 2 , 1 ), 1 ( , n i p mp X Var mP X E i i = = = 故 mp X E X E i = = ， ) 1 ( 1 p p n m X Var n X Var i = = （2 ） ( ) = = = = 2 1 2 1 2 2 1 1 X X n E X X n E S E n i i n i i n ( ) 22 2 2 22 22 ( )( ( (1 ) ) (1 ) ( 1) (1 ) i ii EX EX Var X E X Var X E X m m p p mp p p mp n n mp p n = =+ = + + =

14、 6.15 解： （1 ） 645 . 1 05 . 0 = u . （2 ） 3060 . 2 ) 8 ( 975 . 0 = t . （3 ） 8331 . 1 ) 9 ( 05 . 0 = t . （4 ） 833 . 12 ) 5 ( 2 975 0 = . . （5 ） ( ) 1669 . 0 5 , 6 025 . 0 = F . 6.16 解： （1 ） 因 = = 9 1 10 10 10 1 10 9 i i X X X X 故 5 18 , 0 10 N X X 所以 = 5 18 5 . 0 5 18 ) 5 . 0 ( 10 10 X X P X X P 6026 . 0 ) 26 0 ( = = . （2 ） 由 题意知 5 22 , 0 11 N X X 所以 = 5 22 5 . 0 5 22 ) 5 . 0 ( 11 11 X X P X X P 5948 . 0 ) 24 0 ( = = .