动量和能量一章习题解答.pdf

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1、动 量 和 能 量 一 章 习 题 解 答 习 题 3 1 如 图 所 示 ， 圆 锥 摆 的 摆 球 质 量 为 m， 速 率 为 v， 圆 半 径 为 R ， 当 摆 球 在 轨 道 上 运 动 半 周 时 ， 摆 球 所 受 重 力 冲 量 的 大 小 为 ： (A) 2 mv。 (B) 。 (C) 。 (D) 0 。 解 ： 摆 球 的 重 力 是 一 个 大 小 和 方 向 都 不变 的 恒 力 ， 因 此 ， 当 摆 球 在 轨 道 上 运 动 半 周 时 ， 摆 球 所 受 重 力 的 冲 量 为m v R 习 题 3 1 图 案 因 此 ， 该 冲 量 的 大 小 为所 以 应

2、 当 选 择 答 案 (C)。 习 题 3 2 质 量 为 m的 小 球 自 高 为 y0 处 沿 水 平 方 向 以 速 率 v0 抛 出 ， 与 地 面 碰 撞 后 跳 起 的 最 大 高 度 为 y0 /2 ， 水 平 速 率 为 v0 /2 。 则 碰 撞 过 程 中 ： (1 ) 地 面 对 小 球 的 垂 直 冲 量 的 大 小为 ； (2 ) 地 面 对 小 球 的 水 平 冲 量 的 大 小 为 。X Y m O 习 题 3 2 图 解 ： 由 动 量 定 理 的 分 量 式 可 得 习 题 3 3 一 物 体 的 质 量 M=2 k g ， 在 合 外 力 (SI) 作 用

3、下 ， 从 静 止 出 发 沿 水 平 x轴 作 直 线 运 动 ， 则 当 t=1 s时 物 体 的 速 度 。 解 ： 根 据 单 质 点 动 量 定 理 ， 我 们 有 即 有 所 以 习 题 3 4 静 水 中 停 泊 着 两 只 质 量 均 为 M的 小 船 ， 第 一 只 船 在 左 边 ， 其 上 站 着 一 个 质 量 为 m的 人 ， 该 人 以 水 平 向 右 的 速 度 从 第 一 只 船 上 跳 到 其右 边 的 第 二 只 船 上 ， 然 后 又 以 同 样 的 速 率 v水 平 向 左 地 跳 回 第 一 只 船 上 ， 此 后 ：(1 ) 第 一 只 船 运 动

4、的 速 度 为 ； (2 ) 第 二 只 船 运 动 的 速 度 为 。解 ： 人 船 系 统 动 量 守 恒 ， 可 得 解 得 ， 习 题 3 5 质 量 m为 1 0 k g 的 木 箱 放 在 地 面 上 ， 在 水 平 拉 力 F 的 作 用 下 由 静 止 开 始 沿 直 线 运 动 ， 其 拉 力 随 时 间 的 变 化 关 系 如 图 所 示 。 若 已 知 木 箱 与地 面 间 的 摩 擦 系 数 为 0 .2 ， 那 么 在 t=4 s时 ， 木 箱 的 速 度 大 小 为 ； 在 t=7 s时 ， 木 箱 的 速 度 大 小 为 。 (g取1 0 m/s2 ) t(s)

5、F (N) 4 7 3 0 O 习 题 3 5 图 解 ： 根 据 质 点 动 量 定 理 我 们 有 即 当 t=4 s时 ， 木 箱 的 速 度 大 小 为 t=7 s时 ， 木 箱 的 速 度 大 小 为 注 意 ： 根 据 定 义 ， 某 力 F (t)在 某 一 时 间 间 隔 内 的 冲 量 大 小 等 于 该 力 力 曲 线F (t) t下 的 面 积 习 题 3 6 一 质 点 的 运 动 轨 迹 如 图 所 示 ， 已 知 质 点 的 质 量 为 2 0 g ， 在 A 、 B 二 位 置 处 的 速 率 都 为 2 0 m/s， 与 X 轴 成 4 5 角 ， 垂 直 于

6、Y轴 ， 求 质点 由 A 点 到 B 点 这 段 时 间 内 ， 作 用 在 质 点 上 外 力 的 总 冲 量 。 解 ： ，4 5 BY XO AB A图 2 -2 2 (Ns) 注 意 ： 本 题 已 给 出 坐标 系 ， 用 矢 量 列 式 进 行 计 算 更 方 便 习 题 3 7 高 空 作 业 时 系 安 全 带 是 必 要 的 。 假 如 一 质 量 为 5 1 .0 k g 的 人 在 操 作 时 不 慎 从 高 空 跌 落 下 来 ， 由 于 有 安 全 带 的 保 护 ， 最 终 使 他 被 悬 挂 起来 。 已 知 此 时 人 离 原 处 的 距 离 为 2 .0 m

7、， 安 全 带 弹 性 缓 冲 作 用 时 间 为 0 .5 0 s， 求 安 全 带 对 人 的 平 均 冲 力 。解 ： 根 据 动 量 定 理 (取 竖 直 向 下 为 坐 标 轴 正 方 向 ) 所 以 ， 安 全 带 对 人 的 平 均 冲 力 为 此 力 为 负 值 说 明 其 方 向 与 取 定 的 坐 标 轴 方 向 相 反 ， 是 竖 直 向 上 的 。 习 题 3 8 一 个 人 从 1 0 .0 m深 的 井 中 提 水 ， 起 始 桶 中 装 有 1 0 .0 k g 的 水 ， 由 于 水 桶 漏 水 ， 每 升 高 1 .0 0 m要 漏 去 0 .2 0 k g

8、的 水 。 求 水 桶 被 匀 速 地 从 井 中提 到 井 口 人 所 作 的 功 。 解 ： 依 题 意 ， 桶 中 水 的 质 量 随 桶 到 井 底 的 距 离 x的 变 化 关 系 为因 此 ， 水 桶 被 匀 速 地 从 井 中 提 到 井 口 人 所 作 的 功 为 注 意 ： 题 设 水 桶 被 人 “匀 速 ”提 起 ， 因 而 人 提 水 用 的 力 F 即 为 水 桶 的 重 力 mg。 习 题 3 9 一 质 量 为 m的 地 球 卫 星 ， 沿 半 径 为 3 R E 的 圆 轨 道 运 动 ， R E 为 地 球 半 径 。 已 知 地 球 的 质 量 为 mE 。

9、 求 ： (1 )卫 星 的 动 能 ； (2 )卫 星 的 引 力 势 能 ； (3 )卫 星 的 机 械 能 。 解 ： (1 ) 根 据 卫 星 作 圆 周 运 动 的 条 件 有 可 得 卫 星 的 动 能 为(2 ) 由 引 力 势 能 公 式 ， 可 得 卫 星 的 势 能 为 (3 ) 卫 星 的 机 械 能 为 习 题 3 1 0 设 两 个 粒 子 之 间 的 相 互 作 用 力 是 排 斥 力 ， 并 随 它 们 之 间 的 距 离 r按 F =k/r3 的 规 律 而 变 化 ， 其 中 k为 常 量 。 试 求 两 粒 子 相 距 为 r时 的 势能 。 (设 力 为

10、零 的 地 方 势 能 为 零 ) 解 ： 依 题 意 ， 势 能 零 点 应 在 无 穷 远点 。 设 其 中 一 个 粒 子 不 动 ， 另 一 个 粒 子 在 其 排 斥 力 作 用 下 运 动 ， 如 图 所 示 。 根据 势 能 公 式 ， 可 以 求 得 两 粒 子 相 距 为 r 时 的 势 能 为 粒 子 1 粒 子 2 题 解 3 1 0 图 注 ： 势 能 公 式 中 的 积 分 路 径 可 以 是 任 意 的 ， 为 了 积 分 方 便 ， 我 们 选 择沿 矢 径 的 方 向 直 到 无 穷 远 点 的 直 线 作 为 积 分 路 径 。 习 题 3 1 1 质 量 为

11、 m， 速 率 为 v的 小 球 ， 以 入 射 角 斜 向 与 墙 壁 相 撞 ， 又 以 原 速 率 沿 反 射 角 方 向 从 墙 壁 弹 回 。 设 碰 撞 时 间 为 ， 求 墙 壁 受 到 的 平 均冲 力 。 解 法 ： 以 撞 击 点 为 原 点 ， 水 平 向 右 为 X 轴 ， 沿 墙 壁 向 下 为 Y轴 。 取小 球 为 研 究 对 象 ， 根 据 质 点 动 能 定 理 m 习 题 3 1 1 图 所 以 小 球 受 到 墙 壁 的 平 均 冲 力 为 根 据 牛 顿 第 三 定 律 ， 墙 壁 受 到 小 球 的 平 均 冲 力 为 解 法 ： 用 几 何 方 法

12、求 解 。 参 见 右 面 的 矢 量 三 角 形 ， 可 有 如 下 关 系 根 据 质 点 动 量 定 理 ， 小 球 受 到的 平 均 冲 力 大 小 为 该 平 均 冲 力 的 方 向 与 方 向 相 同 ， 水 平 向 左 。 由 牛 顿 第 三 定 律 ， 墙 壁 受 到 的 平 均 冲 力 与 此 力 等 大 而 反 向 。 习 题 3 1 2 质 量 M=1 .5 k g 的 物 体 ， 用 一 根 长 为 l =1 .2 5 m的 细 绳 悬 挂 在 天 花 板 上 ， 今 有 一 质 量 为 m =1 0 g 的 子 弹 以 v0=5 0 0 m/s的 水 平 速 度 射

13、穿 物 体 ， 刚 穿 出 物 体 时 子 弹 速 度 的 大 小 v =3 0 m/s， 设 穿 透 时 间 极 短 。 求 ： (1) 子 弹 刚 穿 出 时 绳 中 张 力 的 大 小 ； (2) 子 弹 在 穿 透 过 程 中 所 受 的 冲量 。 解 ： (1 ) 子 弹 打 击 过 程 动 量 守 恒 习 题 3 1 2 图l M m 解 得 对 物 体 由 、 可 得 N (2 ) 对 子 弹 应 用 动 量 定 理 可 有Ns 习 题 3 1 3 一 块 木 料 质 量 为 4 5 k g ， 以 8 k m/h 的 恒 速 向 下 游 漂 动 ， 一 只 1 0 k g 的

14、天 鹅 以 8 k m/h 的 速 率 向 上 游 飞 动 ， 它 企 图 降 落 在 这 块 木 料 上 面 ，但 在 立 足 未 稳 时 ， 它 又 以 相 对 于 木 料 2 k m/h 的 速 率 离 开 木 料 ， 向 上 游 飞 去 。 忽 略 水 的 摩 擦 ， 木 料 的 末 速 度 为 。解 ： 由 木 料 与 天 鹅 组 成 的 系 统 动 量 守 恒 式 中 M是 木 料 的 质 量 ， m是 天 鹅 的 质 量 ， V 是 天 鹅 落 到 木 料 上 前 木 料 的 速 度 ， 是 天 鹅 飞 离 木 料 后 木 料 的 速 度 ， u是 天 鹅 飞 离 木 料 时 相

15、 对 于 木 料 的速 度 。 由 上 式 可 以 解 得 木 料 的 末 速 度 为 习 题 3 14 质 量 m=2 k g 的 质 点 在 力 F =1 2 t(SI)的 作 用 下 ， 从 静 止 出 发 沿 X 轴 正 方 向 作 直 线 运 动 ， 求 前 三 秒 内 该 力 所 作 的 功 。解 ： 由 动 量 定 理 ， 我 们 有 所 以 又 据 动 能 定 理 可 得 习 题 3 1 5 倔 强 系 数 为 k的 轻 弹 簧 ， 一 端 与 倾 角 为 的 斜 面 上 的 固 定 挡 板 A 相 接 ， 另 一 端 与 质 量 为 m的 物 体 B 相 连 。 O点 为 弹

16、 簧 没 有 连 物 体 原 长 时 的端 点 位 置 ， a点 为 物 体 B 的 平 衡 位 置 。 现 将 物 体 B 由 a点 沿 斜 面 向 上 移 动 到 b点 (如 图 所 示 )。 设 a点 与 O点 ， a点 与 b点 之 间 距 离 分 别 为 x1 和 x2 ， 则 在 此 过 程 中 ， 由 弹 簧 、 物 体 B 和 地 球 组 成 的 系 统 势 能 的 增 加 为 (A) (B) (C) (D) 解 ： 取 弹 簧 原 长 为 弹 性 势 能 零 点 ，取 初 态 a点 为 重 力 势 能 零 点 。 系 统 初 态 势 能 为 ab A B k O 习 题 3

17、1 5 图 系 统 末 态 势 能 为 所 以 系 统 势 能 的 增 加 为因 此 ， 应 当 选 择 答 案 (C)。 习 题 3 1 6 在 如 图 所 示 的 系 统 中 (滑 轮 质 量 不 计 ， 轴 光 滑 )， 外 力 通 过 不 可 伸 长 的 绳 子 和 一 倔 强 系 数 k=2 0 0 N/m的 轻 弹 簧 缓 慢 地 拉 地 面 上 的 物 体 。物 体 的 质 量 M =2 k g ， 初 始 时 弹 簧 为 自 然 长 度 ， 在 把 绳 子 拉 下 2 0 cm的 过 程 中 ， 力 所 作 的 功 为 (重 力 加 速 度 g取 1 0 m/s2 ) (A)

18、2 J。 (B) 1 J。 (C) 3 J。 (D) 4 J。 (E) 2 0 J。 解 ： 使 物 体 离 地 之 前 ， 外 力 是 克 服 弹性 力 而 作 功 。 假 设 物 体 离 地 之 前 弹 簧 伸 长 了 x0 ， 则 该 伸 长 量 x0 满 足 下 式 2 0 cm M k 习 题 3 1 6 图 即 当 物 体 离 地 以 后 ， 外 力 只 是 克 服 重 力 而 作 功 。 因 此 ， 在 把 绳 子 拉下 2 0 cm的 整 个 过 程 中 ， 力 所 作 的 功 应 为 上 述 两 部 分 功 之 和 ， 即 所 以 ， 应 当 选 择 答 案 (C)。 习 题

19、 3 1 7 如 图 ， 一 倔 强 系 数 为 k的 轻 弹 簧 水 平 放 置 ， 左 端 固 定 ， 右 端 与 桌 面 上 一 质 量 为 m的 木 块 相 连 ， 用 一 水 平 力 F 向 右 拉 木 块 而 使 其 处 于静 止 状 态 。 若 木 块 与 桌 面 间 的 静 摩 擦 系 数 为 ， 弹 簧 的 弹 性 势 能 为 E ， 则 下 列 关 系 中 正 确 的 是(A) 。 (B) (C) 。 (D) 解 ： 木 块 静 止 可 分 为 两 种 情 况 ： 一 是 弹 性 力 较 小 ， 弹 性 力 和 静 摩 擦 力 一 起 克 服 外 力 而 达 到 力 学 平

20、 衡 ， 这 时 上 述 三 力 的 关 系 为 二 是 弹 性 力 较 大 ， 外 力 和 静 摩 擦 力 一起 克 服 之 而 达 到 力 学 平 衡 ， 这 时 上 述 三 力 的 关 系 为 m 习 题 3 1 7 图 由 、 分 别 解 得 ， 因 此 ， 弹 簧 的 弹 性 势 能 应 该 在 下 述 范 围 内 即所 以 ， 应 当 选 择 答 案 (D)。 习 题 3 1 8 倔 强 系 数 为 k的 轻 弹 簧 ， 一 端 固 定 ， 另 一 端 与 桌 面 上 的 质 量 为 m的 小球 B 相 连 接 ， 推 动 小 球 ， 将 弹 簧 压 缩 一 段 距 离 L后 放

21、开 。 假 定 小 球 所 受 的 滑 动 摩 擦力 大 小 为 F 且 恒 定 不 变 ， 滑 动 摩 擦 系 数 与 静 摩 擦 系 数 可 视 为 相 等 。 试 求 ： L必 须 满足 什 么 条 件 时 ， 才 能 使 小 球 放 开 后 就 开 始 运 动 ， 而 且 一 旦 停 下 来 就 始 终 保 持 静 止 状 态 。x B L O 习 题 3 1 8 图 k B 解 ： 小 球 在 现 在 位 置 能 开 始 运 动 的 条 件 为 小 球 运 动 到 x处 而 静 止 的 条 件 为 使 小 球 停 在 x处 且 保 持 静 止 的 条 件 为 联 立 以 上 三 式

22、求 解 可 得 这 就 是 L所 应 当 满 足 的 条 件 。 A B A 0 A 1 A 2 A 3 习 题 3 1 9 图 习 题 3 1 9 质 量 为 m的 平 板 A (体 积 不 计 )， 用 竖 立 的 弹 簧 支 持 而 处在 水 平 位 置 ， 如 图 。 从 平 台 上 投 掷 一 个 质 量 为 m的 球 B ， 球 的 初 速为 v， 沿 水 平 方 向 。 球 由 于 重 力 作 用 而 下 落 ， 与 平 板 发 生 完 全 弹 性碰 撞 ， 且 假 定 平 板 是 光 滑 的 。 则 球 与 平 板 碰 撞 后 的 运 动 方 向 应 为 (A) A 0 方 向

23、 。 (B) A 1 方 向 。 (C) A 2 方 向 。 (D) A 3 方 向 。 解 ： 小 球 与 平 板 组 成 的 系 统 在 水 平 方 向 动 量 守 恒 ， 小 球 与 平 板 碰 撞 后 小 球 仍 旧 保 持 原 来 的 水 平 速 度 ； 在 竖 直 方 向 ， 由 于 是 完 全 弹 性 碰 撞 而且 小 球 与 平 板 的 质 量 相 等 ， 因 而 碰 撞 后 两 者 交 换 速 度 ， 即 碰 后 小 球 竖 直 方 向 的 速 度 为 零 。 综 合 上 述 分 析 可 知 ， 碰 撞 后 小 球 以 原 水 平 速 度 v向 右 运 动 。 所 以 应 该

24、 选 择 答 案 (C). 习 题 3 2 0 水 平 小 车 的 B 端 固 定 一 弹 簧 ， 弹 簧 自 然 长 度 时 ， 靠 在 弹 簧 上的 滑 块 距 小 车 A 端 为 L， 已 知 小 车 质 量 M =1 0 k g ， 滑 块 质 量 m =1 k g ， 弹 簧 的 倔 强 系 数 为 k=1 1 0 N/m， L=1 .1 m， 现 将 弹 簧 压 缩 l=0.05m并 维 持 小车 静 止 ， 然 后 同 时 释 放 小 车 和 滑 块 ， 忽 略 一 切 摩 擦 ， 求 ： (1) 滑 块 与 弹 簧 刚 刚 分 离 时 ，小 车 及 滑 块 相 对 地 的 速

25、度 各 为 多 少 ？m k A B L 习 题 3 1 6 图 (2) 滑 块 与 弹 簧 分 离 后 ， 又 经 多 少 时间 滑 块 从 小 车 上 掉 下 来 ？ 解 ： (1) 设 滑 块 与 弹 簧 分 离 时 ， 小 车 及 滑 块 的 对 地 速 度 分 别 为 V 和 v， 则 有 解 出 V 和 v并 代 入 已 知 数 据 可 得 v=0.5m/s， V =0 .0 5 m/s(2 ) 滑 块 相 对 于 小 车 的 速 度 m/ss 习 题 3 2 1 两 个 质 量 分 别 为 m 1 和 m2 的 木 块 A 和 B ， 用 一 个 质 量 忽 略 不计 、 倔 强

26、 系 数 为 k的 弹 簧 连 接 起 来 ， 放 置 在 光 滑 的 水 平 面 上 ， 使 A 紧 靠 墙 壁 ， 如 图 所 示 。 用 力 推 木 块 B 使 弹 簧 压 缩 x0 ， 然 后 释 放 。 已 知 m1 =m， m2 =3 m。 求 ： (1 ) 释 放 后 ， A 、 B 两 木 块 速 度 相 等 时 瞬 时 速 度 的 大 小 ； (2 ) 释 放 后 ， 弹 簧 的 最 大 伸 长 量 。解 ： (1 ) 释 放 后 ， 恢 复 到 原 长 时 ， A 将 离 开 墙 。 设 此 时 B 的 速 度 为 ， 由 机 械 能 守 恒 有 A B k m 1 m 2

27、 习 题 3 2 1 图 由 此 式 解 得当 A 离 开 墙 后 ， 系 统 的 机 械 能 、 动 量 均 守 恒 ： 令 v1 =v2 ， 则 有 (2 ) 当 弹 簧 有 最 大 伸 长 量 时 ， A 、 B 两 者 速 度 相 等 ， 即 有 将 上 式 代 入 式 可 得 习 题 3 2 2 如 图 所 示 ， 一 质 量 为 M的 木 块 置 于 倔 强 系 数 为 k的 弹 簧 上 ， 系 统 处 于 静止 状 态 。 若 一 团 质 量 为 m的 橡 皮 泥 自 木 块 上 方 h高 度 处 自 由 下 落 ， 与 木 块 粘 在 一 起运 动 ， 试 证 明 弹 簧 的

28、最 大 弹 性 势 能 为 m h k M 习 题 3 2 2 图x 。解 ： 橡 皮 泥 与 木 块 碰 撞 过 程 动 量 守 恒 解 得 碰 撞 后 粘 在 一 起 的 两 者 共 同 向 下 运 动 的 速 度 为 设 它 们 下 降 距 离 x后 而 停 止 ， 在 该 下 降 过 程 系 统 机 械 能 守 恒 式 中 x0 为 碰 撞 前 弹 簧 的 初 始 压 缩 量 ， 其 大 小 满 足 由 式 可 得 把 式 和 式 代 入 上 式 最 后 得 证 毕 。 习 题 3 2 3 如 图 ， 两 个 带 理 想 缓 冲 器 的 小 车 A 和 B ， 质 量 分 别 为 m

29、1 和m 2 ， B 不 动 ， A 以 速 度 与 B 碰 撞 ， 如 已 知 两 车 的 缓 冲 弹 簧 的 倔 强 系 数 分 别为 k 1 和 k2 ， 在 不 计 摩 擦 的 情 况 下 ， 求 两 车 相 对 静 止 时 ， 其 间 的 作 用 力 为多 大 ？ (弹 簧 质 量 略 去 不 计 ) 解 ： 两 车 相 对 静 止 时 它 们 具 有 相 同 的 速 度 ， 设 此 速 度 为 v， 由 动 量守 恒 有 k1 k2 Am 1B m2 0 习 题 3 2 3 图 若 设 两 车 间 的 弹 簧 缓 冲 器 的 压 缩 量 分 别 为 x1 和 x2 ， 则 由 机

30、械 能 守 恒 得 两 车 间 的 作 用 力 联 立 以 上 三 式 最 后 可 得 习 题 3 2 4 如 图 所 示 ， 质 量 M=2 .0 k g 的 笼 子 ， 用 轻 弹 簧 悬 挂 起 来 ， 静 止 在 平 衡 位 置 ，弹 簧 伸 长 x 0 =0 .1 m， 今 有 m=2 .0 k g 的 油 灰 由 距离 笼 底 高 h=0 .3 m处 自 由 落 到 笼 子 上 ， 求 ： 笼 子 向 下 移 动 的 最 大 距 离 ? 习 题 3 2 4 图原 长 x0 xh X 分 析 ： 此 题 可 分 为 三 个 过 程 考 虑 ： 油 灰 自 由 下 落 获 得 一 个

31、与 笼 子碰 前 的 初 速 ； 油 灰 与 笼 子 发 生 完 全 非 弹 性 碰 撞 ； 油 灰 与 笼 子 作 为 一 个物 体 下 降 至 最 大 距 离 。 解 ： 油 灰 与 笼 子 碰 撞 时 间 极短 ， 笼 子 无 明 显 位 移 ， 动 量 守 恒 笼 子 （ 与 油 灰 ） 下 降 过 程 由 笼 子 、 弹 簧 、 地 球 组 成 的 系 统 机 械 能 守 恒 式 中 x 0 为 碰 撞 前 弹 簧 的 初 始 伸 长 量 。 弹 簧 的 倔 强 系 数 k 可 由 初 始 时 的 平衡 条 件 确 定 。 由 以 上 三 式 可 解 得 代 入 已 知 数 据 得 x =0 .3 m