圆锥曲线定义的应用

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1、圆锥曲线定义的应用 广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 彭海廷圆锥曲线定义是圆锥曲线的基础和最重要的内容之一，因而在各类测试中常常考查，也是高考命题的热点之一。灵活应用圆锥曲线的定义，解决圆锥曲线上的点与焦点的距离或与准线的距离的有关问题，往往会收到事半功倍的效果。一、 利用圆锥曲线的定义求曲线的方程例1 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程。解：设动圆圆心为P(x，y)，半径为R，两已知圆的圆心分别为O1、O2。分别将已知两圆的方程配方，得当P与O1相外切时，有 当P与O2 相内切时，有两式的两边分别相减，得由双曲线的定义知，点P的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长6为的双曲线的右

2、支。2a=6, 2c=8 a=3, c=4 b2=7 故动点P的轨迹方程为评注：若此题利用直接法求曲线的方程，则需要对得到的方程进行两次平方，运算相当麻烦。本题还可以改为动圆与两圆都外切或都内切。二、 利用圆锥曲线的定义求三角形的面积例2 已知F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且F1PF2=120，求的面积。解：设，由，易得c=4由余弦定理，得，由双曲线定义，知m-n=2a=，解得 评注：利用圆锥曲线的定义及正、余弦定理是解决圆锥曲线中与焦点有关的三角形问题的常用方法。三、 用圆锥曲线的定义判断曲线的形状例3 已知定点F与定直线l，有一动点M，设M到l的距离为d，满足，则M的轨迹

3、为_。解：若F l，则M的轨迹为双曲线；若Fl，M的轨迹为两条直线。故答案为双曲线或两条直线。评注：注意圆锥曲线定义中的隐形条件。 例4 判断方程所表示的曲线。解：即点P(x,y)到定点F(1,1)的距离与到定直线l：x+y+2=0的距离的比值为,故此方程表示的曲线是双曲线。评注：对原方程的变形是解答本题的关键，要达到此变形必须对定义有较深刻的理解。四、 利用圆锥曲线的定义求圆锥曲线的离心率例5 已知椭圆的两个焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，椭圆恰好平分此正三角形的另两条边，求椭圆的离心率。解：设正三角形的另一个顶点为M，MF1的中点为N，连结NF2，则F1NF2为直角三角形。在R

4、tF1NF2中F1F2=2c, NF1F2=30 NF1=c, NF2=由椭圆定义，得NF1+NF2=2a,即五、 利用圆锥曲线的定义求最值例6 已知P是椭圆上任意一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求PF1 PF2的最大值和最小值。解: 设。，由椭圆定义，得m+n=2a，则PF1 PF2=mn=m(2a-m)=-m2+2am=-(m-a)2+a2.a-cmc+a， 有最小值为b2, 最大值为a2。评注：1、本题还可以利用平均值定理及椭圆定义求最大值。 2、本题还可以利用焦三角形求解。 3、椭圆若改为双曲线，则只有最小值为b2。六、 利用圆锥曲线的定义求探索性问题例7 已知双曲线的左右焦点分别为

5、F1、F2，P是左支上的一点，P到左准线的距离为d。若是已知双曲线的一条渐近线方程，则是否存在点P，使d、PF1、PF2成等比数列？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。解：因为为渐近线方程，则。由c2=a2+b2=4a2，得c=2a，所以。假设双曲线上存在点P(x0,y0)，使d、PF1、PF2 成等比数列。所以PF12=dPF2，由此得，即PF2=2PF1 ，由双曲线的第一定义及点P的位置，得 PF2-PF1=2a ， 由、可得PF2=4a，再由双曲线第二定义，得PF2=a-ex0，所以4a= a-ex0。解得x0= 。代入双曲线方程，解得，所以。故存在点满足条件。评注：本题综合运用了双曲线的两个定义使问题得以解决。