分类讨论的思想方法

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1、四、分类讨论的思想方法概述：分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想,又是一个重要的数学方法,很多数学问题涉及知识范围广，约束条件多,很难用统一方法解决,因此就从“分割”入手，将整体化为若干局部，每个局部问题相对确定,解法单一，比较容易解决,每个局部问题解决了,整体问题也就得到解决。即采用化整为零各个击破的方针。.分类讨论的关键:1）找出分类的根源，明确为什么分类？2）找出分类的对策，明确怎样分类。一般地：1）使用数学性质，定理，公式视其限制条件,成立条件进行分类；如等比数列前项和公式,要依据公比和得到两个不同的表达式；绝对值的性质;）由概念引起的讨论，如直线与平面所成的角;3）由变形所需条件的

2、限制引起的讨论；如方程的解的情况；）由图形的不确定性引起的讨论,如到平面的距离分别为，求重心到平面的距离；5）对于含有参数的问题对参数的允许值进行全面的讨论,如直线方程的点斜式和截距式;6）其它:根据实际问题具体分析进行讨论,如排列、组合问题，应用问题。分类讨论的解题步骤:1）确定讨论的对象以及全域;2)合理分类统一标准,作到不重,不漏；3）逐类讨论,分级进行；)归纳总结得出整个题目结论。3.分类讨论的类型：1)问题中的变量或参数不确定性,需要分类讨论；）问题的条件是分类给出的;）解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的;4)几何问题中,几何元素的形状、图象位置的变化需要分类讨论的。简化和避免分类

3、讨论的方法：1)直接回避,如运用反证法、补集法、消参法。2）变更主元。3)合理简化运算。)数形结合。例题分析 例:设集合，映射,使对任何，都有是奇数，这样的映射有多少个? 变式：设函数，满足，则这样的映射个数有： ：1个;B：个;C:8个;D：10个。 例2:设,若，则的值构成的集合是 。 例3：（对问题中变量或参数进行分类讨论)函数在上最大值与最小值之差为3，则的值是多少？变式:解关于的不等式：变式:已知函数其中为常数,求这个函数的定义域。例4（问题的条件是分类给出的，需要分类讨论）已知数列的前项的和求数列的前项的和。例5给出定点，和直线是直线上一动点，的角平分线交于点C，求点C的轨迹方程并

4、讨论方程表示的曲线类型与的关系。例6设函数. 证明：的导数。 若对所有都有，求的取值范围。 （略) 令,则。 ）若,当时，, 在上为增函数，时，即 . 2)若,方程的正根为,此时若，则,故在该区间为减函数，因此,即 不符合要求。 综上：满足条件的的取值范围是。 例7：（07山东）设，其中。1， 当时，判断函数在定义域上的单调性;2， 求函数的极值点；3， 证明对任意的正整数,不等式都成立。分析：的定义域为,当时，,结论成立。讨论：当时，无极值点； 当时,=0有两个相等的解，在左右两侧符号相等,无极值. 当时，=有两个不同解 时，即,且 随的变化情况如下表：极小值 当时，,随的变化情况如下表：0

5、0+极大值极小值纵上所述：时，令，则例8:已知函数,其中。(）当时,求曲线在点处的切线方程；(）当时，求函数的单调区间与极值（）解:当时，,，又,.所以,曲线在点处的切线方程为，即（)解:。由于，以下分两种情况讨论.(1）当时,令,得到,。当变化时,的变化情况如下表:0极小值极大值所以在区间,内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且,函数在处取得极大值，且（2)当时，令，得到,当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数。函数在处取得极大值，且.函数在处取得极小值，且. 例：设函数（x）,其中R，(1)当1时，求曲线y= f(x） 在点(,f

6、（2）处的切线方程；（2）当a时，求函数(x）的极大值和极小值;。(3）当a3时,证明存在，使得不等式对任意的x恒成立。（）解：当时，得,且,。所以，曲线在点处的切线方程是，整理得。()解:令，解得或由于，以下分两种情况讨论。（1）若,当变化时，的正负如下表:因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2)若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值,且；函数在处取得极大值,且。（）证明：由，得,当时，.由()知,在上是减函数，要使,只要即 设,则函数在上的最大值为.要使式恒成立，必须，即或所以,在区间上存在,使得对任意的恒成立. 例0：已知a、b、c、是不全为零的实数,函数

7、，方程f（)有实数根,且f（x）0的实数根都是g（f（x)）=的根,反之,g（x）0的实数根都是（x）=0的根。（1)求的值;(2）若a0,求c的取值范围；(）若a=1,(1)=0，求的取值范围。 解：(1)设为方程的一个根,即，则由题设得于是，,即所以，（2)由题意及（1)知,.由得是不全为零的实数，且，则。方程就是方程就是（)当时,，方程、的根都为，符合题意。()当,时，方程、的根都为，符合题意.(）当，时,方程的根为，它们也都是方程的根，但它们不是方程的实数根.由题意,方程无实数根,此方程根的判别式，得.综上所述，所求的取值范围为.(3)由，得，,。由可以推得，知方程的根一定是方程的根当

8、时，符合题意当时，方程的根不是方程 的根,因此，根据题意，方程应无实数根那么当，即时，符合题意当，即或时，由方程得，即,则方程应无实数根,所以有且当时，只需，解得，矛盾，舍去当时，只需，解得。因此,。综上所述,所求的取值范围为。 例11：已知函数在处取得极值3c，其中a，b，c为常数。(1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x)的单调区间；（3)若对任意0，不等式恒成立，求c的取值范围。解：(I）由题意知，因此，从而又对求导得。由题意，因此,解得（I)由（I)知(）,令，解得当时，此时为减函数;当时,此时为增函数因此的单调递减区间为,而的单调递增区间为。（I）由(I）知,在处取得极小值，此极

9、小值也是最小值，要使（）恒成立，只需。即，从而，解得或所以的取值范围为 例2:设，对任意实数，记.（）求函数的单调区间;（2）求证：当x0时，对任意正实数t成立；有且仅有一个正实数，使得对任意正实数t成立。（I）解：.由，得因为当时,，当时,当时,故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是。(II)证明:（i）方法一：令，则,当时，由，得，当时，,所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立.方法二：对任意固定的，令，则,由,得.当时，当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立(ii）方法一:.由（)得,对任意正实数成立即存在正实数,使得对任意正实数成立。下面证明的唯一性：当,，时，,

10、由(i)得，再取,得,所以，即时，不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立方法二:对任意,，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，又因为,不等式成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立。巩固性训练。 设常数a,椭圆的长轴长是短轴长的二倍,则a_.2从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任选3台,其中至少要有甲乙电视机各一台,则不同的选法有_种。3 数的值域是_.4 知(1，0）,B(,)两点到过原点的直线的距离相等,则直线的方程为_.5 集合A=x4，B=|x-3a,若AB,那么a的取值范围是_.6 0,且1，=(，Q =

11、（,则P， 的大小关系是_。7 已知A,且A=，实数的取值范围是_.8 五张卡片上分别写有2,3，4,5,6，现从中选出3张排成一个三位数,如果6也能当9用，则能组成的三位数的个数是_。9 椭圆中心在原点，一个顶点和一个焦点分别是直线与坐标轴的交点,则椭圆的方程是_.10 （2,4）向圆所引切线方程是_.11 如果区间2，-1是关于的一元二次不等式的解集的子集,则的取值范围是_.12 ，且，则的取值范围是_。13 与圆相切,且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_。14 若1,则的取值范围是_。15 如果函数的最大值是2，则=_.16 已知数列的前项的和数列中, =|，,求的前项的和。17 集合A含有7个元素,集合B含有5个元素，而AB有10个元素，从A中取3个元素,B中取2个元素,组成个元素的集合C，有多少种不同的方法?18 a，试讨论关于的方程的解的个数。19 设是有正数组成的等比数列,是其前项的和，a) 证明：。b) 是否存在常数C,使数列为等比数列。20 解不等式：。21.已知函数，若关于的方程有且仅有一解,求的值。22二次函数满足且。1）证明：存在实数，对一切R，不等式恒成立，并求。2）在1)的条件下求的最小值及相应的的值。不足之处，请您指出来，谢谢！11 / 11