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1、高中数学联赛江苏初赛模拟试题一（时间：120分钟 满分：150）姓名_一、填空题：本大题共10小题，每题7分，共70分1在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是_2函数的最小值是_3双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆的位置关系一定是_4设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“美丽方程”；则“美丽方程”的个数为_5设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表；若数表的相应位置上至少有一种不同，就说是两张不同的数表，则满足条件的不同的数表的张数为_6函数的最大值与最小值之差等于_7如图，一种立方体，它的每个角都截去一种三棱锥，变成一种新的立体图形
2、；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有_条8设，其中满足，则的最小值为_9设内接于半径为的，且，为底边上的高，则的最大值为_10设为整数，集合中的数由小到大构成数列：，则_二、解答题：本大题共4小题，每题20分，共80分11已知正方形的两顶点在抛物线上，另两个顶点在直线上，求此正方形的边长12设实数满足条件，其中，求的最大值13如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心；求证：14某班有20人，参与语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数；考试成果是：没有0分；没有两个同窗的语文、数学成绩相似我们说“同窗比的成绩好”，是指“同窗的语文、数学成绩都不低于”
3、证明：存在三个同窗、，使得同窗比同窗的成绩好，同窗比的成绩好高中数学联赛江苏初赛模拟试题一答案一、填空题1在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是解：由得，；即，由正弦函数的有界性及为三角形的内角可知，且，从而，；2函数的最小值是解：；令，则，故最小值为3双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆的位置关系一定是解：设双曲线的另一种焦点为，线段的中点为，在中，为的中点，为的中点，从而，从而以线段为直径的两圆的位置关系一定是内切4设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“美丽方程”；则“美丽方程”的个数为解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，
4、当有一根为时，有9个满足题意的“美丽方程”，当一根为时，有3个满足题意的“美丽方程”，共有12个5设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表；若数表的相应位置上至少有一种不同，就说是两张不同的数表；则满足条件的不同的数表的张数为解：对于的一种排列，可以9个映射满足，而共有个排列，因此满足条件的数表共有张6函数的最大值与最小值之差等于解：，从而当时，取最大值；当时，取最小值0，从而最大值与最小值之差等于7如图，一种立方体，它的每个角都截去一种三棱锥，变成一种新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有条解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共，其中所有的棱都
5、在原立方体的表面，有36条原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连条， 6个面共有120条线都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部8设，其中满足，则的最小值为解：由，得；又9设内接于半径为的，且，为底边上的高，则的最大值为解：设，则；，其中；的最大值为10设为整数，集合中的数由小到大构成数列：，则解：为整数且，最小取2，此时符合条件的数有；，可在中取，符合条件有的数有；同理，时，符合条件有的数有；时，符合条件有的数有；时，符合条件有的数有；时，符合条件有的数有；是中的最小值，即二、解答题：11已知正方形的两顶点在抛物线上，另两个顶点在直线上，求此正方形的边长解：设两点坐标
6、分别为、，显然；，即；一方面， 另一方面， 将代入，得，即；故或12设实数满足条件，其中，求的最大值解：，；，从而，；，当且仅当，时等号成立；即，时，有最大值：13如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心；求证： 证明：如图，连结和，；，又，；延长交于，连结；，四点共圆；，即；又，；于是，即，14某班有20人，参与语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数；考试成果是：没有0分；没有两个同窗的语文、数学成绩相似我们说“同窗比的成绩好”，是指“同窗的语文、数学成绩都不低于”证明：存在三个同窗、，使得同窗比同窗的成绩好，同窗比的成绩好证明：若同窗比的成绩好，记为；原问题等
7、价于证明：存在三个同窗满足用表达第个同窗的语文、数学成绩（）；于是且等号不能同步成绩语文成绩（）在1到10的整数值中取值，对这20个同窗的语文成绩，由抽屉原理知，下列情形之一必然浮现：情形1：某个分数值，至少有3人获得；即存在某个，使得（其中两两不等）；情形2：每个分数值，正好均有2人获得，即对任意的，存在不同的，使得；同理，对于数学成绩同样有两种情形：情形：存在某个，使得（其中两两不等）；情形：对任意的，存在不同的，使得；下面进行讨论：对情形1：若，则由条件知两两不等；不失一般性，不妨设，则，即存在三个同窗存在三个同窗、满足；对情形：同理可证；对情形：有两个，不失一般性设，于是得，且，不失一般性，设，则；这时，对于，若浮现情形，则结论成立；若浮现情形，则必有2人得10分，不妨设为，易知中至少有一种不取1（否则与条件矛盾），设为，则；因此，故结论成立；对于情形2，同理可证；综上所述，结论成立
高中数学联赛江苏初赛模拟试题01
