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1、1.3空间几何体的表面积与体积,第一章空间几何体,复习回顾,上面提到的物体的几何结构特征大致有以下几类：,多面体,旋转体,柱体,锥体,台体,球,问题:1.长方体的展开图与其表面积有何关系？,水立方的长，宽，高分别为177m177m30m试求它的表面积,思考1：,(1)矩形面积公式：_。(2)三角形面积公式：_。正三角形面积公式：_。(3)圆面积面积公式：_。(4)圆周长公式：_。(5)扇形面积公式：_。(6)梯形面积公式：_。(7)扇环面积公式：_。,知识回顾,如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积？,侧面展开图的构成,几何体的展开图,表面积=侧面积+底面积,一组平行四边形,一组梯形,一组三角
2、形,探究：,例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。,因为SB=a，,所以：,因此，四面体S-ABC的表面积,交BC于点D,解：先求的面积，过点S作,典型例题,例2.下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积,12,解：直观图是四棱台,侧面是四个全等的梯形,上下底面为不同的正方形,如何根据圆柱、圆锥、的几何结构特征求它们的表面积.,问题1,圆台呢？,圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、梯形的面积有什么相似的地方？,问题2,圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式有什么联系？,侧面积,侧面展开
3、图,问题3,1.看图回答问题,做一做,3.以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为_.,_.,2.一个圆柱形锅炉的底面半径为,侧面展开图为正方形，则它的表面积为,21,4.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，这个圆锥的底面直径_.,分析(1)花盆外壁的面积=花盆的侧面积+底面积-底面圆孔面积,23,(2)涂100个需漆:y=0.1100100=1000(毫升),答:每个涂漆面积0.1,100个需涂漆1000毫升.,24,解:,(1),蜜蜂爬行的最短路线问题.,易拉罐的底面直径为8cm,高25cm.,分析:可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题
4、转化为平面几何的问题.,A,趣味数学,三者之间关系,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,柱体、锥体、台体的表面积,小结：,圆台,圆柱,圆锥,一、基本知识,二、思想方法,由特殊到一般,类比、归纳、猜想,转化的思想,直棱柱,：侧棱和底面垂直的棱柱,正棱锥,：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为正棱锥。,正棱台,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台,练习,5.已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。它的展开图的形状为_。该图形的弧长为_cm，半径为_cm，所以圆锥的侧面积为_cm2。,扇形,6,3,4,扇形面积公
5、式,学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法,球的体积,我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是,当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式,即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积,球的体积,分割,求近似和,化为准确和,问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.,O,R,O,A,球的体积,球的体积,球的体积,2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心
6、作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.,1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.,球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?,下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式,球的表面积,球的表面积,第一步：分割,球面被分割成n个网格
7、，表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,球的表面积,第二步：求近似和,由第一步得：,球的表面积,第三步：化为准确和,如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥,球的表面积,例1.钢球直径是5cm,求它的体积.,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),例题讲解,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心钢球的内径约为4.5cm.,由计算器算得:,例题讲解,(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?
8、,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体,侧棱长为5cm,例题讲解,例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,例题讲解,例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R，截面O的半径为r，,例题讲解,例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,例题讲解,2.一个
9、正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.,8,3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.,练习一,课堂练习,4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.,练习二,1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.,2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.,3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.,课堂练习,7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是_.,5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_.,6.若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为_.,练习二,课堂练习,了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割求近似和化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；,熟练掌握球的体积、表面积公式：,课堂小结,
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