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1、概率论与数理统计习题及答案第七章 1对某一距离进行5次测量，结果如下： （米）.已知测量结果服从，求参数和的矩估计. 解 的矩估计为，的矩估计为 ， 所以 2设是来自对数级数分布的一个样本，求的矩估计. 解 （1）因为很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩 （2） （1）（2）得 所以 所以得的矩估计 3设总体服从参数为和的二项分布，为取自的样本，试求参数和的矩估计 解 解之得， ，即 ， ，所以 和的矩估计为 ，. 4设总体具有密度 其中参数为已知常数，且，从中抽得一个样本，求的矩估计 解 ，解出得 于是的矩估计为 . 5设总体的密度为 试用样本求参数的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计：
2、解出得 所以的矩估计为 . 再求极大似然估计： ， ， ，解得的极大似然估计： . 6已知总体在上服从均匀分布，是取自的样本，求的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计： ， 解方程组 得 注意到，得的矩估计为 ，. 再求极大似然估计 ，由极大似然估计的定义知，的极大似然估计为 ；. 7设总体的密度函数如下，试利用样本，求参数的极大似然估计. （1） （2）. 解 （1） 解似然方程 ，得的极大似然估计 （2）由极大似然估计的定义得的极大似然估计为样本中位数，即 8设总体服从指数分布 试利用样本求参数的极大似然估计. 解 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为 9设来自几何分布 ，试求未知参数
3、的极大似然估计. 解 ， 解似然方程 ，得的极大似然估计 。 10设是来自两个参数指数分布的一个样本. 其中，求参数和的（1）极大似然估计；（2）矩估计。 解 （1） 由极大似然估计的定义，得的极大似然估计为 ； 解似然方程得的极大似然估计 （2） 解方程组 得 .所以的矩估计为 11罐中有个硬币，其中有个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5）其余个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为，利用（1）矩法；（2）极大似然法去估计参数。 解 设为连掷两次正面出现的次数，取出的硬币为普通硬币
4、，则 , ，即的分布为 （1）解出得 的矩估计为 （2）， ，解似然方程 得的极大似然估计 . 12设总体的分布列为截尾几何分布 ，从中抽得样本，其中有个取值为，求的极大似然估计。 解 解似然方程 得的极大似然估计 . 13设总体服从正态分布是其样本，（1）求使得是的无偏估计量；（2）求使得为的无偏估计量. 解 （1） 可见当时，是的无偏估计量. （2） 设 ，因 ，所以 . 因为 ，所以于是 故当 时是的无偏估计。 14设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数，统计量是的无偏估计量。 证 （此处利用了是的无偏估计，是的无偏估计），所以对任意的是的无偏估计。 15设总体有期望为一样
5、本，问下列统计量是否为的无偏估计量？（1）;（2）;（3）;（4）；（5）；（6）. 解 （1），（2），（3）都是样本的线性组合，而且组合系数之和为1，故它们都是的无偏估计。但（4），（5），（6）一般不是的无偏估计，如，则，而不是0就是1，且 ，故 即 不是的无偏估计。 16设是参数的无偏估计量，且有，试证明不是的无偏估计量。 证 ，即 不是的无偏估计量. 注：该题说明：当是未知参数的无偏估计时，的函数不一定是的函数的无偏估计。 17设总体，是来自的样本，试证估计量 ；， .都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效. 证 故都是的无偏估计. , ， .所以最有效. 18设总体服从区间上的均
6、匀分布，未知，是取自的样本。（1）求的矩估计和极大似然估计量；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是，请修正为无偏估计量；（3）问在（2）中两个无偏估计量哪一个更有效。 解 （1）先求矩估计 ， ，所以的矩估计为 再求极大似然估计. ，所以的极大似然估计为 （2）可见矩估计是的无偏估计. 为求的数学期望，先求的密度. 总体的分布函数为 的分布函数为 所以 可见不是的无偏估计，若将修正为，则是的无偏估计。 （3） .故 较有效. 19设总体的数学期望已知，试证统计量是总体方差的无偏估计. 证 ， 证毕. 20设总体为来自的样本，试证是的相合（一致）估计. 证 因为相互独立，所以也相互独立且
7、具有相同的分布，由大数定理，对任意的有.即 依概率收敛于，而依概率收敛于，由依概率收敛的性质.又由于（当时）而，故依概率收敛于，从而 是的相合估计。 21设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。 证 由切比雪夫不等式，对任意的有 于是 即 依概率收敛于，故是的相合估计。 22设是取自均匀分布在上的一个样本，试证是的相合估计。 证 的分布函数为 的密度为 所以 由切比雪夫不等式有 当时 故 是的相合估计. 23从一批钉子中抽取16枚，测得长度（单位：厘米）为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15,
8、2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，设钉长分布为正态，试在下列情况下，求总体期望的置信度为0.90的置信区间。 （1）已知厘米； （2）为未知. 解 （1）的置信区间为 的置信区间为； （2）的置信区间为 的置信区间为. 24生产一个零件所需时间（单位：秒），观察25个零件的生产时间，得，试以0.95的可靠性求和的置信区间. 解 的置信区间为 其中 所以 的置信度0.95下的置信区间为 的置信区间为 所以的置信区间为 . 25零件尺寸与规定尺寸的偏差，令测得10个零件，得偏差值（单位：微米）2, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4，
9、试求的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。 解 的无偏估计为 的无偏估计为 的置信区间为 所以 的置信度为0.90的置信区间为； 的置信区间为 所以的置信度0.90下的置信区间为 . 26对某农作物两个品种计算了8个地区的单位面积产量如下： 品种A：86，87，56，93，84，93，75，79； 品种B：80，79，58，91，77，82，74，66. 假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产量之差在置信度为0.95下的置信区间. 解 此题是在的条件下求的置信区间. 的置信区间为 其中 .所以的置信度为0.95下的置信区间为 . 27设和两批导线是用不
10、同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得，若批导线的电阻服从分布，批导线的电阻服从，求的置信度为0.90的置信区间. 解 的置信区间为 其中 .所以 的置信度0.90下的置信区间为. 28两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件测量其长度，算得，假定各台机床零件长度服从正态分布，试求两个总体方差比的置信区间（置信度为0.95）。 解 的置信区间为 其中 所以的置信区间为. 29设是来自参数为的指数分布总体的一个样本，试求的置信度为的置信区间. 解 由习题六的第7题知 . 对于给定的，查分布表，求出临界值和使 解出得 即的置信度下的置信区间为 . 30设总体服从区间上的均匀
11、分布为来自的一个样本，试利用的分布导出未知参数的置信度为的置信区间. 解 的分布函数为 的分布函数为的分布函数为 对于给定的，令 即 由的分布函数的表达式即 从而得 即 将暴露出来得 所以的置信度为下的置信区间为 31设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体的一个样本值，已知服从正态分布 （1）求的数学期望（记为）； （2）求的置信度为0.95的置信区间； （3）利用上述结果求的置信度为0.95的置信区间. 解 （1） ； （2）的置信区间为 其中 ， 所以的置信区间为 （3）由的严格单调性及（2）. 注意到，知的置信度为0.95的置信区间为 . 32从一台机床加工的轴中随机地
12、取200根测量其椭圆度，由测量值（单位：毫米）计算得平均值，标准差，求此机床加工的轴之平均椭圆度的置信度为0.95的置信区间。 解 因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均椭圆度为，由中心极限定理近似服从，对于给定的，查正态分布表，求出临界值使 即的置信区间为 . 33在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货次品率的置信区间（置信度近似为0.95） 解 设次品率为，100件产品中的次品数为，由教材163页知，的置信区间为，其中 此处 本题中 ， 于是的置信度近似为0.95的置信区间为 . 34设为来自参数为的泊松分布的样本，试求的置信度近似为0.95的置信区间. 解 由中心极限定理知近似服从 对于给定的，查正态分布表求出临界值使 将括号内的不等式进行等价变换： 所以的置信度近似为0.95的置信区间为 ，其中。
《概率论与数理统计》习题及答案第七章
