附录B：Mathematica的基本应用

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1、附录B： Mathematica的基本应用1. 什么是 MathematicaMathematica是美国Wolfram Research公司开发的通用科学计算软件，主要用途是科学 研究与工程技术中的计算，这里介绍的是第6版（2009年更新为第7版）。由于它的功能十分 强大，使用非常简便，现在已成为大学师生进行教学和科研的有力工具。它的主要特点有：1）既可以进行程序运行，又可以进行交互式运行。一句简单的Mathematic命令常常可以完成 普通的c语言几十甚至几百个语句的工作。例如解方程：x4 + x3 + 3x-5 = 0只要运行下面的命 令：Solvex人4+x人3+3 x-5IH0,x。

2、2）既可以进行任意高精度的数值计算，又可以进行各种复杂的符号演算，如函数的微分、积 分、幕级数展开、矩阵求逆等等。它使许多以前只能靠纸和笔解决的推理工作可以用计算机 处理。例如求不定积分：j x4 e-2x dx只要运行下面的命令：IntegratexA4*Exp2 x,x。3）既可以进行抽象计算，又可以用图形、动画和声音等形式来具体表现，使人能够直观地把 握住研究对象的特性。例如绘制函数图形：y =幻旭cos x, x g 0,兀，只要运行下面的命令：PlotExpx/2*Cosx,x,0,Pi。4）Mathematica把各种功能有机地结合在一个集成环境里，可以根据需要做不同的操作，给 使

3、用者带来极大的方便。2. Mathematica的基本功能2.1基本运算及其对象Mathematica的基本数值运算有加法、减法、乘法、除法和乘（开）方，分别用运算符“+”、 “_,、“*”、/”和“人”来表示（在不引起误解的情况下，乘号可以省略或用空格代替），例 如2.4*3人2 -（5/（6+3）人（1/3）表示2.4x32 -35 （6 + 3）。小括号“（”和）”作为表示运算优先顺 序的符号，用于组合运算；中括号用于命令和函数，大括号用于集合和列表。Mathematica的关系运算符有：、=、=、！=、=等，它们的意义与通常的数学语 言相同，要注意“!=”表示不等于，双等号“ =”表示

4、等于。而单等号“=”和冒号等号“:=” 表示定义或赋值，不表示相等。逻辑运算符主要有:！、&、II，它们的意义与c语言中相同， 分别是“非”、“与”、“或”。Mathematica的基本数值运算对象有常数、变数和函数，包含整数，有理数、实数和复数 等数值类型。为了方便，Mathematica预先用符号表示了一些重要常数，如Pi表示圆周率兀， E表示自然对数的底e = 2.17828，I表示虚单位i，Infinity表示无穷大8等。比如说， E人（2*Pi*I）表示 e2兀i。Mathematica还预先定义了大量数学函数以供调用，调用格式为“函数名自变量”，预定义的函数名用大写字母开始的标识符

5、表示，常用的有函数名及使用格式函数的功能Absx求x的绝对值Expx求e的x次幕Logx求x的自然对数In(x)Logb,x求以b为底的x的对数Sinx,Cosx,Tanx求x的正弦、余弦和正切函数ArcSinx,ArcCosx,ArcTanx求x的反正弦、反余弦和反正切函数Factorialn或 n!求n的阶乘(其中n可以取实数)Mathematica中也允许我们自己定义函数，定义函数的格式为“函数名自变量:=表达式”。 其中函数名用标识符表示，自定义的标识符通常以小写字母开始，后跟数字和字母的组合， 例如：fnl、g等；中括号里的自变量后面要有下划线；冒号等号表示定义，也可以用等号来 替换

6、；表达式中可以包括已经定义过的函数。例如tryx_：=3+x*Sinx人2表示定义了函 数try(x) = 3 + x sin(x2)。自定义函数的调用方式与预定义的函数完全相同，如Dtryx,x 表示自定义函数try(x)对自变量x求导，输出结果为2 x2 Cosx2+Sinx2。Mathematica中变数可以根据需要自行定义，一个变量可以用来表示一个数，或者一个表 达式，甚至一个图形。定义变量的格式为“变量名=表达式”。其中变量名用标识符表示，等 号“=”同时还有为变量赋值的作用。例如：x=3八2 + 4定义了变量x，同时赋予该变量值为 l3。2.2符号演算1) 解代数方程Mathema

7、tica中解代数方程的命令是Solve，它能给出方程的所有解析解，而且结果中可 以含有参数或虚数。使用格式为“Solve方程，变量”，其中方程里必须用双等号表示相等， 变量为本次命令所要求解的变量。例如对变量x求解方程x2 + px + q = 0可以用命令 Solvex人2+p*x+qP0,x，结果为X1pp2 4 q , x p p222又如求解方程x4 + 2 x2 + 5 = 0可以用命令SolvexA4+2*xA2+5Q0,x，结果为x 1 2, x 1 2, x 1 2, x 1Solve命令还能求解代数方程组，使用格式为“Solve方程组，变量组”。2) 求积分Mathemati

8、ca中求不定积分的命令是Integrate，它能给出被积函数的原函数，使用格式为 “Integrate 被积函数，积分变量”。例如求不定积分xsinxdx可以用命令IntegratexSinx,x，结果为 -x Cosx+Sinx。Integrate命令也能求定积分，使用格式为“Integrate 被积函数，积分变量，下限，上限”。例如求定积分七-2x sin xdx可以用命令 IntegrateExp-2 x*Sinx, 0x,0,Infinity，结果为 1/5 。3）求导数和解常微分方程Mathematica中求导函数的命令是D，使用格式为“D 函数，自变量”，例如求arcsin x2

9、的导函数可以用DArcSinx人2,x； D命令也可以用来求函数的n阶导数，格式为“D 函 数，自变量，n”。Mathematica中求解常微分方程的命令是DSolve，它能给出方程的通解。使用格式为 “DSolve方程，待求函数，自变量”，其中方程里可以用单引号表示对待求函数的导数。例 如求微分方程（x） + y（x） = 2的通解可以用命令DSolveyx+yxD2,yx,x，输出 结果为yx2+-x C1。存在定解条件时，Dsolve还能给出微分方程的特解，使用格式为DSolve方程，条件， 待求函数，自变量”，例如求微分方程y+ 4y = 0, y（0） = 0, y （0） = 6的

10、特解可以用命令 DSolveyx+4 yxD0,y0D0,y0D6,yx,x，结果为yx 3 Sin2 x。2.3数值计算1）近似运算Mathematica中的运算分为精确运算与近似运算，在一般情况下Mathematica总是进行精 确运算，如果运算数本身为近似数或者操作者要求进行近似运算时才进行近似运算。 Mathematica提供的近似（数值）计算的命令为“N”，它可以把精确数化为近似数。近似计算 的命令格式为“N表达式，有效数字位数”。例如，要把J2 + ln3化成20位有效数字的近似 数，命令为 N2人（1/2）+Log3,20，得到的结果为 2.5128258510412047402

11、。在N命令中，有效数字位数可以缺省，在缺省时系统默认为取6位有效数字。例如，命 令N2人（1/2）+Log3，输出的结果为 2.51283。N命令也可以采用后缀的形式，例如上面的操作也可以表达为2人（1/2）+Log3/N， 输出的结果同样为2.51283。2）代数方程的数值解对超越方程或者五次以上的代数方程，一般来说不存在解析解。这时Mathematica提供 了数值求解的命令FindRoot，格式为“FindRoot方程，变量，初值”，例如对方程x + ex = 2 在 x = 0 附近求解，可以用命令 FindRootx+Expxa2,x,0，结果得x0.442854 。 FindRoo

12、t命令能够求解任意代数方程，但一次只给出一个实根。3）定积分的数值计算Mathematica中数值计算定积分的命令为NIntegrate，使用格式为“NIntegrate 被积函数积分变量，下限，上限”。例如求定积分M (e-2x /x)dx可以用命令NIntegrateExp-2 1x/x,x,1,Infinity，结果为 0.0489005。4) 常微分方程的数值求解Mathematica中数值计算常微分方程特解的命令为NDSolve，使用格式为“NDSolve方 程，条件，待求函数，自变量，下限，上限”，例如求微分方程y+ 3xy = 0, y(0) = 0, y (0) = 5 在 x

13、g0, 5范围内的数值特解，可以用命令 NDSolveyx+4 yx 口0,?0 口0,：70O3,yx,x,0,5，结果得到一个定义0, 5区间内的插值函数 yx lnterpolatingFunction0.,5.,x，Mathematica虽然不能用 解析公式将它表达出来，但是可以列出函数值表或绘出函数图象。2.4函数作图1) 一元函数作图Mathematica中提供了多种函数作图的命令，对一元显函数作图的命令为Plot，使用格式 为“Plot函数，自变量，下限，上限，选项”，表示给定区间上，按选项的要求画出函数的 图形，取默认设置时选项可以省略。例如按默认设置画出函数y = ex si

14、n x - x在区间x e 0,兀中的图象，可以用命令Plot Expx Sinx-x,x,0,Pi，结果为在格式中把函数改为函数组，就可以在给定区间上，按选项的要求同时画出几个函数的 图形。2) 参数方程的作图对于以参数方程形式给出的函数，Mathematica中提供了参数作图的命令，格式为“ParametricPlot函数组，参数，下限，上限，选项”。例如画一个参数方程为x = 3cos t， y = 2sin3 t 在区间 t e 0, 2 兀上的函数，用命令 ParametricPlot3 Cost,2 Sin3t,t,0,2 Pi，结果为3）二元函数作图Mathematica中对二元

15、函数作图的命令为Plot3D,使用格式为“Plot3D二元函数，自变 量1,下限，上限，自变量2,下限，上限，选项”，表示给定区间上，按选项的要求画出 二元函数的立体图形。例如按默认设置画出函数= sinxcos2y在区间x g 0,兀，y g 0,4 中的空间曲面，可以用命令 Plot3DSinx Cos2 y,x,0,Pi,y,0,4，结果 为3. Mathematica在量子力学中的典型应用3.1量子力学中的常用函数1）正交多项式厄密多项式Hn（x）的Mathematica形式为HermiteHn,x，下面的命令给出前4个厄密多项式HermiteH0,1,2,3,x输出的结果为1,2 x

16、,-2 + 4 西-12 x+8 x3下面的命令给出上述函数在区间0,2内的图像PlotHermiteH0,1,2,3,x,x,0,2输出结果拉盖尔多项式L (x)的Mathematica形式为LaguerreLn,x；缔合拉盖尔多项式L (X) 的Mathematica形式为LaguerreLn,k,x。下面的命令给出前4个拉盖尔多项式LaguerreL0,1,2,3,x输出的结果为1,2 x,-2 + 4 西-12 x+8 x32) 勒让德多项式与球函数勒让德多项式P(X)的Mathematica形式为LegendrePl,x；连带勒让德函数P(x)的 Mathematica 形 式为 L

17、egendrePl, m,x;球谐函数Y (。，甲川勺Mathematica形式为 SphericalHarmonicYl,m,0,。下面的命令给出球谐函数七1(。,甲)的具体形式SphericalHarmonicY2,1,0,巾输出的结果为-：cos 0 SinS3) 柱函数m阶贝塞尔函数J (x)的Mathematica形式为BesselJm,x；诺伊曼函数N (x)的Mathematica 形式为 BesselYm,x；第一、第二类汉克尔函数 H(i)(x)和 H(2)(x)的 Mathematica 形式分别为 HankelH1m,x和 HankelH2m,x。l阶球贝塞尔函数ji(x

18、)的Mathematica形式为SphericalBesselJl,x；球诺伊曼函 数七(x)的Mathematica形式为SphericalBesselYl,x。下面的命令可以将前3个自然 数阶的球贝塞尔函数展开为初等函数形式FunctionExpandSphericalBesselJ0,1,2,x输出的结果为Sinx Cosx Sinx 3 Cosx （3 -x1） Sinx4) 狄拉克函数狄拉克函数&(x)的Mathematica形式为DiracDeltax,其积分亥维赛函数(单位阶 跃函数)(x)的Mathematica形式为HeavisideThetax。下面的命令Integrate

19、DiracDeltax,x给出狄拉克函数的不定积分5 (x)dx，输出的结果为HeavisideThetax离散情况下的狄拉克函数5 (i - j )与数学中常用的克雷内克符号等效，其Mathematica 形式为 KroneckerDeltai,j。3.2傅里叶变换1)傅立叶变换函数h(x)的傅立叶变换H()为(B3-1)H()=1e-ixh(x)dx 1进行傅立叶变换，命令语句为hx_=HeavisideThetax+1-HeavisideThetax-1;FourierTransformht,t,得到的结果为2)傅立叶逆变换傅立叶变换H()的逆变换为h(x)=二 J8 H()ed(B3-

20、3)2兀-8对应的 Mathematica 命令为 InverseFourierTransform， 使用格式为InverseFourierTransform新函数，新变量，原变量。例如，求像函数H(w ) = 1的傅立叶逆变换，命令语句为InverseFourierTransform1,w,t输出的结果为2 DiracD3)傅立叶变换的参数设置文献中常用的傅立叶变换有几种不同的定义，(B3-1)和(B3-1)只是Mathematica所默认的定 义方式。为了便于不同习惯的人使用，Mathematical供了在傅立叶变换及其逆变换中选择定义方式的参数FourierParameters。当我们在

21、命令中设置参数FourierParameters-i,幻后，Mathematica将按照下面的公式来定义傅立叶变换及其逆变换- J 8 e-ibxH ()db H ()=-(2 兀)1-a卜 eibgh(x)dx, h(x)=一3(B3-4)例如，我国数学物理教材【21】常用的定义为(B3-5)H ()=1e&xh(x)dx, h(x) =eM()d 2 兀 -8-8需要在命令中把参数设置为FourierParameters-1,-1 o3.3矩阵的本征值和本征向量一个2D2矩阵1112的Mathematica形式为a ,a ,a ,a ，也可以用基本数aa J11 1221 22学输入软键盘

22、来输入，高阶矩阵的输入方法与此相同。计算矩阵本征值的Mathematica命令为Eigenvalues，计算本征向量的命令为 Eigenvectors，而命令Eigensystem可以同时求出一个矩阵的本征值和本征向量。例如，考虑矩阵m = 3， 1， 1， 1，命令Eigenvaluesm给出该矩阵的本征 值2 + 2,2 亳；命令Eigenvectorsm给出该矩阵的本征向量 【+ 2 1；命令Eigensystemm同时给出该矩阵的本征值和本征向量+ 2 ,2-【，要注意所给出的本征向量是未归一化的。4. Mathematica 的运行4.1启动假设在Windows环境下已安装好Math

23、ematica6，启动Windows后，双击桌面上的快捷方 式，或在“开始”菜单的“程序”中单击图谜，就启动了 Mathematica6。在屏幕上方第一 行为标题栏，标题栏的左边标明了正在处理的文件名，最右边是退出按钮；第二行为菜单栏， 最常用的有文件菜单File、编辑菜单Edit、运算菜单Evaluation、工具菜单Palettes和帮 助菜单Help。菜单栏左下方为Notebook窗口，供输入和输出用,系统把Notebook中的内容作 为一个文件，暂时取名Untitled-1，直到用户重新命名时为止。菜单栏右下方为基本数学输 入软键盘，提供了进行二维输入的基本工具。基本数学输入软键盘可以

24、从工具菜单Palettes 中，点击BasicMathInput来调取。4.2输入按照的Mathematica的语法要求，把命令输入到Notebook窗口中即可。常用的输入方法 有两种：一种是前面所介绍的直接利用键盘进行一维输入，另一种是利用基本数学输入软键 盘进行二维输入（具体方法与Word中公式编辑器的用法相同）。4.3计算在输入完成后，按组合键Shift + Enter,或在Kernel菜单中选择EvaluationEvaluate Cells, Mathematica就会对所输入的命令按顺序编号，用Inn标记，并进行检查。如果有错误就进 行提示，否则就开始计算。计算完成后，Mathematica会把得到的结果显示在Notebook窗口， 并用Outn标记。例如这时你可以继续输入下一条命令，也可以选择退出。退出时Mathematica会提示您保存。4.4退出单击标题栏上的退出按钮，或在菜单File中选择Exit，即可结束本次运行，退出Mathematica。