第2章单因素方差分析

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1、第 12 章 方差分析(Analysis of Variance)方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素 的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能 影响产品产量和质量特征。有的影响大些，有的影响小些。为了使生产过程稳定，保证优质 高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。方差分析就是处理 这类问题，从中找出最佳方案。方差分析开始于本世纪20年代。1923年英国统计学家R.A. Fisher首先提出这个概念， （ANOVA）。因当时他在

2、Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实 验上，通过分析提高农作物产量的主要因素Fisher1926年在澳大利亚去世。现在方差分析 方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水 平”或“处理”（treatment）。若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是 多因素试验。下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1. 一般表达形式2. 方差分析

3、的假定前提3. 数学模形4. 统计假设5. 方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6. 举例7. 多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。某农业科研所新培养了四种水稻品种，分 别用A，A2, A3, A4表示。每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。除水稻 品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田 中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。类似的例子很多， 如劳动生产率差异，汽车燃油消耗，金属材料淬火温度等问题。上述问题可控实验条件是“种 子”。所以种子是因素

4、。把不同的品种A” A2, A3, A4称为“水平”。1，2, 3, 4表示试验批号，即每次随机的选取某个地块种某个品种的种子。称此种问题为单因素试验。单因素试验通常分多个试验批号，目的是平衡一些不可控因素带来的影响。如土地的基 本条件不一样。如各品种只试验一次，必然在试验结果中含有不可控因素带来的影响。在众多的数据中，怎样判别不同品种的水稻产量是否存在显著性差异？初步观察A1品 种的产量可能低一些，A3，A4的产量可能高一些。这是从平均数上观察。若按前面介绍的 两个总体的比较，需要作C24= 6次检验。比较麻烦，所以需要方差分析方法。首先从数学上给出这类问题的一般形式（单因素）比号验结果水平

5、行平均均值AA,PIjmXuXijX.i mX1XkjX.k m元1.Xk3 z X.* / k=x（km = N）X1 jX1m这表明该可控因素共有k个水平，每个水平都进行m次试验，某个水平上的m次试验 可当作一个样本看待。X.表示第i个水平上第j次试验的结果。很容易看出当水平只有2个时，这相当于两个总体的均值的显著性检验问题。现在的目 的是要分析各个水平上的均值是否有显著性差异。1.1.2方差分析的假定前题（1）每个水平（Ai）上的随机变量X.的分布都是正态的，即服从N（庇6）。但光，（1= 1, m），B未知。每个水平上的一系列观测值，看作是取自该水平正态总体的一个容量为m的 样本。（2

6、）认为k个水平上的k个总体方差相等，都是b2 （方差齐性）。（3）观测值X.相互独立。这三个假定在实际中一般都能得到满足。1.1.3数学模型因为X.jNg, b2），（I = 1, .M）所以可以把观测值X.分解为两部分，即X.=光 + e.j , （I = 1, ., k）,（j = 1, 2, ., m）其中表示X.对光的随机偏差。为便于比较水平不同对X.造成的影响，可以把光也分解 成两部分 zylJ1光.=日 + a.（I = 1, ., k）.=1其中日=*丈H .，称为总平均（Grand mean），a.称为A.水平上的效应，它满足 a. = 0把光代入上式则有:X.j =日 + %

7、 + e., % = 0,(i=1, 2, ., k) , (j=1, 2, , m)e.表示随机变量，%.表示水平变量。这就是单因素方差分析的数学模型。1.1.4统计假设：若可控因素的不同水平对试验结果无显著性影响，那么观测值X.应该来自同一正态总 体，X. . - N(jb2)。所以对应的零假设是H。： 出=.,光.=四k =四 或 %1 =,，=%k = 0H1：光不全相等或.不全为零。当H0成立时，样本的行平均数X.必然差异不大，差异表现为随机误差，当可为真时，X,间必存在较大差异，这时差异表现为系统误差。I. 1.5方差分析方法为判别不同水平对试验结果有无显著性影响，关键是把观测值变

8、量中的随机误差和系统 误差分开，并能进行比较，问题就解决了。(1)分解总离差平方和(Total Sum of Squares)，一 W -ST =乙乙(X广X)2i=1 J=1方法是在st公式中加入行平均数X.。-, 一 W 一， 一、，一 一 一ST =乙乙(X - X)2 =乙乙(X - X ) + (X. - X)2.=1 J=1.=1 J=1W ,-、 WW 一、， 一 、,一 一、=乙乙(X - X )2+ 乙乙(X. - X)2 +2乙乙(X - X )(X . - X).=1 j=1.=1 j=1.=1 j=1因为 尤(x广 x )( xx )= (X - x )艺(x. - x

9、 )=0= 1 j = 1= 1j = 1所以ST(X= 1 j = 1-X)2 = (X广 X, )2= 1 j = 1S疽 (X X)2 = m(X. - X)2.=1 j=1.=1ST=SE +Sa其中st称总离差平方和，总变差。se称样本组内离差平方和。它测量同一水平上因重复实 验而产生的误差。这是由于不可控因素引起的，故se反映的是随机误差。sa称样本组间离差平方和。它表示各个水平上的样本平均数X.与样本总平均数X之间离差的加权平方和。可见不同水平上的样本差异越大，Sa的值就越大。它反映的是系统误差。（2）.求各离差平方和 St， Sa，Se 的自由度（Degrees of free

10、dom），fT，fA，fE。st =桅尤 （X广X ）2的自由度。因随机变量X的个数是N个，相互独立，但受一个约 i=1 J =1束条件。X = NlSnXjj约束，所以自由度为N- 1，即fT = N- 1。 i=1 J =1Sa =（X - X）2= m（X t - X）2的自由度。因 X的个数是k个，但受条件.=1 j=1.=11 KX =匕mX,约束，所以自由度为fA = k -1。i = 1s= 切 （X - X ）2的自由度。因X.的个数为N，但受条件X = m X，（匕1, ., k）Eij ijiiji =1 j=1j=1约束，所以自由度为fE = N- k。三个自由度之间也有

11、这样的关系。fT = fA + fE， N - =（N k）+（k-1）（3）F检验S -T =b 2在H0成立条件下，乂可服从正态分布N（W b2），又知乂寸相互独立，所以有X2(N - 1) (Xf )2-A = i=1 j=1X2b 2b 2X(k-1)X2(N -k) (x - x )2 M = ij_-b2b2且sa, se相互独立（证明从略）。由抽样分布一章知，若X - X2 ，JX2 ,且X与J相互独立，则（n1）（n2）F =冬Fy / n 2（ni，n2）当已知*, SE相互独立且分别服从（k-1）和（N-k）个自由度的部分布时，则有（k DF = A 成一）FSe （N k

12、）SE 3 - k）（k-1）（N-k）b 2有了统计量F就可以做假设检验。怎样制定判别规则？分析如下：在H0成立条件下，有E二）=E（三Di）=项）k Tk Tk -1=伯十）=m（ X） = m 已=。2艺（Xj X ）24=1m 一 1k 11 mE（ ） = E（ Se ） = E1 N k km k k（xM =1 贰m 1ki=11梦乙 b 2 = b2 k=1可见；七和匚都是b2的无偏估计量。所以在H成立条件下，F= 其一，应接k 1 N k0Se /（N k）近1。当F值很大时，说明组间均方误差，大于组内均方误差，则不能认为k个总体服从同 一个正态分布，即拒绝H。，否则接受H0

13、。这是一个单端检验问题。临界值由检验水平X确 定。pFFS1）（n - k） = a检验步骤是：（1）建立假设H：四=四2= .=如=四（2）选统计量F，H0成立条件下FF（k-D（N-k）（3）由a计算临界值F-1，n- k）（4）判别规则：若F*f Equality.N-Way Tabulation.Test BetweenCommon sampleTest Equality Of：+ jMean:MedianVariance点击OK，Test for Equality of Means Bet ween SeriesDate: 11/22/02 Time: 17:26Sample: 1

14、5Included obseivaticins: 6Methoddf Value ProbabilityAnova F-statistic(2, 12)4.B963800.0279Analysis of VarianceSource ofVariationdf Sum cf Sq. Mean SqBetweenWithin2123S7W5.6474357.3193552.839529.78Toial14861462.961533.06Category StatisticsStd. Err.Va riableCountMeanStd. Dev.of MeanLN53554.134150.3561

15、67.24128HB63646.460233.6327104.4837SX63209.676203.465390.99246All163436.720240.068664.04845常用格式是，方差来源离差平方和自由度均方FF0 05 (2 12)sa组间387105.62193552.84.903.89se组内474357.31239529.78ST总和86146.2915图示如下:12.7方差分析的简便算法。当试验的观测值X的数字太大，不便计算时，可以对X作如下线性变换。X.，= X厂a ,(i= 1, 2, .k), (j = 1, 2, .m)。 lJ b其中a, b是任意两个实数(b丰0)。a, b选择适当就可以减少计算量。这样计算出的结果 与原来结果相同。因为4 .SJ= m(X / - X/)2=乙m(Xi - a) - (X - a)2=乙m(X. - X)2i=i即使b更1时，也会在 S, /(k -1)F = S：/( N - K)中约掉。这是一种古老的简易算法，当有了计算器和计算机之后，这种简化已没有多大必要。