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1、数学破题36计第24计杠杆开门以轻拨重计名释义派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两泥拨千斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力 支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点!典例示范【例1】正四面体的高线长为 4,求其外接球的体积.【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆，要“扛”的东西就来了 .线段AB的重心在其中点
2、 M点. 如果A, B处各放1个质点，则其点M会聚了 2个质点.正三角形ABC的重心在它的中线 CM上，C点放1 个质点，中点 M处有2个质点，故重心 G会聚了 3个质点，按杠杆原理， CG=2GM.至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？【解答】设正四面体的顶点为 V,底面中心为 G,四面体中心为 O.由杠杆原理，O在GV的第1个四等分点上，即 VO=3OG.因此，正四面体的外半径R= 3h=3.44.故正四面体体积为 一兀R3=36兀.3【点评】如果派大力士去解此题，他将是：先解 2个直角三角形求得“斜高”；用列方程求外半径.精力过剩者，这当然是一种乐趣 .【例2】直线l左移3个单位，再上移
3、1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的斜率是()A. 1B.-3C.1D.333【思考】本题的破题之口在哪儿呢 ？取特殊点.将支点选在原点 O (0, 0)左移3个单位，上移1个单位得 M (-3,1).于是 k+l=koM=.选 A .3【点评】两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨 重之目的，即是最实惠的选择.【例3】(04 上海卷)若函数f (x)的图象可由函数 y=lg(x+1)的图象绕坐标原点 O逆时针旋转 一得到，2则 f (x)=()A .10
4、-x-1B .10x-1C .1-10-xD .1-10x【解答】本题的杠卞f在哪儿？取特殊点.在y=lg(x+1)的图象上取一点A(9,1),将OA绕原点逆时针旋转90得B (-1, 9),代入各选项，仅 A 适合，选 A .【点评】函数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到 A (9, 1),(经过旋转则得 B (-1, 9)这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确 的答案，这难道不痛快淋漓的吗？【例4】 如图(1)所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF / AB, EF=-,2EF与面AC的距离为2,则该
5、多面体的体积是例4题图9A.2B.5C.615D.-2【思考】用特殊图形.如图(2)所示，使ED，平面ABCD ,且使 ED=2.连 AF、DF.贝U EF,面 ADE. V F- ADE= , EF SADE= 33一 X 3X 2=- .V F ABCD =, DE , S口ABCD =； 32=6. V 多面体=+6=.选 D.【点评】本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题2.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补,因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求 其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验
6、的祖附I原理，难道还不 算经典道理吗？对应训练1 .动点A在双曲线2 X2 m2y2=1上，B、C为双曲线的左、 n右焦点，ABC 中/A、/ B、Z C 的对边 a,b,c满足 a=10, c-b=6,贝Utan B cot C的值是1A. 一42 .已知0xya1 ,则有1B .2C.D.1A.log a(xy)03 .设an是公比为a,首项为(B.0log)a(xy)1b的等比数歹U,C.1log a(xy)2 nC N+,点(Sn,Sn+1 )(A.在直线y=ax-b上C.在直线y=bx-a上B.在直线y=bx+a上D.在直线y=ax+b上()0xya1.C .2n。一 二2n-1.各
7、选项依次为：2C.y=x-2D.y=2x+1D适合.则y=- +1点 ，？ 一 1应位于直线y=x上方，排除 A、 2224.函数y=x+sin |x|,xC -兀，兀的大致图像是参考答案1 .A 取特殊图形.BC=10 双曲线 焦点为 B (-5,0) ,C(5,0)c-b=62m=6,2 2m=3,n=4 ,双曲线方程为： -y =1,916离心率e= 53取特殊位置 AC BC ,则有 A 5,?16 ,3AC=-，从而 AB= 34 ,33cos B= , sin B= -8-, 而 C = 90 0 .1717B C 1 cos B tan cot = , cot 45=22 sin B2. D取特殊值.x= 1 ,y=1,a=1,满足84215则 log a(xy)=log =5.否定 A、B、2 213. D取特殊值.取a=2,b=1,则Sn= 一1A.y=2x-1B.y=x+2取点(S2, S3)=(3, 7),代入各选项，仅4. C取图形上的特殊点.令x=-,2B、D
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