3差分方程Z变换

《3差分方程Z变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3差分方程Z变换（39页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第3章 线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解A 递推解B 古典解C Z变换求解3.2 Z变换3.2.1Z变换的定义3.2.2Z变换的性质3.2.3Z反变换A 长除法B 留数法C 部分分式法3.3 离散时间系统的Z域分析3.3.1零输入响应3.3.2零状态响应3.3.3完全响应3.4 Z传递函数及其求法3.4.1Z传递函数的定义 3.4.2离散系统的运算3.4.3由G(s)求G(z)持续时间系统的离散化A 对G(s)的讨论B 对离散化措施的评价C 留数法D 直接代换法E 系统等效法冲击响应不变法；F 系统等效法阶跃响应不变法G 部分分式

2、法3.4.4离散化措施小结3.5 线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2稳定判据3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1线性离散时间系统的频率特性3.6.2线性离散时间系统的频率特性分析法第3章 线性离散系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程在线性离散时间动态系统中，输入鼓励序列u(k)与输出响应序列y(k)之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式 (2.1)或写成上式表白某一离散时间点上输出值也许与目前时间点上的输入值（当）以及此前若干个输入和输出值有关。推论开来，目前的输出值是“此前”所有鼓励

3、和内部状态共同作用的“积累”效应。考虑实时控制系统的时间因果律，必须有mn。当m=n时，表白目前时刻的输入会直接影响目前时刻的输出，可称为“直传”；当mn时，表白目前时刻的输入不会直接影响目前时刻的输出；目前时刻的输入对输出的影响会延时“n-m”拍。差分方程也可以写成降序方式式(2.1)中各项序号均减n(2.2)在降序方式中的n和m与升序方式中的n和m的含义不完全相似，因而对n和m并无限制。在降序方式中，当b00时，相称于升序方式中m=n的状况。此时“目前时刻的响应与目前时刻的输入有关”。升序意味着超前，与持续时间系统中的微分相相应；当用Z变换法求解差分方程时，升序方式便于考虑初始条件。降序意

4、味着滞后，与持续时间系统中的积分相相应；当用Z变换法求解差分方程时，降序方式无法考虑初始条件。3.1.2 差分方程的解例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2试由迭代法求其全解的前5项；分别由古典法求其零输入解yzi(k)、零状态解yzs(k)，以及全解y(k)。给定一种差分方程，根据特定的输入时间序列u(k) 和初始条件，来求得其输出序列y(k)，一般有三种措施。 A. 递推解（迭代解）对式(2.1)差分方程可以写成显然给定初始条件后，就可依次求出各点值。但是，式(2.1)差分方程中的n个初始条件x(0)，x(10)， x(n-1)仅仅是指“零输入初始条件”，进行

5、递推求解时的初始条件应当是“全解初始条件”；因而应当先求出其“零状态初始条件”，“全解初始条件”是“零输入初始条件”与“零状态初始条件”之和。上例已知零状态初始条件，由此可递推求得零输入解yzi(k)；可求零输入初始条件，由此可递推求得零状态解yzs(k)；以上初始条件之和为全解初始条件，由此递推即可直接求得全解y(k)=yzi(k)+yzs(k)。B. 古典解法1) 零输入解在式(2.1)中令输入为零，即u(k)=0，k0，则得齐次方程 (2.3)类似于在解线性常微分方程时定义的微分算子p，对差分方程定义一种移序（增序）算子d，即(2.4)于是式(2.3)可以表达到以多项式A(d)存在n个单

6、根为例，即 ，则有零输入解yzi(k)的“通解”式为(2.5)其中C1, C2, ., Cn是由n个（另输入）初始条件决定的n个待定常数。设给定初始条件为 y(i)=yi ，i=0，1，n-1，分别代人上式可得 (2.6)可简记为矩阵方式以n个单根为例，矩阵D一定可逆。于是可得待定常数为当A(d)存在重根时，亦可得相应成果，不再赘述。上例求得零输入解yzi(k)。2) 零状态解当“零输入初始状态”为零时，为求得式(2.1)在任意输入u(k)鼓励下的“零状态响应”yzs(k)，一方面考虑单位脉冲鼓励u(k)=d(k)的特殊状况，此时的系统响应为单位脉冲响应，记为h(k)，式(2.1)成为可写成如

7、下形式(2.7)上式中依次令k=-n，-n+1，-2，-1，0，可求得前面n+1个点的成果，当m0时，在式(2.7)中恒有k+m-i0，即恒有d(k+m-i)=0，此时式(2.7)又成为一种齐次方程，等价为(2.8)上式按差分方程的零输入解法求解，并考虑h(0)=0，即可得到式(2.1)的单位脉冲响应序列h(k)，k0。对于一种一般的输入序列u(k)= u(0)，u(1)，u(2)，可以写成按照线性系统的迭加原理，d(k-1)所鼓励的响应为h(k-i)1(k-i)，i=0，1，于是可得u(k)鼓励下的响应为 (2.9)称为和的“卷和”。显然，卷和的定义与持续时间函数的卷积具有类似的形式。卷和计

8、算例上例求得零状态解yzsi(k)。3) 全解1) 和2)两者之和。上例y(k)=yzi(k)+ yzs(k)。C. Z变换解法背面再讲3.2 Z变换3.2.1 Z变换的定义Z变换是对离散序列定义的，设有则的Z变换定义为（单边）罗朗级数 (2.10)z Z变换域变量d 增序算子两者在数字上具有完全相似的体现形式，但意义却不同，不能混淆。就像s S变换域（拉氏变换）变量p 微分算子两者体现形式相似，但意义截然不同为什么要定义Z变换？Z变换把离散（等距时间点上）数值序列变换成有理分式；L变换把持续时间信号变换成有理分式；便于运用代数学的某些结论进行简朴解决。Z变换的另一种“定义”对于时域信号y(t

9、)=f(t)，采样得离散信号y*(t)记得第1章中讨论过y*(t)和y*(k)的（冲量的）等价性，取其拉氏变换，得(2.11)再令 ！(2.12)即得，两者的成果是一致的。但是，两者有两点区别， 前者是对y(k)定义的，后者是对y*(t)定义的。在离散时间系统中使用前者更符合工程实际。但是，对于一方面熟悉了Laplace变换的工程技术人员而言，后者更容易理解。 前者在数学上是严格的；而后者中的式(2.11)容易使得误解z和s之间的关系。实时上z和s之间并没有式(2.11)所示的关系，仅仅是有时同一种被控对象的Z变换传递函数和L变换传递函数的特性根具有那个关系。3.2.2 Z变换的性质A. 在简

10、朴的状况下，可直接按定义求得y(k)的Z变换Y(z)。(2.13)(2.14)(2.15)做为线性离散系统的Z变换，它有许多与L变换类似的性质，不同的是按照Z变换的定义，这些性质更容易被证明某些。B. 线性迭加性质：已知，下同。按定义可得， (2.16)C. 增序性质：（相应于L变换的微分性质）设g(k)=f(k+n)，k0， 为什么？(2.17)（令i=j+n）注意两点：一是为什么要减去前面几项？由于按照定义g(k)中没有这几项！二是与L变换的微分性质相比，形式上多了一种“z”。D. 减序性质：（相应于L变换的积分性质）设g(k)=f(k-n)，k0， 为什么？（令i -n =j）(2.18

11、)为什么第一项没啦？由于按照定义f(k)中的这几项为零！E. 卷和性质：（相应于L变换的卷积性质）(2.19)F. 初值性质：(2.20)证明：按照Z变换的定义。G. 终值性质：(2.21)当f(k)不收敛（F(z)中有单位圆外极点）时，终值性质不能使用！证明：同令z1得，其他略3.2.3 Z反变换已知F(z)有理分式，求f(k)使得，记为(2.22)A. 长除法罗朗级数展开如果F(z)是有理分式，必可展开为罗朗级数，如果F(z)是真有理分式，必可展开为（单边）罗朗级数（有始函数），即有 f(k)，k0如果F(z)是严格真有理分式，则一定有f(0)=0。例，B. 留数法在实时离散控制系统中有f

12、(k)，k0,则一定有按照复变函数的留数理论，考虑如下围线（逆时针包围含所有极点）积分， 留数是如何定义的？称为的留数于是有(2.23)即在其所有极点zi，i=1，2，n，处的留数之和。按照留数计算规则，若z0是F(z)的单重极点则有若z0是F(z)的m重极点,则有C. 部分分式法留数法的特例一般都是直接查表部分分式法是应用留数法得到的某些易于实际应用的特例状况，设F(z)有n个单重根z1，zn，则可以写成部分分式形式 (2.24)按照迭加原理，我们可以求得其中每一项的Z反变换，即按式(2.23)有，(2.25)正是所但愿的成果。3.3 离散时间系统的Z域分析运用Z变换求解差分方程。3.3.1

13、 零输入响应对式（2.1）所示差分方程，当输入u(k)=0, k0时，成为齐次方程,y(0)=y0，y(1)=y1，.，y(n-1)=yn-1应用Z变换的增序性质，并注意给定的零输入初始条件，得整顿可得于是可得式(2.1)的零输入响应为3.3.2 零状态响应设式(2.1)所示系统在没有输入鼓励时，其内部初始能量积累为零，即所谓零状态，此时不考虑初始条件对式2.1的两边同步进行Z变换，可得定义 (2.26)称为离散动态系统式(2.1)的Z传递函数，则上式可写成则有按照卷和定理其中g(k)是什么，以及如何求得g(k)？设u(k)=(k)是一种单位脉冲函数，已知，U(z)=Z(k)=1，即可得系统对

14、u(k)=(k)的零状态响应，称为单位脉冲响应，并记为h(k), k0，并有目前，如欲解析求解式（2.1）所示的差分方程的零状态响应，重要有两种措施。Z域法： 时域法：3.3.3 完全响应对式（2.1）求Z变换时，同步考虑初始条件，即可得系统的完全响应，与分别求出yzi(k)和yzs(k)再相加是一致的。即： (2.27)几点阐明：在求零状态响应时，显然零状态解yzs(k)的初始n个值并不一定为零，零状态仅仅是说当输入为零时，系统初值为零。求零状态响应时，对式(2.1)两边求Z变换时，此时的yzs(k)与u(k)都是有初值的，因此亦应考虑增序性质时的初值，但是在整顿时两边的初值正好互相抵消，因

15、此在求零状态响应时的Z变换时，可以不考虑初值。在求完全响应时，由u(k)引起的yzs(k)中的那一部分初值效应必然由u(k)的初值效应所抵消，因此只考虑系统的零输入初值。例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2。试由Z变换法求其全解。3.4 Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义定义一种离散时间被控对象的动态特性，或持续时间对象的离散控制动态特性。由输入-输出序列Z变换之比来定义。传递函数描述一种动态系统的输入输出稳态传递特性（稳态的含义是不涉及初始条件的影响）。图2.1 离散时间被控对象传递函数的定义Y(z) y(k)u(k)U(z)离散时间系统G(z)A

16、 对于离散时间系统例如这个离散时间系统本来是由差分方程描述的。对于式(2.1)描述的差分方程， (2.1)根据Z变换的性质，两边求Z变换（不考虑初始条件），并化简可得(2.28)如果差分方程是由式2.2描述的，(2.2)则同理可得(2.29)当nm时，与式(2.28)相似注意：2） 为什么上二式求Z变换时不考虑初始条件？传递函数只描述稳态特性，与初始条件无关！3） 式(2.28)和(2.29)称为有理分式；nm时称为严格真有理分式，输入-输出至少延时一拍。B 对于一种持续时间的采样控制系统离散时间系统G(z)y(k)u(k)持续时间系统G(s)图2 采样控制的持续时间系统的离散时间传递函数s)

17、和G(z)表达不同的函数关系。ZOH对于一种持续时间系统，对其进行离散时间控制时前面必须加一种零阶保持器（ZOH）。只有对其输入和输出采样得到响应的输入-输出离散时间序列时，才干对其定义Z传递函数。3.4.2 离散系统的运算流图化简，与持续时间系统完全相似。A 串联图4离散时间系统的并联G1(z)G2(z)Gn(z)G(z)图3离散时间系统的串联。B 并联图5离散时间反馈系统C 反馈系统对于任意的复杂系统，可由梅森公式求得。3.4.3 由G(s)求G(z)持续时间系统（或信号）的离散化A 对G(s)的讨论一般来说，G(s)的含义也许有如下三种状况：1) G(s)为时域信号g(t)的Laplac

18、e变换此时，应当由G(s)求的g(t)，对g(t)离散化得g(k)，最后再求G(z)。2) G(s)为控制器的传递函数它只是一种数字模型G(s)既可以由持续时间系统（模拟）实现，输入输出为持续时间变量；G(s)也可以由离散时间系统（数字）实现、输入输出为离散时间变量；此时，对G(s)直接离散化即可，不需要ZOH。3) G(s)是一种（持续时间）被控对象离散化后的输入时离散时间的，但是G(s)只能接受持续时间鼓励信号，因此必须在输入端需增设一种保持器（例如零阶保持器ZOH），将离散序列转化为持续时间函数。G(s)的输出一定是持续时间函数，需对其进行采样。图6对持续时间被控对象的离散化B 对离散化

19、措施的评价离散化措施不是唯一的，它们各有其特点和合用范畴。因而需要对离散化措施建立评价指标体系。对信号的离散化成果应当是唯一的，严格的。就是说在采样点上的取值严格等于原函数。对调节器传递函数G(s)的离散化成果G(z)，应与G(s)的频率特相一致。这时会因所用措施的不同而有差别。对被控对象传递函数G(s)的离散化成果G(z)，在不同状况下有不同的规定，背面会具体讨论。这时也会因措施的不同而有差别。评价一种离散化措施，大概有如下5项指标。但是在不同的应用场合有不同的规定。1) 易操作性。2) 从S平面到Z平面的映射关系。涉及映射的单值性和稳定性的遗传性。3) 频率特性畸变。指G(z)的频率特性与

20、G(s)的频率特的一致性。4) 稳态增益畸变。指G(z)的稳态增益与G(s)的稳态增益的一致性。5) 时域（采样点）响应的一致性。指在采样点上G(z)和G(s)取值的一致性。C 留数法合用于G(s)为时域信号g(t)的Laplace变换的状况。这时， G(z)和G(s) 在采样点上的取值是完全一致的。 按定义 带入g(t) 互换求和求积分的顺序 级数和的闭式按留数定理即可得，(2.30)D 直接代换法 操作简朴，但却有误差。直接代换法既合用于对控制器的离散化，亦合用于对被控对象的离散化。但是不合用于对信号的离散化（在采样点上取值不严格）。使用直接代换法对被控对象离散化时，一方面物理上需要引入Z

21、OH，两一方面代换是并不涉及ZOH。直接代换法有诸多种，下面简介常用的几种。1) 后向差分法设持续时间描述为：用差分替代微分，采样周期取为T，（为什么叫“后向”差分？）比较G(s)和G(z)，可得代换式，(2.31)Sz映射关系：单值一一相应S平面上左半平面稳定域 Z平面上单位圆内正实轴上小圆G(s)稳定 G(z)稳定图7后向差分法的稳定性遗传显然稳定性的遗传不是可逆的，但“S稳定” “z稳定”，因此常被采用。（S平面上除了aef小圆外，所有的s映射到Z平面都是稳定的）频轴畸变较大。稳态增益无畸变。即：不能保证时域（采样点）响应的一致性。2) 前向差分法持续时间系统描述为 用差分替代微分 （为

22、什么叫“后向”差分？）比较G(s)和G(z)，可得代换式，(2.32)S到z映射关系：单值一一相应。事实上就是一种平移。图8前向差分法的稳定性遗传G(s)稳定 G (z) 稳定显然，G(s)稳定很难保证G (z)是稳定的，固很少采用。频轴畸变较大。稳态增益无畸变，即：不能保证时域（采样点）响应的一致性。3) 双线性变换法（Tustin法）持续时间系统描述为 用差分替代微分，, 比较的代换式， (2.33)（为什么叫“双线性变换？）图9双线性变换法的稳定性遗传s到z的映射关系：单值一一相应；S平面上左半平面稳定域 Z平面上单位圆内稳定域G(s)稳定 G(z)稳定当T足够小时（即当足够大时）频轴畸

23、变很小；稳态增益无畸变；显然，在直接代换法中，双线性变换是最佳的。事实上在程序化解决的G(s)到G(z)变换中都采用双线性变换法，应用最为广泛。E 系统等效法冲激响应不变法提法：设有（被控对象）G(s)和G(z)，若G(s)在(t)的鼓励下的响应g(t)在kT处的采样值g(kT)与G(z)在 (k)的鼓励下所得之响应相等，即称G(z)和G(s)是冲击响应不变（等价）的。但是，事实上(k)和(t)并不等价。因素是，(t)的冲量为1，而（加上零阶保持器之后）(k)的冲量为“T”，两者差一种系数“T”；使得G(z)的稳态增益随着T大幅变化，这是不容许的。 为什么还要讲这种措施？按定义，在(t)鼓励下

24、，有冲激响应g(t)按采样周期T采样即得按照输入输出等效原则，在单位脉冲输入(k)的鼓励下，应有输出g(k)如上式所示。根据Z变换的定义，即有对上式求Z变换 互换和积顺序 求级数和的闭式 按留数定理 (2.34)因此，冲击响应等效法也是留数计算法。显然，此式与式(2.30)的留数法相似。此式用来对信号的G(s)求其G(z)时是严格对的的，但是，用来对被控对象的G(s)求其G(z)时却是不对的。此代换不易操作，特别是不易计算机实现。S到z的映射关系分析如下。若G(s)有一种极点 ，则G(z)一定有一种极点其中显然，s平面 z平面，单值映射 z平面 s平面，多值映射图10冲击响应等效法的稳定性遗传

25、如果只考虑S平面的主值域，即，则有一一相应的关系。在主值域内有，因此，频轴无畸变。求式(2.34)的稳态增益可见G(z)的稳态增益受采样周期T响应很大。因此，稳态增益畸变严重使得本法很少使用。当T足够小时，一定可使所有S域极点均落在主域之内，此时的映射可相称于一一相应的。 主域整个Z平面； 左半平面单位圆内； 右半平面单位圆外； 虚轴单位圆； 容易理解，如果在(k)的鼓励下也引入零阶保持器时，(k)和(t)就成为等价的了（为什么？），于是式(2.34)成为，(2.35)由下式可以证明稳态增益无畸变(2.36)F 系统等效法阶跃响应不变法提法：设有G(s)和G(z)，若G(s)在1(t)的鼓励下

26、的响应e(t)在kT处的采样值e(kT)与G(z)在1(k)的鼓励下所得之响应相等，即称G(z)和G(s)是阶跃响应不变（等价）的。在阶跃输入的特殊状况下，在1(t)的背面有无零阶保持器是无区别的（？）。有两边求z变换，得可得，(2-37)S到z的映射关系与冲激响应不变法相似；从变换关系式可知，无频轴畸变。由下式可知，无增益畸变 对比式(2.36)和式(2.37)可知，引入零阶保持器时的冲激响应等效法式(2.36)与不引入零阶保持器时的阶跃响应等效法式(2.37)两者是等价的。G 部分分式法事实上，部分分式法是留数计算法的一种变形，也是留数法的一种使用形式。一般教科书中都给出相应的表格以供查照

27、。3.4.4 离散化措施小结1) 对于表达信号的G(s)的离散化必须直接使用留数法（部分分式法）。2) 在物理上，表达调节器的G(s)不需要ZOH，表达被控对象的G(s)必需要加ZOH。3) 无论对于表达调节器还是表达被控对象的G(s)的离散化，都可以使用直接代换法，也可以使用留数法（部分分式法）。但是在数学上，使用直接代换法时不需要ZOH，使用留数法（部分分式法）时需要先加上ZOH。3.5 线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 离散系统的闭环极点（特性值）与系统输出特性的关系设线性离散时间系统G(z)， 其中Am(z)为m阶首一多项式，并设pi为单实根或单共轭复根的状况，且设G(z)中没有

28、z=1的极点，即有pi1。当存在复根或z=1的极点时，如下各项分析结论仍然成立。当存在一对共轭复根时，有当输入为单位阶跃序列，即，此时输出为由上一节讨论可知，求上式的Z反变换，可得 上式中，k0为与阶跃输入相相应的稳态响应项 pr为单重实根极点，kr为与pr相相应的输出项系数 ps为单重共轭复极点，其中rs为其幅值，为其幅角 ks为与极点ps相相应的输出项的系数幅值，为其相位角由上式可知，如果，则随着，Pi的相应输出项发散，不稳定如果，则随着， Pi的相应输出项为恒值（实根）或等幅振荡（共轭复根），临界稳定。如果，则随着，pi的相应项收敛，稳定。再考察共轭复根相应输出项的相角特性（周期振荡），

29、令，则一种振荡周期相应的周期数为，（考虑共轭复数）。显然，越接近零，kd越大，即振荡周期越长，当时，输出正负交替。震荡周期为两个采样周期。图例：P1相应输出，发散， P相应输出，稳定， 0-11图11 Z平面上的极点分布与稳定性P相应输出，稳定， P相应输出，稳定，P相应输出，临界稳定， P相应输出，临界稳定， P相应输出，临界稳定， 试分别画出与上述各特性根相应的输出模态波形的示意图。由上分析可知：线性离散系统的稳定域是其传递函数的所有特性根均落在Z平面上的单位圆之内。3.5.2 线性离散时间系统的稳定判据 不需要解出特性方程的根，只需根据特性方程的系数就可鉴定特性根与否所有位于单位圆内。1

30、. 舒尔（Schour）柯恩（Cohn）稳定判据直接判据行列式的最高阶数为2n2. 劳斯（Routh）赫尔维兹（Hurwitz）判据间接判据找到一种变换（映射），将z平面的单位圆内正好映射为w平面的左半平面，就可用s域（持续时间系统）的稳定判据来间接鉴定离散时间系统的稳定性。例如劳斯赫尔维兹判据。满足上述条件的映射除了外，Tustin反变换式在鉴定稳定性时与上式等价。事实上，类似的变换式可以找到诸多。只是更为简朴罢了。3.6 线性离散系统的频率特性分析3.6.1 线性离散系统的频率特性A 线性离散系统频率特性的定义设有G(z), G(z)稳定，即G(z)的所有极点均为z平面的单位圆内设G(z)

31、的输入为u(t)的采样值u(k)G(z)Tu(t)u(k)y(k)按留数法求y(k)，ejwT和e-jwT均为单重极，且由于G(z)稳定，有代入Y(z)，得令，则有： 代入上式得根据G(z)稳定，可知，当系统稳态时（k）有与持续时间系统时频率特性的定义相类似，可得：G(z)的幅频特性为，G(z)的相频特性为，特别注意：频率特性反映的是动态系统的稳态特性的。B 频率特性的性质以2为周期；设w的周期为wc，令wcT=2可得，即G(z)的幅频特性M(w)和相频特性(w)均是以采样周期ws为周期的函数。例：试求的频率特性。解：，可求得其频率特性如下1.51.00.5w1w M0其性质可总结为： M和均以ws为周期 M(w)为偶函数 (w)为奇函数在一种离散动态控制系统中，系统的有效频带设为w1(即有效信号边带)，当选ws w1时，我们关怀的只是在w1范畴以内的频率特性，此时我们可以不必关怀频率特性的周期性。事实上我们只需研究的半个周期的频率特性就足够了。3.6.2 线性离散系统的频率特性分析法 如上所述，当时，我们只需研究范畴内的频率特性就足够了。此时持续时间系统的频率特性分析法，诸如：极坐标图、Nyquist稳定判据、Bode图（对数频率特性），等均可直接应用。