证明微积分基本公式

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1、定义(定积分)设函数fx)是定义在闭区间a, b上的连续函数，用n + 1个分点a = X0 X1 X2 V Xn - 1 Xn = b把闭区间a, b划分成n个小区间x0，x1，x1，x2，xi- 1，X，xn_ 1，xn记各小区间x. 1，x. (i = 1， 2，,n)的长度为Ax. = x. - x.,，在各小区间x.厂x.内任取 一点，取函数值ff.)与小区间长度Ax.的乘积f()Ax，作和式 f 点)Ax 二 f 点)Ax + f 点)Ax + + f 点)Ax + + f 点)Ax.1122.n n.=1称为函数fx)在区间a，b上的积分和。记各小区间的最大长度为d = maxf

2、Ax.，如果对于区间 a，b任意的划分和点f在x. ，x.上的任意取法，当d - 0时，积分和的极限存在，则称此 极限为函数fx)在区间a, b上的定积分，简称积分，记为f bf (x)dx = lim 工 f (x )Axad T 011i=1其中f为积分号，a，b称为积分区间，fx)称为被积函数，x称为积分变量，a称为积分下限,b称为积分上限。如果函数fx)在区间a, b上的积分存在，则称fx)在a, b上可积。上述定义中的积分限要求a b 时，规定fbf (x)dx = -faf (x)dx。ab可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理 1(可积的必要条件)

3、如果函数fx)在闭区间a, b上的可积，则fx)在a, b上有界。定理 2(可积的充分条件)1. 如果函数fx)在闭区间a, b上的连续，则fx)在a, b上可积。2. 如果函数fx)在闭区间a, b上的单调，则fx)在a, b上可积。3. 如果在闭区间a, b内除去有限个不连续点外，函数fx)有界，则fx)在a, b上可积。 引理(微分中值定理)设函数fx)在闭区间a, b内连续，在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点fe(a, b),成 立等式f(b) - f(a) = f(f)(b - a)以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数fx)在闭区间a, b内连续，则可以证明

4、fx)在a, b上可积，于是存在新的函数F(x), 成立微分关系F(x) = fx)或dF(x) = fx)dx,则称F(x)为fx)的一个原函数。试利用微分中值定理 和定积分的定义证明微积分基本公式f bf (x)dx = F(x)|b = F(b) - F(a)aa这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：因为fx)在a, b上可积，fx)的原函数F(x)存在，即F(x) = f(x),又因为可导函数必定连续， 所以F(x)在a, b内连续，因此F(x)在a, b内满足微分中值定理的条件。对于定义中区间a，b任意的划分，在各小区间x ，xj(i = 1，2，,n)上，函数F(x)i 1i也满

5、足微分中值定理的条件，于是必定存在.ex. ,，x，成立等式F(xi) F(xi - i) = FK-)(xi- xi - i) 即F(x.) - F(x. - J = f(.)Ax.对于每一个小区间x.x. (i = 1，2,，n)，以上等式都成立，将各个小区间内的上述i 1i等式左右两边分别相加，可以得到F(x1) - F(x0) + F(x2) - F(x1) + + F(x.) - F(x. - 1) + + F(xn - 1) - F(x” _ 2) + F(x”) - F(x” _ 1)= 態丿心+態2)心2 +代)兌+ f(n - 1)Axn - 1 + 即F (x ) - F

6、(x ) = 2 f (g )Axn 0i ii =1 令d = maxAx, f 0,以上等式两边分别取极限limF ( x )- F(x )= lim2 f (g )Ax d T0 n0 d T0 . ,i ii = 1 等式的左边F(xn) - F(x0) = F(b) - F(a)是常数，极限显然存在limF ( x )-F(x )= F(b)-F(a) d T0n 0等式的右边正是积分和的极限，因为fx)在a, b上可积，所以此极限存在，于是根据定积分的 定义，fx)在a, b上的定积分存在，即lim 工 f (x )Ax =Jbf (x)dxd T0i i ai=1 于是就得到J bf (x)dx = F (b) - F (a)a 这就是微积分基本公式，表明了定积分与原函数之间的联系。习惯上将F(b) - F(a)简写成F(x)|b，于是微积分基本公式可以写成aJbf (x)dx = F(x)|b = F(b) - F(a)aa此外，利用fx)的不定积分(C为任意常数)J f (x)dx = F(x) + C微积分基本公式还可以表示为J bf (x)dx = 3 f (x)dx )aa此式表明了定积分与不定积分之间的联系。