基础班讲义(高数)

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1、一 函数、极限与连续（一）本章重点内容1.本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限，求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：（1）利用极限的四则运算法则及函数的连续性；（2）利用两个重要极限，两个重要极限即 （3）利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；（4）利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；（5）利用夹逼定理；（6）先证明数列的极限存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7）利用定积分求某些和式的极限；（8）利用导数的定义；（9）利用级数的收敛性证明数列的极限为零。这里需要指出的是：题型与方法并不具有确

2、定的关系，一种题型可以有多种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活.2.由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限，因此这部分也是重点。3.在函数这部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算,以及常用的4类函数及函数的8种表现形式.通过历年试题归类分析，本章常见的典型题型有：1.直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；2.讨论函数的连续性、判断间断点的类型；3.无穷小的比较；4.讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；5.求分段函数

3、的复合函数。(二)题型分析主要是求未定式的极限及反求参数主要方法：洛必达法则等价无穷小替换8个重要极限的应用左右极限法未定型中型的解题技巧两边夹准则的应用递归法求极限利用连续性反求极限利用导数求极限利用定积分求极限利用级数反求极限（4个反求极限）利用函数极限求数列极限利用泰勒公式求极限1.关于无穷小例1. 比较当时，的阶.例2. 记住 当时，趋于的速率为依次递增. 当时，趋于零的速率为依次递增.例3. 例4. 练习 ；2.关于洛必达法则例1. 例2. 例3.确定a,b,c使 3. 型中一个重要技巧例1. 例2. 4.左右极限法用于分段函数分界点处极限的处理用于函数左右极限不相等情况的处理.如，

4、特别带绝对值符号的情况的处理。例1. 求例2. 例3. 确定a，使存在5.两边夹准则求极限在N项以后成立即可，若，且易求，可得.主要用放缩法：分母扩大或缩小利用极限不等式性质利用定积分不等式的性质等例1. 例2.x表示不超过x的最大整数部分，求例3设（m2） 求，例4设且，则A 0 B 存在，不一定为0C 不一定存在 D 一定不存在6 用递归法求极限若 （n=1,2 ）, 为一元连续函数，由可求出，方法：利用单调有界数列必收敛，证其收敛，然后，设，对递归方程，两边取极限得：A=,解出A即可。事实上，递归数列的单调性和的单调性有关！例1设试证收敛，并求例2设，求7利用函数极限求数列极限 洛必达法

5、则对数列极限不适用，但转化为函数极限时适用，故可视为函数极限的子列的极限即可！例如：若求，只需即可.例1求8利用定积分反求极限 例下面为一些综合性例子12 求3求4若为x的3阶无穷小，求a,b5. 9.关于连续间断问题例1求在（0, ） 内间断点，并判断其类型。例2. =在R连续，且，则a,b满足A a0 , b0 , b0C a0, b0 D a0 , b0x0例1. 有界，则在x=0处A极限不存在 B极限存在，不连续C连续但不可导 D可导例2.确定常数，使分段函数可导.确定a,b,使可导.方法：当只有一个参数时，令= ，得方程，求解之.当有两个参数时，得方程组，求解之.3.变限积分求导法仅

6、积分限含参变量x例1. ，连续，求例2. 连续，且=x,求例3. 例4. 已知+=,求.被积函数含x，但提不到积分号之外.例1. 连续，求例2.求.被积函数亦为变限积分.例.求二.可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论.定理：设在x=a处可导，在x=a处连续但不可导，则在x=a处有：若0，则不可导；若=0，则可导.且.例1.有几个不可导点.例2. 不可导点个数为A 0个 B 1个C 2个 D 3个三.关于切线法线问题例1.求在处的切线方程.例2.求曲线过的切线方程两曲线相切，两层含义：两曲线相交，则两曲线在切点处的纵坐标相等；切点处斜率是相等的.例3.y=和在处切线相同.求在该点的切线方程，并

7、求.例4.已知是周期为5的连续函数，在x=0的某邻域内满足，其中为时此x的高阶无穷小，在x=1处可导，求在处切线方程.例5.曲线，求对应的点处的法线方程？四.一点导数定义的应用例1.若在x=a处二阶可导，则=A B C 2 D -例2. 在内有定义，且恒有，求证必为的可导点，且例3.设，求？例4. 设连续函数，满足，且，求例5 存在，是在处可导的A 充分非必要 B 必要非充分C 充要 D 既非充分又非必要 例6 存在，能否推出存在三 一元积分学(一)本章重点内容本章主要内容可分为概念部分、运算部分、理论证明部分以及应用部分.1.概念部分：原函数的概念，定积分、不定积分的概念，以及广义积分的概念

8、.考试的重点偏重定积分。.2.运算部分：变上限积分及导数；定积分和不定积分的换元法和分部积分法.3.理论部分：变上限积分及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式，积分中值定理.4.应用部分：利用定积分求面积、旋转体体积及引力、功等物理量.(二)题型分析一.比较和估计定积分的大小.定理1.(1)若于连续，且0，则 (2) 若于连续, 且 ，且不恒等于0, 则 (3) 在连续，则 (4) ，且，则 以上称为比较定理. 定理2.(估值定理) 于连续，最大(小)值M(m), 则 (1) m(b-a) M (b-a)(2) 不恒为常数，则m(b-a) 1时，收敛 对于，(1) 当p 1时，发散；(2)当p1时，收

9、敛利用以上结论判断下列广义积分哪个收敛？A B C D 例4. 例5. 例6.已知，求a,b的值八.关于积分等式和不等式的证明思路：变量替换；分部积分法；微分中值定理；积分中值定理；牛顿莱布尼兹公式例1. 试证例2.设在具有二阶连续导数，又，求证例3. 在可导，试证九一元定积分的应用例1.求由曲线及x=1围成的平面图形的面积例2.曲线与x轴围成的面积可表示为：A B C D 例3.过点作抛物线的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形，求该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积例4.过原点做曲线y=lnx的切线，该切线和曲线y=lnx及x轴围成的平面图形为D,求(1) D的面积(2)求D绕直

10、线x=e旋转一周所得的体积四 一元函数理论部分(一)本章重点内容1.理论部分：费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及连续函数零点存在定理、介值定理等；2.理论应用部分：利用导数研究函数的性态(包括函数的单调性与极值，函数图形的凹凸性与拐点，渐近线)，零点存在问题，最值应用题以及导数在几何、物理等方面的应用.(二)题型分析一.利用导数研究函数变化的命题1.函数恒等于0的证明.例1.设在连续，在内可导，且，求证2.关于函数的单调性和凹凸性.例1.试证在为单调增函数例2.设在内四次可导，又，求证在内为下凸函数.3.讨论函数的极值.例1.设是由方程确定的，求的驻点，并判断是否为极值点

11、.例2.设在内连续，其导函数如右图，则有几个极大值点，几个极小值?.4.拐点及渐近线的讨论例1.求的拐点例2.求曲线的拐点个数例3.求的渐近线例4.求的斜渐近线二.一元函数的最值问题例1.要制造一个圆柱形的无盖水池，体积为，池底的单位面积的造价为周围的2倍，问池底的半径r与高h各为多少时，才能使水池造价最低？例2.求的最值一般结论：(1)设在连续，又，若在上单调上升，在上单调下降，则一定为在的最大值，又存在极限时，一定为最小值；当时，在上无最小值(未包含在内)(2) 在上单调下降，在上单调上升，为最小值，则当时，为最大值；当时，无最大值三.中值定理的命题例1. 不恒为常数，在上连续，在上可导且

12、，试证在内至少存在一点，使例2.设在上连续，在内可导，且，试证存在，使得例3.设在上存在二阶导数，并且，试证 (1) 在内 (2) 内至少存在一点，使例4 比较和的大小四函数不等式的讨论例1.试证当时，例2.求证：例3.求证：不等式成立例4 ，且，证例5.设bae，求证五讨论函数的零点及导函数的零点方法一：应用连续函数零点存在性定理。方法二：利用罗尔定理讨论导函数的零点，主要是找原函数。方法三：若可导函数在取得最值，则例1.设在三阶可导且求证在内存在一点c，使得例2.设，为实数，求证：方程的根不超过3个若证明在存在零点，可转化为求的原函数，利用罗尔定理证存在零点求原函数时，常需要如下公式：(1

13、) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例3.设在区间上可微，且满足条件，试证存在，使例4. 在区间内，A 无实根 B 仅有一个实根C 仅有2个实根 D 有无数个实根例5. 求证：方程在内只有两个不同的实根例6 只有一个零点，求k的范围补充：定理1：若在处不可导，则在处取得极值定理2：在连续，在可导，若内除有限个点外， ，则在上严格单调上升1.试证在内不可能有两个不同的实根2. 验证在区间满足拉格朗日中值定理条件，并求出中值公式中的中值.五 泰勒公式一.五种基本函数的麦克劳林公式(1) (2) (3) (4) (5二.间接法求泰勒公式例1.在x=0处展开下列函数括号内的指定

14、阶数(1) (2) 例2.求在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式(1) = (2) =例3.求的麦克劳林公式三用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶.例1.(1) (2) (3) 例2.设在x=0处二阶可导，且，求例3.用泰勒公式确定无穷小的阶，当时，下列无穷小量是x的几阶无穷小量.(1) ，(2) .(3) 确定a,b的值，使，当时，是x的5 阶无穷小量四用泰勒公式证明不等式.例1.设，且，试证.例2.设在二阶可导，且求证：存在，使五.综合题例1.设函数在上具有三阶连续导数，且试证在内至少存在一点，使.例2.设在内具有二阶连续导数，且，试证(1)对于内，存在惟一，使成立(2) .六.高等数学(微

15、积分)(上)复习及提高1.设=，则使存在的最高阶n为A 0 B 1C 2 D 32.设是大于0的可导函数且0，则当时，有A B C D 3.设为连续奇函数，且，则A x=0为的极小值点B x=0为的极大值点C 在x=0的切线平行于x轴D 在x=0的切线不平行于x轴4.设具有二阶连续导数，且，则A 为的极大值B 为的极小值C 为拐点D 不是极大值，也不是拐点.5.设在上有定义，若而，且在处连续，则一定不是的极值点.6.设具有二阶连续导数，图中三条曲线分别为(1) (2) (3) 中的哪条呢？7.设是在上的一个原函数，则在上A 可导 B 连续C 存在原函数 D 是初等函数在上有原函数，在上(1)

16、不一定连续(2) 不一定为初等函数(3) 不一定为初等函数(4) 一定连续8. =在上A. 原函数为 B.原函数为C.原函数为 D.不存在原函数9.设有连续导数，且，当时，和为同阶无穷小，求k？10.方程在有几个根？泰勒公式补充： 例1.求在x=1处的n阶泰勒公式例2. 例3. 例4. 六 多元微分学（一）本章重点内容1 多元函数（主要是二元、三元）的偏导数和全微分概念；2 偏导数和全微分的计算，尤其是求复和函数的二阶偏导数及隐函数的偏导数；3 方向导数和梯度；4多元函数的极值和条件极值常见题型有：1 求二元、三元函数的偏导数、全微分；2 求复合函数的二阶偏导数；隐函数的一阶、二阶偏导数；3

17、求二元、三元函数的方向导数和梯度；4多元函数的微分学与向量代数与空间解析几何的综合题5 求多元函数的极值及条件极值 （二）题型分析一 关于偏导数，全微分概念的命题例1. 则于处A 连续，偏导存在B 连续，偏导不存在C 不连续，偏导存在D 不连续，偏导不存在E 可微例2. 在处，均存在 ，则A 存在 B 存在C p点连续 D p点可微例3.设在全平面有，则下列哪个条件可保证成立A B C D 例4. 已知，满足，求例5.已知为某函数的全微分，求a的值二 带抽象函数符号的偏导数，全微分的求法例1 ，求例2. ，其中具有二阶连续偏导数，求例3. ，求， 例4. ，二阶连续偏导存在，求例5.设，其中具

18、有一阶连续偏导数，求均为u、的函数，进而是的函数只看形式，不看本质一元函数(形式上)例如的导数一定为，不带下角标，均为固定写法，目的是为避免混淆，在不引起歧义的情况下，亦可以用，等记号三. 隐含数的偏导数，全微分的求法常用的2种方法：将方程两边同时对某个自变量求偏导，一定分清哪个是自变量，哪个是因变量.自变量之间无关系，而z为的函数；利用一阶全微分的形式不变性，将方程两边同时求全微分，这时各变量地位平等，解出，从而确定例1.由确定的，求例2.由确定的，求，四 函数在一点可微的证明，一点的全微分讨论在处的可微性，常用以下两种方法：证明在连续即可，但偏导不连续亦可能可微按定义：只须说明，即为的高阶

19、无穷小即可！例1.设(1) 求(2) 于是否可微；若可微，求例2. 则于处偏导不连续，但在处可微.五 多元函数的极值最值问题(条件极值)(一) 极值问题，主要是针对隐含数例1.设由确定，求的极值点和极值例2 求所有的极值点(二) 最值问题，通常是条件极值问题，用拉格朗日乘数法则求解 (1)由实际问题提炼出条件极值问题.必要时，为简化运算转化为求解其等价问题. (2)一般用拉格朗日乘数法则求解，构造拉氏函数，找到驻点，代入求函数值比较大小即可. (3)对比一元函数的单峰函数，二元函数若在区域内有惟一驻点，不一定为最值点，有可能在边界取得.例1.在椭圆上求一点，使其到=0的距离最短.例2.求曲面到

20、的最短距离例4. 空间直角坐标系下，原点处有一单位正电荷，另有一单位负电荷在上移动，问两电荷引力何时最大（小）例4 已知的全微分为，且，求在上的最值七 二重积分（一）本章重点内容1 二重积分的概念及基本性质；2 掌握二重积分的直角坐标及极坐标的求解方法；3 掌握二重积分的一些解题技巧，特别是分块积分和利用对称性简化积分运算；4 了解无界区域上较简单的反常二重积分。（二）题型分析一.积分值的比较当积分区域相同，被积函数连续，可通过比较被积函数的大小来判断；被积函数相同，连续且大于0，可以通过积分区域来确定大小.例1. D：围成，比较的大小例2. 比较例3. ，比较大小?二.交换积分次序方法：由累

21、次积分的上下限给出积分区域满足的不等式，从而确定该二重积分的积分区域； 画出积分区域草图； 给出新的累次积分的上下限.例1.求例2.交换次序 二重积分的二次积分具有如下基本特点： 外层积分限均为常数； 内层积分限至少有一个限为函数； 积分上限积分下限例3.交换次序例4. 交换次序例5. 计算三. 二重积分的计算例1.设区域，求例2.求，其中D为和围成的区域例3. ，例4. ，D：由圆心在半径为且与坐标轴相切的圆周的较短的一段弧和坐标轴围成的区域例5. ，D：例6.求二次积分例7 求，其中四.二重积分的反问题例1. 为连续函数，且，求的解析表达式例2. ，在D上连续，且，求?例3.将转化为直角坐

22、标的二次积分例4.问，当时是几阶无穷小?五.证明题 把一元函数的定积分问题转化为二元函数的二重积分问题（逆向思维）例1.试证： 例2.记， 求 求证例3.设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为0，试证 ，其中八 常微分方程（一）本章重点内容1掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法；2 掌握齐次微分方程，伯努利微分方程，全微分方程，高阶微分方程中可降低微分方程的类型及解法；3 会用简单的变量代换解某些微分方程；4 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；5 掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的求解；6 根据实际问题或给定条件建

23、立微分方程并求解。（二）题型分析一 可分离变量的方程及齐次形式的方程例1.求的通解例2.求的通解例3. ，求例4.求的特解(通解)二.一阶线性方程求解(一定要先化为标准形式)掌握公式法和积分因子性例1.求的通解例2.求通解例3.已知连续函数，满足，求三. 二阶常系数线性方程的求解例1.求通解例2.求满足，的特解例3.求的通解例4. 求的通解四. 微分方程中的一些反问题例1.求微分方程的通解例2.将化为为因变量，为自变量的微分方程例3.设具有二阶连续导数，且，为的反函数(1)将换为的微分方程(2)求变换后的方程满足的特解例4.已知解，反定方程：已知二阶常系数线性齐次方程有2个解. ，反求方程例5

24、已知二阶线性非齐次方程的3个特解为，反求方程五 综合题例1.设是=0的解，其中为常数，求例2.设，、在R上满足，且，求例3.设在上具有一阶连续导数，且满足(1)求(2)证明当时，例4.一个半球体状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比例，比例常数为k0，假设融化过程中雪堆保持半球状，已知半径为的雪堆在开始融化的3个小时内，共融化其体积的，问该雪堆全部融化需几个小时？九 无穷级数（一）本章重点内容本章包括常数项级数和函数项级数两部分内容，其中常数项级数又包括正项级数，交错级数和任意项级数，函数项级数主要讨论了幂级数和傅里叶级数，其重点内容有：1 数项级数的判断及求幂级数的收敛域；2 将函数展

25、开为幂级数；3 求某些数项级数的合伙某些幂级数的和函数；4 将函数展开为傅里叶级数，收敛定理。常见题型有：1 收敛、发散、条件收敛、绝对收敛的判定；2 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域以及和函数的求法；3 将函数展开成幂级数（包括写出收敛域）；4 求函数的傅里叶系数即傅里叶级数，写出傅里叶级数的和；5 求某些数项级数的和；6 综合证明题。（二）题型分析（一）常数项级数的概念和性质关于判别常数项级数敛散性步骤如下：第一步：区分基本类型：正项（负项）级数，交错级数，项非交错级数第二步：若为正项（负项），考察第三步：处理正项级数，根据一般项的特点选择合适的判别法首选比值，根值判别法，不需要找比照级

26、数.特别的，一般项含以n为指数幂的因子时，更要首选它们.采用比较判别法的极限形式，比较判别法特别注意和几何级数，级数作对比，结合性质判别采用定义，是否有界（上界）第四步：若为项级数，同样首先利用必要条件是否等于0.若是，进一步考虑是否收敛；若是，则绝对收敛收敛收敛若发散，）此结论是由比值判别法或根植判别法得到的必发散；）否则不可以认定发散，若为交错级数，须用莱布尼兹判别法判别若收敛条件收敛若为交错级数，但不满足莱布尼兹条件，讨论的敛散性，拆成2个级数，若一个收敛，一个发散发散发散.不一定拆成由正项构成的和由负项构成的.第五步：对一些较复杂的，利用性质，先拆再判断！一. 正项级数的判别例1. 例

27、2. 例3. 例4. 二 交错级数敛散性的判别1.先判别其是否绝对收敛，若是收敛；若不是，用莱布尼兹判断法试验一下！例1. A 发散 B 条件收敛C 绝对收敛 D与a有关例2. 判定是条件收敛还是绝对收敛例3. 例4. 例5. 三 任意项非交错级数判别法例1. ，判断其敛散性例2.对于项级数和，且，收敛是否能推导出收敛例3.已知收敛，求a的范围四 综合题例1判别正误A 若和都收敛收敛B 若收敛，收敛C 若正项级数发散D 若收敛且，则收敛E 若收敛要么均收敛，要么均发散例2 对总有不等式，则A 若，收敛收敛B ，发散发散C D 以上均不对例3 下列命题正确的是( )A 若，收敛收敛B若，发散发散

28、C前者条件收敛，后者绝对收敛条件收敛D若收敛，绝对收敛绝对收敛例4 收敛，则必收敛的为_A BC D例5 设且则A 发散 B绝对收敛C条件收敛 D 不能判定例6 正项数列为递减函数数列，且发散，问 是否收敛，说明理由(二)函数项级数一. 求幂级数的收敛域，收敛区间及收敛半径思路：先求收敛半径，得收敛区间.然后讨论其端点的收敛性，得收敛域.求收敛半径区分缺项和不缺项级数！例1.求的收敛域例2.设在处发散，处收敛，求收敛半径，收敛域？二. 求幂级数的和函数例1.求的收敛域，并求其和函数例2 的和函数及收敛域例3求的收敛域及例4的收敛域及例5 设级数的和函数为求的解析表达式三. 求函数的幂级数展开方

29、法：一定是间接展开，通过逐项积分，求导分解，变量替换，转化为5种已知函数的展开式1.求反三角函数的展开式方法：先求导，化为有理式，再展开.最后再积分.注意：不漏；积分后级数的收敛域可能扩大，对端点重新检验！例 将展开为x的幂级数并求2 将有理分式函数展开成指定点的泰勒级数例将展开成处的泰勒级数3将对数函数展开成幂级数方法：先化简，然后求导变为有理分式，展开，最后积分得所求例 将展开成x的幂级数 利用函数幂级数展开的惟一性，对给定的，求处的一种方法为：将利用间接法展开成，由的惟一性可知：例 将展开为的幂级数，并求收敛域及四. 求常数项级数之和例1 求例2 例3求例4已知，求五. 综合题例1 求幂

30、级数的和函数及其和函数的极值例2 设函数在上有定义，在的某邻域内具有二阶连续导数，且试证级数绝对收敛十 空间解析几何（一）本章重点内容本章的重点是向量的概念，向量的运算：线性运算、数量积、向量积与混合积，平面各种方程，以及直线与直线，平面与平面、直线与平面之间的关系等常见的题型有：1 求向量的数量积、向量积与直线或平面的方程；2 与多元函数微分学和线性代数的应用相关联的题目。（二）题型分析一. 向量的运算熟练掌握数量积，向量积，混合积定义，性质 运算律例1试举例说明叉乘不满足结合律！即例2 设为非零向量，且满足： 求的夹角例3向量与x轴成，与y轴成，长度为6，在轴坐标为负的，求例4 已知=，=

31、在，所确定的平面内求与垂直的单位向量二. 求平面方程（考点：平面束方程，切平面） 求平面方程思路：点法式 找一定点及与平面平行的两个不共线的向量用混合方程 平面束方程 待定系数法例1直线，求经过且平行于的平面方程例2 求经过两个平面的交线，并且与平面垂直的平面方程例3 设平面，平面位于之间，并分二平面距离之比为，求的方程例4 在曲面上求一点，使曲面在该点处的切平面平行于平面，写出切平面方程 例5 求过轴，与平面成夹角的平面方程例6 求过直线分别满足下列条件的平面方程（1）过原点 （2）和x轴平行 （3）和垂直三. 求空间直线方程 思路：找出所求直线所在的两个平面，用交面式解决； 找定点及直线的

32、方向向量，用标准方程或参数方程； 求两点定直线例1 求过点，且与平面平行，又与直线相交的直线方程例2 空间直线和直线相交于一点，则=_例3求直线在平面上的投影方程四. 直线，平面间关系及求异面直线间的公垂线长例1求过平面与的交线，且与平面交成角的平面方程例2 和，试证为异面直线并求其公垂线长例3 证明是异面直线，并求公垂线方程及公垂线长度五. 投影方程及旋转问题例1 求直线 在3个坐标面上的投影方程 在平面上的投影直线的方程 绕Z轴旋转一周所得曲面方程例2 求直线在平面的投影直线 的方程，并求饶y轴旋转一周成的曲面方程六. 曲面方程例1 若直线与双曲抛物面相切，那么，应满足什么条件例2 求曲面与平面平行的切平面方程例3 求曲面的平行于的切平面 的方程，并求和的距离概念理解：投影和投影向量是不同概念，前者为一个数：在方向上的投影为，特别地在3个坐标轴上的投影为它的3个分量；在方向上的投影向量等于与同方向的单位向量和在方向上的投影的数乘结果，即七. 空间解析几何和线性代数相结合的命题例1 试证3个平面经过同一直线的充要条件为例2 设，则3条直线相交于一点的充要条件为：A. 线性相交 B. C. 线性无关 D. 线性相关,但无关例3 设的秩为3，则直线和A 相交于一点 B 重合C 平行不重合 D 异面