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1、 源于名校，成就所托 反比例函数教学目标：1.理解反比例函数的概念，初步学会用待定系数法求反比例函数的解析式；2.会画反比例函数的图像，归纳并掌握反比例函数的基本性质；3.知道函数的三种表示方法，会建立函数关系式，并能从函数图像中获取有关信息；知识精要1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成2. 反比例函数解析式的特征：等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.比例系数自变量的取值为一切非零实数。函数的取值是一切非零实数。3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或
2、以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。4反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）6“反比例关系”与“反比例函
3、数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。7. 反比例函数的应用热身训练1.函数的定义域是_。x1且x32.如果函数 _ 。3.已知，则y=f(x)= _ 。4.已知点A（m,2）在直线y=-2x上，则m= _。-15.已知反比例函数的图像经过点（1，2），则k=_ ,图像在第_象限。2，一、三6.已知正比例函数的图像经过点（1，-2），则这个函数的解析式是 y=-2x 。7.已知是反比例函数，则m=_0_ ，在其图像所在的每个象限内，y的值随x的增大而减小 。8.点（1，m）与点（n,-1）在函数的图像上，则m= ，n= -1 。9.若正比例函数的图
4、像经过点（-1，2），则这个函数的图像一定经过点（ C ）（A）（2，-1） （B）（-，2） (C)（1，-2） （D）（，2） 10.如图，过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A、B两点。若A点的坐标为（a,b）,则B点的坐标为 （ D ）（A） （a,b） (B)(b,a) (C)(-b,-a) (D)(-a,-b)精解名题例1、 如图（4），在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA以1cm/s的速度向点A运动，同时动点Q从点C沿CB以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动。设在运动过程中所构成的四边形ABQP的面积
5、为y(cm2),运动时间为x(s)。求y关于x的函数解析式及定义域。 解：根据题意，PC=x，CQ=2x C=90,=，= y =-=12-x2 P、Q在边AC、BC上运动x4且2x6x3即定义域为0x3例2如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多少？由反比例函数的定义，得：解得时函数为例3在反比例函数的图像上有三点， 。若则下列各式正确的是（ ）A B C D 解析可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得，所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像描出三个点，满足观察图像直接得到选A解法三：用特殊值法例3如果一次函数相交于点（），那么
6、该直线与双曲线的另一个交点为（ ）解析：巩固练习1.已知双曲线经过点（-1，3），如果A(a1 ,b1)、B(a2 ,b2)两点在该双曲线上，且a1a20,则b1 ”、“0 (B)k-3 (D)k-35.某体育馆原有长100米、宽60米的矩形游泳池，现在准备扩建成周长为600米的更大的矩形游泳池。假设长增加x米，宽增加y米，扩建后面积为S平方米。（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）求S关于x的函数解析式。解：（1）根据题意，得 2（100+x）+2(60+y)=600 化简，得 x+y=140 y关于x的函数解析式为 y=140-x x、y均大于0， ， 解得0x140 定义域为 0x
7、140（2）S=（100+x）（60+y） 将y=140-x代入， 得 S=-x2+100x+20000 S关于x的函数解析式为 S=-x2+100x+20000 （0x140）6.在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴正半轴上，点A为反比例函数图像上一点，AOB=45，ABO=30，AB=6.求反比例函数解析式。解：作AHOB于点H （如图） AOB=45，ABO=30，AB=6 AH=3，OH=AH=3A（3，3）或A(3,-3)设点A所在反比例函数解析式为, 将（3，3）、（-3，3）代入，解得k=9反比例函数解析式为 或 自我测试1.反比例函数的图像位于（ D ）A第一、二象限 B第
8、一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限2.若与成反比例，与成正比例，则是的（ B ）A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数D、不能确定3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长cm与宽cm之间的函数图象大致为（ A ）oyxyxoyxoyxoA B C D4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（ C ）A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3 5如图 ，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂线
9、，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtAOB的面积为S1，RtCOD的面积为S2则 （ C ）A S1 S2 B S1 S2 C S1=S2 D S1与S2的大小关系不能确定6、若等腰ABC的周长为16cm，底边BC长为y cm,腰AB长为x cm,则y与x的函数解析式为 ，其自变量x的取值范围为 。7、已知，与x成正比例，与成正比例，且当x=1时，y=-2，当x=2时，y=8，求y与x之间的函数关系式。解 设 则解得 8、在Rt中，ABO=，点A是直线y=x+m与双曲线在第一象限的交点，且,(1)求m的值；（2）求的面积AxyCOB解 （1）设点A坐标为点A在双曲线上（2）直线y=x
10、+6与x轴交点C坐标为（-6,0）联立方程组解得 第一象限内交点所以 B点坐标为9、正比例函数y=x与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作AB垂直于x轴于B，CD垂直于x轴于D，则四边形ABCD的面积是( C ) A 1 B C 2 D 10、点P是x正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂线交双曲线于点Q,连接OQ，当点P沿x轴的正方向运动时，Rt的面积大小是否发生变化?如果不变，请求出Rt的面积；如果改变，请说明理由。 解析 设点Q的坐标为（x，y），则，xy=1. 因为OP=x，PQ=y，所以 Rt的面积=xy=。所以当点P沿x轴的正方向运动时， Rt的面积大小不发生变化，面积恒为。xyP
11、GFECBAO11、已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数（k，x）的图像上。点P（m，n）是函数（k，x）的图像上任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S。 （1 ）求点B的坐标及k的值； （2）当S=4.5时，求点P的坐标； （3）写出S关于m的函数关系式。 解答 （1）点B坐标为（3,3），k=9。 （2）当S=4.5时，点P的坐标为（6,1.5）。 （3）S=12、已知点（1,3）在函数 （x）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数 （x）又经
12、过A、E两点，点E的横坐标为m。xyEDCBAO （1）求k值； （2）求点C的横坐标（用m表示） （3）当时，求m的值。 解答 （1）3. (2) .(3) 13、“三等分角”是数学史上一个著名问题，即仅用尺规不可能“三等分角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出一个“三等分锐角”的方法：将给定的锐角置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图像交与点P，以P为圆心，2OP为半径作弧交图像于R，过点P和R分别作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM得到，则=。要明白帕普斯方法，请研究以下问题： （1）设P（，）、R（，），求直线OM对应的函数表达式（用a、b的代数式表示）； （2）
13、分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，请说明点Q在直线OM上，并据此证明=； （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）。 解答 （1）设直线OM的函数解析式为y=kx，P（，）、R（，）,则M(,)所以k=。所以直线OM的函数关系式为。 （2）因为Q的坐标为（，），满足，所以Q在直线OM上。因为四边形PQRM是矩形，所以SP=SQ=SM=.所以.因为PR=2OP，所以PS=OP=,所以.，。因为，所以，所以。所以。 （3）方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分即可。 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角
14、三等分后，再将直角利用等边三角形（或其他方法）将其三等分即可。14、矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为（，5），D是xyEDCBAOAB边上一点。将沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，求该函数的解析式。 解答 设该反比例函数的解析式为，点E（）。A（0,5），OE=5，OB=，作,垂足为F。OF=4，OE=3，即 ,，y=。15、 边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。将 绕点O顺时针旋转后，恰好点A落在双曲线 （x）上。 （1）求双曲线 （x）的解析式； （2）等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后，A点再次落在该双曲线上？解答 （1），。； （2），。11
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