高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法

《高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法公式法例1已知数列务满足an 1 2an 3 2n，印2,求数列a.的通项公式解：a. i 2an 3 2n两边除以2n 1,得储 肆3,则喀夷-,故数列*是22 2 2 2 2 2以2 1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得至21 2 231所以数列an的通项公式为an（ n ）2n。2 21 (n 1)-,2n累加法an an 1 f(n)例2已知数列an满足an1 an 2n 1） 1,求数列an的通项公式解：an3an 2 3n 1两边除以3n解：由 an 1 an 2n 1 得 a. 1 a.an 2 _L3n 3 3n

2、 1an (an an 1 ) (an 12( n 1) 1 2(n2(n 1) (n 2)c(n 1)n/八(n 1)(n 1) 1 (n 1)n2所以数列an的通项公式为an 2) L(a3a2)2) 1 L (2 2L 2 1(n 1) 11(a2 aja11)(2 11) 1例3已知数列an满足an 1an二、累乘法a n一f(n)a n 12an n o3an 2n _L3 1 , a1求数列an的通项公式例4已知数列an满足ani 2(n 1)5 n an, 3 3,求数列an的通项公式解：因为 an 12(n 1)5 n a., 印3 ，所以 an0, 则也2(n 1)5 n ，

3、故ananan an 1 Lan 1 an 2a3 a2a1a2a1522(11) 51 32(n 11)5 12(n 21)5n 2 L 2(2 1)2n 1n(n 1) L 3 2 5 (n 1) (n 2) L 21 3n(n 1)3 2n 1 5丁 n!n(n 1)所以数列an的通项公式为an 3 2n 1 5八n!.例5已知数列an满足ai 1, an印2a?3a3 L (n 1 总 1(n2),求an的通项公式。解：因为 an a1 2a2 3a3 L (n 1 总 1 (n 2)所以an 1 a1 2a2 3a3 L (n1)an 1 nan用式一式得an 1 anna “.则

4、an 1 (n 1)a n(n 2)故也 n 1(n2)anan 的通项公式。四、待定系数法 ( 重点 )例6已知数列an满足an i 2an 3 5n，印6,求数列解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n)将an i 2an 3 5n代入式，得2a. 3 5n x 5n 1 2a. 2x 5n，等式两边消去2a.,得3 5n x 5n 1 2x 5n,两边除以5n，得3 5x 2x,则x 1,代入式得n、n 1例7已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4,内1,求数列an的通项公式解：设 an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y)将an 1 3an 5 2n 4代入

5、式，得 3an 5 2n 4 x 2n 1 y 3(an x 2n y)整理得(5 2x) 2 n 4 y 3x 2 n 3y。n 1an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)5 2x 3xx 5令，则，代入式得4 y 3y y 2解：设将an i2a n2a n已知数列an满足an i2an2an i x(n i) y(n i) z2a n 3n2 4n23n2 4n 5 x(ni)2 y(n3n22(ani) z4n 5, ai2 xn yn2(an xn2i,z)求数列an的通项公式。yn z),则2(3 x)n 2 (2x y4)n (xyz5)2a n2xn 22yn 2z

6、等式两边消去2an,得（3x)n2 (2x y4)n(x y25) 2xn 2yn 2z ,3 x 2x解方程组2x y 4 2y，则y 10,代入式，得x y z 5 2z z 1822an 1 3(n 1)2 10(n 1)18 2(a n 3n2 10n 18)五、对数变换法n5例9已知数列an满足an i 2 3 an , ai7,求数列的通项公式。n 5解：因为an i 2 3an, ai 7,所以an0,an i 0。在 ann 5i2 3 a n式两边取设 Igani x(n 1) y 5(lg a . xn六、迭代法例10已知数列an满足ani a；(n小，a, 5,求数列a.

7、的通项公式解：因为an 1 an3(n 1)2 n3n 2 n 13(n 1) 2 n 2 3n 2 n 1,所以 an an 1an 2七、数学归纳法例11已知an 1 an8(n 1 )822, a1 一,求数列(2n1) (2n 3)9an的通项公式(其他方法呢？)解：由 an 1an 8(n 1)及 a1 8 ,得2 2(2n 1) (2n 3)98(1 1)8 82242 2a2a1(2 1 1) (2 1 3)9 925258(2 1)248 348a3a2 (2 2 1)2(2 2 3)22525 4949a4a38(3 1)488 480(2 3 1)2(2 3 3)24949

8、 8181由此可猜测an2(2n 1)1往下用数学归纳法证明这个结论。(1 )当 n 1 时，a12(2 1 1)2 18,所以等式成立。(2 1 1)2(2)假设当n k时等式成立，即ak2(2k 1)1(2 k 1)2k 1时,ak 1ak(2k 3)8(k 1)2 2 (2k 1)(2n 1)(2k 1)2 18(k 1)222(2 k 1)(2 k 1) (2 k 3)(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1) (2 k 1) 2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1) 2 2(2k 1) (2k 3)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(

9、2k 1)2(2k 3)22(2 k 3)1(2 k 3)22( k 1) 121解：令bn故an 1 ,1 24an,贝U an知 b2 * 1)1 2 1 .24 (bn 1 1),代入 an 1 16 (1 4a n , 1 24a n )得1 1 21,很 1 424 (bn1) bn例12已知数列an2 2满足an 1即 4bn1 (bn 3)因为 bn , 1 24a n00,故bn 1.、1 24q 1则 2bn 1 bn 3,即 bmbn3,可化为bn 1 321(bn 3), 2九、不动点法例13已知数列an满足a21a 24n , a1 4,求数列4 an 1an的通项公式。3，得4x20x 24012, X23是函数f(x)两个不动点。因为21an 24 2 an i2 4an121an242(4an1)13an2613 an2an 1321an24321an243(4an1)9an279 an34an 1十、倒数法两边同时倒数2(k1) 122anai1, an 1求 anan 2由此可知，当n k 1时等式也成立。根据（1）,（ 2）可知，等式对任何n N *都成立。八、换元法1（1 4a n、. 1 24 可），ai 1,求数列an的通项公式。16