极坐标系及其与直角坐标系的互换

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1、1.3.1极坐标系教学目的: 一、知识与技能：懂得在极坐标系中刻画点的位置的措施；二、措施与过程借助生活中的实例引入极坐标的概念；比较点在极坐标系和平面直角坐标系中的坐标关系三、情感、态度与价值观体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；教学重点: 极坐标（，）与平面上的点的关系教学难点：极坐标（，）与平面上的点的关系；教学过程一、新课引入：直角坐标系是最常用的坐标系，但它不是用数来刻画点的位置的唯一措施，用哪种措施最以便，要对具体问题作具体分析。 如力所示，缉私观测站位于点O处，看到们于点A处的走私船正在逃跑，现停泊于点O处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供走私船所在的位置P。

2、对船舶来说，最以便的数据不是走私船所在点的直角坐标（，），而是它的方位角，即夹角。在航空和航海中的状况都是这样。 当用炮兵指挥仪批示射击目的时，输出的是目的方位，即方向和距离。在平常生活中，我们也常常用距离和角度批示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基本思路。二、解说新课：在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O，这条从极点起的射线O叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。对于平面上的一种点M，连接极点O与M，线段OM之长叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O为始边按逆时针转到O

3、M的角叫作M点的极角，有序数对（，）叫作M点的极坐标。当M在极点时，它的极径=0，极角可取任何实数。在极坐标系中，若无特殊声明，是非负实数，。当时，平面上的点与极坐标一一相应。事实上，对给定的与，由极坐标（，）可以唯一地拟定一种点M，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多种极坐标。根据点的极坐标（，）的定义，对于给定的点，它的极径是唯一拟定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（，），则（，）也是这个点的极坐标，其中是任意整数，当时，表达从该点起绕极点O逆时针转动了圈又回到原处，当时，表达从该点起绕极点O顺时针转动了圈又回到原处。三、范例解说例1、在极坐标系中，画出

4、点A（1，），B（2，）C（3，）D（4，）解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即线，线，线，线，线和线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。指出：我们也可以容许，此时极坐标（，）相应的点M的位置按下面规则拟定：点M在与极轴成角的射线的反向延长线上，它到极为O的距离|，即规定当时，点M（，）就是点M（）例2、如图在极坐标系中，写出点A，B，C，的极坐标，解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。如图点A与极点O的距离为了，且在极轴上，因此A的极坐标为（1，0），同样可求得B，C的极坐标分别为（4，），（5，）指出：已

5、知点的位置求极坐标时，如果没有特殊规定，只规定一种解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一种解（，）后，再写出其通式（，）或（）例3、已知点Q（，），分别按下列条件求出点P的极坐标。（1）M是点Q有关极点的对称点：（2）N是点Q有关直线的对称点解：（1）由于M、Q有关极点对称得它们的极径OQ=OM，极角角相差，因此点M的极坐标为（，）或（）（）（2）由于点Q、N有关直线的对称，得它们的极径OQ=ON，点N的极角满足因此点N的极坐标为（，）或（）（）AOBC例4、已知两点的极坐标A（3，），B（3，），求AB两点间的距离；AB与极轴正方向所成的角。解法一：根据极坐标的定义

6、，可得|OA|=|OB|=3，AOB=，即AOB为等边三角形，因此|AB|=3，ACX=法二：A 、B两点的极坐标分别为（3，），（3，），|OA|=|OB|=3，AOC=，BOC=了 AOB=，在AOB中，由余弦定理可得 =3即AOB为等边三角形，ACX=AOC+OAB=四、巩固练习：1、已知两点的极坐标P（5，），Q（1，），求线段PQ的长度2、已知点A的极坐标（6，）分别写出给定条件下点A的极坐标若；则A 若，则A 若，则A 五、小结，则1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（，）是一一相应的，在极坐标系中，平面上的点与有序数对（，）不是一一相应，只有在规定的

7、前提下，并除极点外，点与极坐标之间才一一相应，在解题时要注意极坐标的多种表达形式。2、一般地，极坐标（，）与（，）表达同一种点，特别地，极点O的坐标为（0，）和直角坐标不同，平面内一种点的极坐标有无数种表达。六、课后作业：课本24页 习题2，4，教学反思：1.3.2极坐标系教学目的: 一、知识与技能：懂得在极坐标系中刻画点的位置的措施；掌握简朴图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程二、措施与过程借助生活中的实例引入极坐标的概念；研究简朴图形的极坐标方程的特点；比较简朴图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。三、情感、态度与价值观体会在极坐标系和

8、平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；体会在用方程刻画平面图形时选择合适坐标系的意义；通过阿基米德螺线，感受数学的文化价值。教学重点:几类简朴图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程教学难点：几类简朴图形的极坐标方程的推导教学过程一、新课引入：1、在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O，这条从极点起的射线O叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。建立极坐标系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向2、对于平面上的一种点M，连接极点O与M，

9、线段OM之长叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O为始边按逆时针转到OM的角叫作M点的极角，有序数对（，）叫作M点的极坐标。当在建立了极坐标系的平面内给定一种点时，这个点的极坐标却不上唯一拟定的，它可以有无数多种表达。3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。 二、解说新课：在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，并且几何形象也体现得十分明确。所谓曲线L的极坐标方程是指L上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程或1、过极点直线的极坐标方程在平面直角坐标系中，过原点O的直线方程形如：，其中是实数，叫作斜率， ，是此

10、直线与O轴的夹角，这个角是多大，一般从上不易看出来，需要计算。但在极坐标中，我们取O的正方向为极轴，则过极点O的射线方程写成）如果我们充许极径取负值，商定M （，）有关极点对称点N的极坐标写成N（），于是过原点与轴夹角为的直线的极坐标方程为如与轴夹角为过原点的直线的极坐标方程为=2、圆心在极点的圆的极坐标方程 =方程=的含义是动点的极径恒为，是个常数；而方程=无极角，表达可以任意变化，当极径是常数，极角任意时，即动保持与O点等距地转动，这正是圆规在画圆。3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为设此圆上任取一点M的极坐标为（，），由于OA是直径，因此

11、OMA=，于是，即从而得与满足的方程为：=24、阿基米德螺线一种动点M随时间的增长绕定点O逆（或顺）时针匀速绕动，同步离O点越来越远，它远离O点的直线距离也是匀速增长的，如果把O点定为极坐标的极点，M与O点的直线距离就是向径，转角就是极角，由于与的增长所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间为（） 一般地，将该式写成表达的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径的扩张与转角的变化皆为等速的，因此也称其为等速螺线。三、范例解说例1、（1）求过点A（2，）且平行于极轴的直线的极坐标方程；（2）过点A（3，）且和极轴成角的直线的极坐标方程思路点拔：在已给极坐标系中，要想求直线的极坐标方程，就必须先寻

12、找到几何等式。按照常规思路需构造核心三角形，运用核心三角形的边角关系引出几何意义。OAM解法一：如图，在直线上任取一点M（，）在OAM中 |OA|=2 |OM|= HOAM=（或） OMA=（或）在OAM中由正弦定理得：解法二：如图在直线上任取一点M（，）过M作MH极轴于H点，OAMx|MH|=2=B在RTOHM，|HM|=|OM| 即（2）MBx=，OAB=OMA=在MOA中，根据正弦定理化简得直线的极坐标方程为：本题运用三角形法求出了直线方程，三角形法的环节是：先根据题意作出（寻找）核心三角形，运用解三角形的知识列出几何等式，再将几何等式坐标化，化简、整顿即得所求直线的极坐标方程。例2、在

13、极坐标系中，求以Q（，）为圆心，觉得半径的极坐标方程OMN解：由已知条件可知，此圆过极点。设点M（，）为圆上任意一点，连结OQ交圆于点N，则ON为圆的直径，连结MN，则OMN为直角三角形。NOM= |ON|=2|OM|=|OM| 即=2这就是所求的圆的极坐标方程。四、巩固练习：OAM1、设极点O到直线的距离为，由点O向直线作垂线OA，由极轴到垂线OA的角度为（如图所示）求已知直线的极坐标方程x2、判断两圆和的位置关系五、小结几类特殊曲线的极坐标方程1、过极点直线的极坐标方程2、过已知点A（，）且平行于极轴的直线的极坐标方程：3、过已知点A（，）且垂直于极轴的直线的极坐标方程：4、过点A（，）且

14、和极轴成角的直线的极坐标方程： 5、极点O到直线的距离为，由点O向直线作垂线OA，由极轴到垂线OA的角度为的直线的极坐标方程：6、圆心在极点的圆的极坐标方程：=7、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程=28、以（，）为圆心，觉得半径的圆（即圆过极点）极坐标方程=29、阿基米德螺线六、课后作业：课本24页 习题3，4，5，6教学反思：1.4极坐标与平面直角坐标的互化教学目的: 一、知识与技能：掌握将曲线的平面直角坐标方程与极坐标方程互化的措施二、措施与过程：通过具体的实例，研究两种坐标方程互化的措施三、情感、态度与价值观：体会不的坐标系在解决不同的问题时各自所具有的优越性教学重点:曲线的极坐标方程

15、和平面直角坐标方程的互化教学难点：将曲线的极坐标方程转化为平面直角坐标方程教学过程一、新课引入：1、在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O，这条从极点起的射线O叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。2、对于平面上的一种点M，连接极点O与M，线段OM之长叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O为始边按逆时针转到OM的角叫作M点的极角，有序数对（，）叫作M点的极坐标。3、几类特殊曲线的极坐标方程过极点直线的极坐标方程过已知点A（，）且平行于极轴的直线的极坐标方程：过已知点A（，）且垂直于极轴的直线

16、的极坐标方程：过点A（，）且和极轴成角的直线的极坐标方程：极点O到直线的距离为，由点O向直线作垂线OA，由极轴到垂线OA的角度为的直线的极坐标方程：圆心在极点的圆的极坐标方程：=圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程=2以（，）为圆心，觉得半径的圆（即圆过极点）极坐标方程=2阿基米德螺线二、解说新课：在平面上的同一种点，它的平面直角坐标（，）与极坐标（，）之间有什么样的换算公式？同一条曲线，它在平面直角坐标系中的方程为或，在极坐标系中的方程为或，如果懂得其中它的一种方程，如何换算出另一种方程呢？我们把极轴与平面直角坐标系O的正半轴重叠，且两种坐标系取相似的长度单位，设（，）是平面上的任意一点，如图

17、，则 （1）由（1）式可得 （2）（1）与（2）是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标（，）与其极坐标（，）之间的换算公式。三、范例解说例1、在平面直角坐标系中，把曲线的方程化为极坐标系中的方程。解：把，代入方程得即 此方程我们在上节课得出过，它是圆心在极轴上，半径为，过极点的圆的极坐标方程。事实上恰为圆心在（，0），半径为的圆例2、已知曲线的极坐标方程，求此曲线的直角坐标方程，其中与是正常数。解：方程写成把与代入得两端平方化简得：当时，方程表达一种椭圆当=1时，方程表达一条抛物线当时，方程表达双曲线极坐标方程是椭圆、抛物线、双曲线这三种圆锥曲线的统一的极坐标方程。四、巩固练习：1、把点M的极坐标（3，）化为直角坐标；2、把点A的直角坐标（1，）化为极坐标。3、写出圆心在点（，1），且过原点的圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程。4、把极坐标方程化为直角坐标方程五、小结平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标（，）与其极坐标（，）之间的换算公式。 六、课后作业：课本24页 习题7，8，9，10，11，12教学反思：