力学量的算术平均值File

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1、求：势能为 12 x2 ，波函数为C x n ( x) （其中n (x) 为能量本征函2数）的粒子的能量取值情况（即能量值大小和相应的几率，能量平均值）。已知势能为12 x2 的粒子能量本征函数和相应的能量本征值如下：221)h , n 0,1,2,3,.( )NH ( )e2 ,E(nnnnn2n ( x)H n (x)e2 x2n22 n!h首先要将波函数2,Nnh2n n!C x n (x) 归一化，求归一化系数C 。C 2x2n2 ( x)dx 1 C 211x2n2 ( x)dxn ( x) x2n ( x)dxxn(x)1nn 1(x)n1 n 1(x)2x2n (x)12n(n

2、1)n 2( x)(2n1) n (x)(n 1)(n2)n 2 (x)2n (x)2n n 1(x)n1n 1(x)2n(x)2n(n1) n 2 (x)(2n 1)n ( x)(n 1)(n 2)n2 (x)n ( x) x2n ( x)dxn (x)x2n (x)dxx2n ( x)12n(n1)n 2 (x)(2 n1)n (x)(n 1)(n2) n2 (x)2n ( x) x2n ( x)dx1n ( x)n(n1)n 2 ( x)(2n 1)n ( x)(n 1)(n222)n2 ( x) dx1n(n 1)2212(2n1)2C 21n ( x) x22(x)2n12(x)2n

3、1n (x) n 2 ( x)dx(2 n1)n (x) n (x)dx(n1)(n2)222n1n ( x)dxx n (x), xn ( x)1(x)n1n 1 ( x)n n 121n 1 n 1 (x)nn1n n 1 (x)2n1n 1 ( x)122nn ( x)n2 ( x)dxn 1 ( x)2xn (x)( x)2n1处在能量本征态的几率幅处在能量本征态的几率能量本征态的能量能量 算术平均值nn1( x)1n 1 (x)n 1( x)2n2n1n 1( x)n 1( x)nn12n12n1nn1n+n12n12n12n2n=111En 11)hEn 1(n 11( n 1)h

4、22EnEn 1n 1 En 1n(n1)hn 1 (n3 )h2n 12n 12n 122n 12E n(2 n 1) ( n 1)(2n 3) h 2(2n 1)力学量算术平均值问题222?122，一维谐振子势能 U ( x)，1 力学量：坐标 ? ? ?，坐标的平方 ? ? ?xx, y, zx , y, z2?一维谐振子动能2d2，动量 ?d?iTdx2p x2dx2 状态：a) 力学量的本征态目前我们只学过能量的本征态：2nx， n ( x)H n ( x)e2 x2nn (x)sin(), n 1,2,3,2aa2n!b) 不是力学量的本征态3 结论：a) 在力 学量 的本 征态

5、中 （n ( x) ），力 学量 取固定的 唯一 的本征值（ En22 n2，En (n1 ) ）；几率为 1，平均值就是本征值 En ；2a22b) 对于不是力学量的本征态的状态( x) ，需要将这个状态用力学量的本征态展开 ( x)cn n (x) ，来求得力学量的取值En和相应的几率幅n 0cn ，根据平均值的几率定义求该力学量的平均值2cn Enn 0c) 通过力学量算符 来计算力学量的平均值2 x21n (x)nH n ( x)e状态下，坐标x?。例求在2?2n!2 x2(x)H (x)e状态下，坐标平方22。例2求在2x的平均值 ?n2nn!n?x例3n (x)H n ( x)e2

6、 x2求 在2n n!2状态下，一维谐振子势能?12 ?2?x)12 ?2。U ( x)2x的平均值 U (2x例4n (x)H n (x)e2 x2?1?2求在2状态下，一维谐振子动能的2n n!2Tp平均值?T 。Example1x?xn ( x)2n ( x)x n ( x)dxdxxn (x)1n n 1 (x)n 1 n 1 ( x)2?xn( x)21n( x) nn 1( x)n 1n 1(x) dx 0xdx2Example 2?2x2n ( x)2dxxx2n ( x)21n(n1)2x?2n ( x)x2n (x)dx1n (x)n( n1)221n(n 1)n (x)22

7、n ( x) x2n (x)dxn 2 (x)(2 n1) n (x)( n1)(n2)n2 (x)n2 (x)(2n1) n ( x)(n1)(n2)n2 ( x)dxn 2 (x)dx(2 n1)n (x) n (x)dx(n1)(n2)n ( x) n 2 ( x)dx12(2n1)2n1h22Example 3Q2h?122122n11(n11U ( x)2x?22h)hEn222Example 4?111T EnU ( x)En(n)h222?1212d 22?Th2 ,2p2dxp?n ( x)dxn ( x)Tn ( x)T2 d 2h dx2 ,h 2d 22dx2?dpidx

8、n(x)dxh 2n (x) d 2n ( x)dx2dx22n ( x)n( n1)n2 (x)(2 n1) n ( x)(n1)(n2) n2 (x)2?h 2d 2n ( x)dxT2n ( x)dx2h 22n(n1)n 2 ( x)(2n 1)n ( x)(n1)(n2) n 2 ( x) dx2n ( x)2h 2(2n1)1 (n1)h1 En22h222力学量算符1. 量子力学基本假设描写物理系统的 态函数 的总体，构成一个 希尔伯特空间 。系统的每一个动力学变量，由对这些态函数 施加作用 的一个厄米算符 描写。a) 态函数： 不是一般的态函数，一定是两两正交，自归一的算符本征

9、函数b) 厄米算符： 力学量要用一个算符表示，不能用一个实数，也不能用一个函数表述。c) 厄米算符定义： 如果对于两个任意波函数和?满足下列等式：，算符 F?为厄米算符。F dv(F ) dv ，则称 Fd) 厄米算符性质： 厄米算符的本征值是实数。e) “施加作用”：i.若是 ? 的本征函数，则施加作用后得到一个本征值。nFii. 若 不是 ? 的本征函数，则施加作用后得到多个本征值。Fiii. 量子力学基本假设2. 量子力学基本假设当系统处于状态时，对与算符? 对应的动力学变量进行足够多次的测量，得F到的测量结果的算术平均值? 为：F3F?d r?F若已经归一化，则有：d 3r?d3rFF

10、?3rFFdifn?nn n?nand FF?3?n d3rn n n d3rnnn d3rnFF dr Fn F?3rFFdifCnn?n n?2nand F nFCnnn?3r?3r( Cm m )?n d3rFF d( Cm m ) F Cn n dCn Fmnmn( Cm m)Cn n nd 3 rC* C*d 3rC*Cn n mnm n nm nmmnmnmnCn2nn( x)nn 1 (x)n11( x)2n12nn1( x)2xn (x)n 1( x)n 1( x)2n1处在能量本征态的几率幅nn12n12n1处在能量本征态的几率nn1n+n12n12n12n2n=11 )h1 )h11能量本征态的能量En 1( n1En 1(n122EnEn 1n 1 En 1n(n1)hn 1 (n3 )h能量 算术平均值2n 12n 12n 122n 12n(2 n1)( n1)(2n 3) hE2(2n1)3.本征值为连续谱的力学量动量1ei ( p xx Et ) / hp (x)1eip x x/ h1ip xx / hp(x,t )px (x)ex2hx2h2h( x)C pxpx (x)( x)C px px ( x) dp xpx( x)C p x px(x) dpx