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1、圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1.如图：00的半径为2,点A、B、C在00上，0A丄0B,ZAOC=60,P是0B上一动点，求PA+PC的最小值.AES_图1图2圏3分析:延长A0交00于D,连接CD交00于P,即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长A0交00于D,连接CD交0B于P连接PA,过0作0E丄CD,垂足为E在AOCD中，因为ZA0C=60所以ZD=ZC=30在Rt0DE中c
2、os30=即DE=2Xcos30=所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2.如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(一3,-2),0A的半径为1,P为x轴上一PQ长度的最小值为分析：连接AQ、PA，可知AQ丄PQ.在RtPQA中，卩0=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切0A于点Q所以PQ丄AQ在RtAPQ中，PQ2=PA2-AQ2即PQ=又因为A(-3,-2)，根据垂线段最短。所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的
3、中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为()AB2C3D3分析：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D,不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得：弧AC的长为2nr=2n2=4n,PA=6因为4n=所以n=120即ZAPB=60又因为PA=PB所以APAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD丄PBPD=DB=3在RtPAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4.如图：半径为2.5的00中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB
4、上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q,(1)求ZP的正切值；(2)当CP丄AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.分析:易证明ACBsPCQ,所以，即CQ=PC.当PC最大时，CQ最大，而PC是00的动弦，当PC是00的直径时最大.解；AE是卫。的直径,.,AC=3)三A与是同弧所对的團周甫,(3).FClGQjZPCQ=9CfAB是0的肓径,-ZACE=90,.ZA=ZP?.AAEtcoAPQC,IJBCCO-.CQ=：_-.AC3当氏是30的直徑时強最长,-.CQ-_i=4X=20.齡33五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5.如
5、图：已知00的半径为2,弦BC的长为2,点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求AABC面积的最大值.分析：设BC边上的高为h因为SABC=BCh=X2h=h当h最大时SABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD丄BC于D连接B0即BD=CD=在RtBDO中，OD2=OB2BD2=22()2=1所以0D=1所以AD=2+1=3所以SABC=XBCAD=X2X3=3即厶ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6.用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种
6、方案，围成的场地面积较大？并说明理由.分析：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144S2=n()2=因为nV4所以所以=144所以S2S1所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7. 如图：在半径为1的00中，AB是弦，0M丄AB,垂足为M,求0M+AB的最大值.分析：可设AM=x，把0M用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在RtOAM中0M=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x24ax+(a21)=0因为=(4a)24X5X(a2
7、1)20即a2W5所以aW所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8. 如图：海边立有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是00的一部分)区域内，ZAOB=80，为避免触礁，轮船P与A、B的张角ZAPB的最大值分析：连接AC，易知ZACB=ZAOB=40，又因为ZACB2ZP，所以ZP的最大值为40.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知ZACB=ZAOB=X80=40又因为ZACB2ZP即ZAPBW40。所以ZAPB的最大值为40九、利用经过0O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9. 如图：0O的半径为5cm，点P为0O内一点，且O
8、P=3cm,则过点P的弦AB长度的最小值为cm.分析：过P作AB丄OP,交0O于A、B，则AB的长最小.解：在RtOAP中，AP=所以AB=2AP=2X4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与0O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10. 如图：点P为0O外一点，PQ切0O于点Q,0O的半径为3cm,切线PQ的长为4cm，则点P与0O上各点的连线长度的最大值为，最小值为分析：过P、O两点作直线交0O于A、B,则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ因为PQ切0O于Q所以OQ丄PQ在RtPQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2所以OP=5所以PB=53=2PA=6+2=8所以点P与0O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.
圆中最值问题10种求法
