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1、双曲型方程基于MATLAB的数值解法（数学1201,陈晓云,）一：一阶双曲型微分方程的初边值问题 精确解为 二：数值解法思想和步骤2.1:网格剖分为了用差分方法求解上述问题，将求解区域作剖分。将空间区间作等分，将时间区间作等分，并记。分别称和为空间和时间步长。用两簇平行直线将分割成矩形网格。2.2：差分格式的建立 2.2.1：Lax-Friedrichs方法对时间、空间采用中心差分使得 则由上式得到Lax-Friedrichs格式截断误差为所以Lax-Friedrichs格式的截断误差的阶式令：则可得差分格式为其传播因子为： 化简可得： 所以当时，,格式稳定。* 2.2.2：LaxWendro
2、ff方法用牛顿二次插值公式可以得到LaxWendroff的差分格式，在此不详细分析，它的截断误差为，是二阶精度；当时，格式稳定。在这里主要用它与上面一阶精度的Lax-Friedrichs 方法进行简单对比。2.3差分格式的求解因为时格式稳定，不妨取 ，则s=0.9差分格式写成如下矩阵形式：则需要通过对k时间层进行矩阵作用求出k+1时间层。对上面的矩阵形式通过matlab编出如附录的程序求出数值解、真实解和误差。2.5 算法以及结果 function P U E x t=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,type)format long%一阶双曲型方程的差分格式 %P U E
3、x t=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type) %方程:u_t+C*u_x=0 0 = t = uT, 0 = x 1 disp(|C*r|1，Lax-Friedrichs差分格式不稳定！) end %逐层求解 for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j)/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)/2; P(i,j+1)=cos(pi*(x(i)+t(j+1); E(i,j+1)=abs(U(i,j+1)-cos(pi*(x(i)+t(j+1); end end %Lax-Wendro
4、ff差分格式 case LaxWendroff if abs(C*r)1 disp(|C*r|1，Lax-Wendroff差分格式不稳定！) end %逐层求解 for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)/2+C2*r2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j)/2; P(i,j+1)=cos(pi*(x(i)+t(j+1); E(i,j+1)=abs(U(i,j+1)-cos(pi*(x(i)+t(j+1); end end otherwise disp(差分格式类型输入有误！) return; endU
5、=U;P=P;E=E;%作出图形 精确解mesh(x,t,P); title(一阶双曲型方程的精确解图像); xlabel(空间变量 x); ylabel(时间变量 t); zlabel(一阶双曲型方程的解 P)%作出图形 数值解mesh(x,t,U); title(type 格式求解一阶双曲型方程的解的图像); xlabel(空间变量 x); ylabel(时间变量 t); zlabel(一阶双曲型方程的解 U)return; 命令窗口输入：uX=1;uT=1;M=90;N=100;C=-1;phi=inline(cos(pi*x);psi1=inline(cos(pi*t);psi2=in
6、line(-cos(pi*t);type=LaxFriedrichs或type=LaxWendroff;P U E x t=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,type)从 matlab的数值解法结果中抽出一部分数据进行比较表1LaxFriedrichs格式jk（x,t）数值解真实解误差4611(0.5,0.1)-0.-0.0.4621(0.5,0.2)-0.-0.0.4631(0.5,0.3)-0.-0.0.4641(0.5,0.4)-0.-0.0.4651(0.5,0.5)-0.-1.0.4661(0.5,0.6)-0.-0.0.4671(0.5,0.7)-0.-0.0.4
7、681(0.5,0.8)-0.-0.0.4691(0.5,0.9)-0.-0.0.46101(0.5,1.0)-0.-0.0.表2LaxWendroff格式jk（x,t）数值解真实解误差4611(0.5,0.1)-0.-0.0.4621(0.5,0.2)-0.-0.0.4631(0.5,0.3)-0.-0.0.4641(0.5,0.4)-0.-0.0.4651(0.5,0.5)-0.-1.0.4661(0.5,0.6)-0.-0.0.4671(0.5,0.7)-0.-0.0.4681(0.5,0.8)-0.-0.0.4691(0.5,0.9)-0.-0.0.46101(0.5,1.0)-0.-0.0.备注：本来，但是由于matlab中下标必须从大于0开始，所以在程序中图像分析:结果分析：从表1和表2可以看出LaxFriedrichs格式和LaxWendroff格式的真值得误差都比较小，而LaxWendroff格式虽然精度比LaxFriedrichs的精度高，但是在网格点划分比较细的情况下，二者的差别不大。从三个图像的结果看出，二者都拟合的相当好，并且结果都稳定。
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