杨柳：探析中学数学几种换元解题方法

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1、探析中学数学几种换元解题方法杨 柳（江西省 于都县实验二中 342300）内容摘要：本文介绍了中学数学中常见解题方法：换元法，并进行了阐述。通过对换元法的探讨，让我们对数学解题有更深切的体会，更清晰地认识到数学解题的诀窍。使我们在解题时解答又准又快，达到事半功倍的效果。并可以提高学生的综合能力。关键词：中学数学 ； 解题方法 ； 换元法1.引言 关于什么是数学方法，不同的人在不同的场合有不同的理解。人们一般从两个既有区别又密切联系的方面来理解“数学方法”，一是认为数学方法“主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新法则”的表征；二是认为数学方法是“用数学语言表述

2、事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的理解、判断和预言的方法”，即数学方法包含两个不同方面。一个是指数学工作者解决数学问题的方法；另一个是指科研人员以数学概念和理论揭示所研究事物的内在联系和运动规律的方法即运用数学所提供的概念理论和方法对所研究的对象进行定量分析、描述、推导和计算，以便从量的关系上认识事物发展变化的规律性的方法。本文就是通过比较几种常见的换元法来加深我们对数学方法的体会。2.数学解题思想概述意识是行为的前导，在问题信息和解题行为之间，必然有主体意识作中介，这种意识就是解题思想，但这并不能简单地一概归咎于灵感、直觉，而其中一般原理性的思考正是解题思想。在较

3、为具体意义上讲，数学解题思想与数学思想基本一致，比如数形结合，等价转换，分类讨论，方程与函数等数学思想。但更确切地说解题思想比数学思想更原理化，概括化。数学的知识和方法是导致下雨的云，那么数学思想就是使云运动的风。解题是数学教学活动的中心，强化数学思想更应该在解题教学中得到落实。数学解题实质上是在条件与结论之间给出一个数学原理序列，它既包括数学知识的联结，又包括数学方法的推进。而知识与方法是一个统一体，缺乏方法的内容是死板的，脱离内容的方法是盲目的，两者都反映着一定的数学思想，掌握数学解题思想方法有助于提高学生的综合能力。3. 换元法换元法是数学中一种非常有用的解题方法,具有广泛的应用性,它在

4、因式分解,解方程组,证明不等式等问题的求解中经常用到.利用换元法解数学题有很大的灵活性,有效利用换元法解题的关键在于选择适当的辅助未知数,引进适宜的代换式,这样不仅较易找到证题思路而且能使问题证明简化.对于一个具体问题究竟要用什么代换才能有效,应针对具体情形作具体分析,这里往往需要丰富的联想和熟练的技巧.换元法中的元一般作变量理解,但也可以作广泛的理解,如元可表示常数代数式,函数等.按所换元的不同形式有各种各样的代换方法,如三角代换,增量代换,标准量代换,比值代换,平均值代换,整体代换等.下面是常见的几种: 3.1 三角代换例1 求函数的最值,并求出函数取得最值时的值。分析： 仔细观察的表达式

5、，将其进行转化。想到形如的代数式中，则可令，再利用万能公式，有：，。这样就可使问题简化，从而进一步得到解决。解:因为=令=tan () 则y= 因为, ,所以当= 或=即=或=时sin=1 则有 此时x=tan=或x=tan()=tan= ()当=或即=或时,sin2=-1 ,则有此时X=tan()=或x=tan=3.2 增量代换对于任意两个实数a,b,总存在实数t,使a=b+t,称t为增量,这种代换为增量代换。例2 已知：为两两不相同的正整数求证： 对任何正整数，下列不等式成立 分析: 在证明对称不等式时作增量代换是常用的方法。此时，常常将不等式中各较大的数表成最小数（基本量）加上某个非负数

6、的差数（增量），将不等关系转化为相等关系，从而使证明简化。证明： 因为是两两不相同的正整数所以 故将上述几个等式相加得：故 =3.3 常量代换 根据需要，有时吧 常量用一个字母或函数式表示，暂且把常量看作变量，通过研究变动的、一般的状态来考察不变的特殊的情形，这种代换称“常量代换”。例3 计算 解：设，则：，所以：原式= =上例通过“常量代换”把问题化为二次方程，使问题迎刃而解，恰当选用字母代替数字有时可使数字间的特征更加明显，也可简化运算过程。 以上问题侧重于讨论，然而并不是问题中出现参数就一定得分类讨论，如果能利用数形结合，函数等解题思想方法，可避免或简化分类讨论，从而获得迅速准确的解题效

7、果。4 . 总结本文通过对几种常用的换元法进行探讨，让我们对中学数学解题思想有了进一步的了解，对提高学生解决问题的综合能力作用显著，有助于学生学习能力的开发。新课程提倡“一题多解”，培养学生解决问题的能力，提高学生的综合素质。本文通过对换元法的几种解题方法的探讨，开阔学生的解题思路，为解题提供多种方案。参考文献：1李明振. 数学方法与解题研究M. 上海：上海科技教育出版社，2003：262282.2张雄，李得虎. 数学方法论与解题研究M. 北京：高等教育出版社，2004：9093.3黄翔. 数学方法论选M. 重庆：重庆大学出版社，1995：5670.4郑毓信. 数学方法论M. 广西：广西教育出

8、版社，2007：5960.5顾越岭. 数学解题通论M. 广西：广西教育出版社，2000：6466.6薛金星. 中学教材全解. 高一数学下册M. 陕西：陕西人民出版社：4875.7汪江松. 高中数学解题方法与技巧M. 湖北：湖北教育出版社，1995：5056.8钱佩玲，邵光华. 数学思想方法与中学数学M. 北京：北京师大出版社，2000：6170.9王林全. 中学数学思想方法概论M.重庆：重庆教育出版社，2000：1523.10徐有标，刘治平. 高考中的数学思想方法M. 湖北：龙门书局，2006：1015.11张奠宙，张广祥. 中学代数研究M. 北京：高等教育出版社，2007：1376.12许青林.中学数学化归思想及其应用J.吕梁高等专科学校学报，2007，23（1）：6163.13何国霞.数学思想在函数教学中凸现J.河北理科教学研究，2008，35（2）：68.4