332简单的线性规划问题1

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1、551ABCOxy3.3.1 3.3.1 二元一次不等式（组）与平二元一次不等式（组）与平面区域面区域在平面直角坐标系中，直线在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0 x+y-1=0将平面分成几部分呢？将平面分成几部分呢？不等式不等式x+y-1x+y-10 0对应平面内哪部分的点呢？对应平面内哪部分的点呢？0 xy11x+y-1=0问题问题右上方点右上方点左下方点左下方点区域内的点区域内的点x+y-1x+y-1值值的正负的正负代入点的坐标代入点的坐标（1,1）（2,0）（0,0）（2,1）（-1,1）（-1,0）（-1,-1）（2,2）直线上的点的坐标满足直线上的点的坐标满足x+y-1=0 x+

2、y-1=0，那么直线两侧的点的，那么直线两侧的点的坐标代入坐标代入x+y-1x+y-1中，也等于中，也等于0 0吗吗?先完成下表，再观察有先完成下表，再观察有何规律呢？何规律呢？探索规律探索规律0 xy11x+y-1=0、同侧同号，异侧异号、同侧同号，异侧异号正正负负1 1、点集、点集(x,y)|x+y-10(x,y)|x+y-10 表示直线表示直线x x+y y1=01=0 右上方右上方的平面区域；的平面区域；2 2、点集、点集(x,y)|x+y-10(x,y)|x+y-1 0 0表示直线表示直线A Ax x+B+By y+C=0+C=0某一侧某一侧所有点组成的所有点组成的平面区域，我们把直

3、线画成平面区域，我们把直线画成虚线虚线,以表示区域以表示区域不包含不包含边界边界;不等式不等式 A Ax x+B+By y+C+C0 0表示的平面区域表示的平面区域包括包括边界，边界，把边界画成把边界画成实线。实线。1、由于直线同侧的点的坐标代入由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+CAx+By+C中，所得中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入特殊点代入Ax+By+CAx+By+C中，从所得结果的中，从所得结果的正负正负即可即可判断判断Ax+By+C0Ax+By+C0表示哪一侧的区域。表示哪一侧的区域。2、方法总结：方法总结：画二

4、元一次不等式表示的平面区域的步骤：画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：1 1、线定界（注意边界的虚实）、线定界（注意边界的虚实）2 2、点定域（代入特殊点验证）、点定域（代入特殊点验证）特别地，当特别地，当C0C0时常把原点作为特殊点。时常把原点作为特殊点。x+4y4x+4y4x-y-40 x-y-40 x-y-40 x-y-40典例精析典例精析题型一：画二元一次不等式表示的区域题型一：画二元一次不等式表示的区域例例1 1、画出、画出 x+4y4 x+4y4 表示的平面区域表示的平面区域x+4y=4x+4y=4x+4y4x+4y4x+4y4（2 2）x-y-40 x-y-40 x-y-40o

5、 ox xy yx-y-4=0 x-y-4=0例例2 2、画出不等式组表示的平面区域。、画出不等式组表示的平面区域。题型二：画二元一次不等式组表示的区域题型二：画二元一次不等式组表示的区域由于所求平面区域的点的坐由于所求平面区域的点的坐标需同时满足两个不等式，标需同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示因此二元一次不等式组表示的区域是各个不等式表示的的区域是各个不等式表示的区域的区域的交集交集，即，即公共部分公共部分。分析分析：画二元一次不等式组表画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：示的平面区域的步骤：2.2.点定域点定域3.3.交定区交定区1.1.线定界线定界x-y+5x-y+50

6、0 x+yx+y0 0 x x3 3x xo oy y4 4-5 55 5x-y+5=0 x-y+5=0 x+y=0 x+y=0 x=3 x=3 观察观察y y的系数与不等式的符号的系数与不等式的符号若若B B的符号与不等式符号的符号与不等式符号相同相同，则表示直线，则表示直线上方上方区域；区域；若若B B的符号与不等式符号的符号与不等式符号相异相异，则表示直线，则表示直线下方下方区域区域.口诀口诀：同为上，异为下、同为上，异为下、跟踪练习跟踪练习如图如图,表示满足不等式表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)(x-y)(x+2y-2)0 0的点的点(x,y)(x,y)所在区域应为：所在区域应

7、为：()()By12O(C)y12O(D)y12O(A)y12O(B)(0,1)(-4,-1)(2,-1)xy题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例例3、写出表示下面区域、写出表示下面区域的二元一次不等式组的二元一次不等式组解析：边界直线方程为解析：边界直线方程为 x+y-1=0 x+y-1=0 代入原点（代入原点（0 0，0)0)得得0+0-10+0-10 0 即所求不等式为即所求不等式为 x+y-10 x+y-10典例精析典例精析题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例例3 3、写出表示下

8、面区域的二元一次不等式、写出表示下面区域的二元一次不等式x xy y-2-2o o1 11 1-1-1x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1绿色区域绿色区域蓝色区域蓝色区域x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1x+y-10 x+y-10 x+y-10 x+y-10紫色区域紫色区域黄色区域黄色区域根据平面区域写出二元一次根据平面区域写出二元一次不等式（组）的不等式（组）的步骤：步骤：方法总结方法总结求边界直线的方程求边界直线的方程代入区域内的点定号代入区域内的点定号写出不等式（组）写出不等式（组）题型四：综合应用题型四：综合应用解析：解析：由于在异侧，则（由于在异侧，则（1 1，2 2）

9、和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值所得数值异号异号，则有（则有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m）0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2)0(m+2)0即：即：-2m-1-2m-1试确定试确定m m的范围，使点（的范围，使点（1 1，2 2）和）和（1 1，1 1）在）在3x-y+m=03x-y+m=0的的异侧异侧。例例4 4、变式变式:若在若在同侧同侧，m m的范围又是什么呢？的范围又是什么呢？解析解析：由于在同侧，则（由于在同侧，则（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值所得数值同号同号，

10、则有（则有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m）0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2)(m+2)0 0即：即：m-2m-2或或m m-1-1题型四：综合应用题型四：综合应用求二元一次不等式组求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积所表示的平面区域的面积例例5 5、x-y+50 y2 0 x22 2x xo oy y-5-55 5D DC CB BA Ax-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2y=2y=22 2如图，平面区域为直角梯形如图，平面区域为直角梯形,易得易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)

11、所以所以AD=3,AB=2,BC=5AD=3,AB=2,BC=5故所求区域的面积为故所求区域的面积为S=S=解析：解析：825321题型四：综合应用题型四：综合应用若二元一次不等式组若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，所表示的平面区域是一个三角形，求求a a的取值范围的取值范围变式：变式：x-y+50 ya 0 x2变式训练变式训练题型四：综合应用题型四：综合应用若二元一次不等式组若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，所表示的平面区域是一个三角形，求求a a的取值范围的取值范围变式：变式：x-y+50 ya 0 x22 2x xo oy y5 5D DC Cx-y+5=0

12、 x-y+5=0 x=2x=2-5-5y=y=ay=y=ay=y=ay=y=5y=y=77 7数形结合思想数形结合思想答案答案:5a5a 7 7课堂课堂小结：小结：2、画二元一次不等式（组）所表示平面区域的步骤：画线画线、定侧定侧、取取“交交”1、二元一次不等式(组)表示平面区域：一、主要知识点二、思想方法：数形结合 1、求由不等式组 所表示的区域面积.223yxyxx 作业作业2、如何确定m的取值范围，使点（1,2）和点（1,1）在直线 y-3x-m=0 的两侧？3、如图，求PQR内任一点(x,y)所满足的关系式.yxoR(3,5)P(1,2)Q(-3,4)某工厂用某工厂用A A、B B两种

13、配件生产甲、乙两种产品两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件每生产一件甲产品使用甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1h,1h,每生产一件乙产品使用每生产一件乙产品使用4 4个个B B配配件耗时件耗时2h,2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配配件件,按每天工作按每天工作8 8小时计算小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么该厂所有可能的日生产安排是什么?把有关数据列表表示如下把有关数据列表表示如下:821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品

14、 (1件件)资资 源源消消 耗耗 量量产品产品设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件.oxy246824280 xy4x 3y 28,416,412,0,0.xyxyxy 设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件,由己知由己知条件可得二元一次不等式组：条件可得二元一次不等式组：oxy24682428,416,412,0,0.xyxyxy 设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件,由己知由己知条件可得二元一次不等式组：条件可得二元一次不等式组：280 xy4x 3y oxy246824280 xy4x 3y 若生产一

15、件甲产品获利若生产一件甲产品获利2 2万元万元,生产一件乙产品生产一件乙产品获利获利3 3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?设生产甲产品设生产甲产品 件，乙产品件，乙产品 件时，工厂获得件时，工厂获得的利润为的利润为 ，则，则 .xyz23zxy230 xy MABN线性约线性约束条件束条件线性目线性目标函数标函数28,416,412,0,0.xyxyxy 23zxy 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为统称为线性规划问题线性规划问题.不等组（不等组（1 1）是一组对变量）是一组对变量 的约束条件

16、，这组约束条的约束条件，这组约束条件都是关于件都是关于 的一次不等式，的一次不等式，所以又称为所以又称为线性约束条件线性约束条件.、x y、x y 函数函数 称为目标函称为目标函数数,又因这里的又因这里的 是是关于变量关于变量 的一次解析式的一次解析式,所以又称为所以又称为线性目标函数线性目标函数.23zxy 23zxy 、x y可行域可行域可行解可行解最优解最优解oxy246824280 xy4x 3y 230 xy M 由所有可行解组由所有可行解组成的集合叫做成的集合叫做可行域可行域.使目标函数取得使目标函数取得最大值或最小值的可最大值或最小值的可行解叫做线性规划问行解叫做线性规划问题的题

17、的最优解最优解.满足线性约束条满足线性约束条件的解件的解 叫做叫做可行解可行解.(,)x y280 xy4x 3y Moxy246824N28,41 6,41 2,0,0.xyxyxy 在线性约束条件在线性约束条件 下，下，求（求（1 1）目标函数）目标函数 的最大值；的最大值；（2 2）目标函数）目标函数 的最大值和最小值的最大值和最小值.2zxy zxy 20 xy 0 xy AB解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（2 2）移移：在线性目标函数所表示的一组平行：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法线中，利用平移的方法找找出与可行域有公共出与可行域有公共点点且纵且纵截

18、距最大或最小的直线；截距最大或最小的直线；（3 3）求求：通过通过解方程组求出最优解；解方程组求出最优解；（4 4）答答：作出答案。：作出答案。（1 1）画画：画出线性约束条件所表示的：画出线性约束条件所表示的可行域可行域；求求z=2x-yz=2x-y最大值与最小值最大值与最小值 。设设x,y满足约束条件：满足约束条件：作可行域（如图）因此z在A（2，-1）处取得最大值，即Zmax=22+1=5；在B（-1，-1）处取得最小值，即Zmin=2（-1）-（-1）=-1。由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动直线y=2x，若直线截距-z取得最大值，则z取得最小值；截距-z取得最小值，则z取得最

19、大值.综上,z最大值为5；z最小值为-1.举一反三举一反三x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y=0 x+y=1(-1,-1)xy011ABC（2，-1）y=2x 求求z=-x-yz=-x-y最大值与最小值最大值与最小值 。设设x,y满足约束条件：满足约束条件：作可行域（如图）因此z在B（-1，-1）处截距-z取得最小值，z取得最大值即Zmax=2；在边界AC处取得截距-z最大值，z取得最小值即Zmin=-2-（-1）=-1。由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动直线y=-x，若直线截距-z取得最大值，则z取得最小值；截距-z取得最小值，则z取得最大值.变式演练变式演练x-y0

20、 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y=0 x+y=1(-1,-1)xy011ABC（2，-1）y=-xx-2y7043120230u=z1t3xyxyyx22例1已知x,y满足现行约束条件求（1）4x-3y的最大值与最小值。（2）=(x+3)+(y+1)的最大值和最小值。（3）=的最值。P(-3,-1)4x-3y-12=0 x+2y-3=0X-2y+7=04x-3y-12=0 x+2y-3=0X-2y+7=0P(-3,-1)x+2y-3=0X-2y+7=04x-3y-12=0P(-3,-1)Q(x,y)13ytxminPBtkmaxPAtkn目标函数的几何意义byaxz .1OBOAz

21、.3byaxz .2FEyDxyxz 22 .6FEyDxyxz 22 .5倍倍表示纵截距的表示纵截距的直线型，直线型，bz点到直线距离型点到直线距离型转化为坐标形式或投影转化为坐标形式或投影两点间距离型两点间距离型)(距离平方距离平方圆型圆型axbyz .4斜率型斜率型名称名称意义意义约束条件约束条件由变量由变量x,y 组成的不等式组组成的不等式组线性约束条件线性约束条件由由x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数目标函数关于关于x,y的函数解析式，如的函数解析式，如z=2x+3y等等线性目标函数线性目标函数关于关于x,y的一次解析式的一次解析式

22、可行解可行解满足线性约束条件的解（满足线性约束条件的解（x,y)可行域可行域所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合最优解最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题最小值问题一、主要知识点二、思想方法：数形结合课堂课堂小结：小结：作业作业1求求z2xy的最大值与最小值，使的最大值与最小值，使x、y满足约束条件：满足约束条件：11yyxxy2、设设 x，y 满足条件满足条件 xy50，xy0，x3.求求 vyx5的最大值与最小值的最大值与最小值.2510(2)；42)1(22的最小值求的最大值求yyxyx0520402yxyxyx3、设x、y满足