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1、习 题 四 1一种袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以分别表达第一次，第二次取出的球上的标号，求的分布列.解 的分布列为YX其中 余者类推。 2将一枚硬币连掷三次，以表达在三次中浮现正面的次数，以表达三次中浮现正面次数与浮现背面次数之差的绝对值，试写出的分布列及边沿分布列。 解 一枚硬币连掷三次相称于三重贝努里实验，故 ，于是的分布列和边沿分布为YX 其中 ， ， 余者类推。 3设的概率密度为 又（1）；（2）。求xx+y=3422y 解 （1） ； （2） . 4设的概率密度为 求（1）系数；（2）落在圆内的概率. 解 （1）
2、， . （2）设，所求概率为 . 5已知随机变量和的联合概率密度为 求和的联合分布函数. 解1 设的分布函数为，则 解2 由联合密度可见，独立，边沿密度分别为 边沿分布函数分别为，则 设的分布函数为，则yx10D 6设二维随机变量在区域，内服从均匀分布，求边沿概率密度。 解 的概率密度为 有关和的密度为 x+y=11yx0x=y 7设的概率密度为 求边沿密度和概率 解 . 8一电子仪器由两个部件构成，以和分别表达两个部件的寿命（单位：千小时）已知的联合分布函数为： （1）问与否独立？为什么？ （2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 （1）先求边沿分布函数： 由于，因此独立. （2）
3、 . 9设的概率密度为 间与否独立？ 解 边沿密度为 由于 ，因此独立. 10设的概率密度为y=x1yx0 问与否独立. 解 边沿密度 yx0由于，因此不独立。 11设的概率密度为 试证明与不独立，但与是互相独立的。 证 先求的联合分布函数 有关的边沿分布函数为有关的边沿分布函数为 由于，因此不独立. 再证与独立：设的联合分布函数为，则 有关的边沿分布函数分别为 由于，因此与独立. 证2 运用随机向量的变换（参见王梓坤概率基本及其应用83页） 设 . 函数的反函数为的反函数为 ，；于是的概率密度函数为 有关的边沿密度为 有关的边沿密度为由于，因此独立. 12设随机变量与互相独立，下表列出了二维
4、随机变量的联合分布律及有关和有关的边沿分布律中的部分数值，试将其他值填入表中空白处. 1 解 设由联合分布和边沿分布的关系知 由独立性 ，即 ，故， ， ， 因此 ， 因此的分布为 1 13已知随机变量和的概率分布为 ， 并且 （1）求和的联合分布； （2）问和与否独立？为什么？ 解 （1）知，再由联合分布和边沿分布的关系知的分布为 1 （2）因，因此不独立. 14设随机变量互相独立，且都服从上的均匀分布，求方程有实根的概率. 解 设方程有实根，则 发生yxbb即 ， .yx当时，图形如下： 15已知随机变量和的联合分布为 试求：（1）的概率分布；（2）的概率分布 解 （1）的分布为 （2）的
5、分布为 16设与为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为，求的分布列. 解 设，的分布为 17设是互相独立的随机变量，它们都服从参数为的二项分布，证明服从参数为的二项分布. 证 故服从参数为的二项分布. 注：此处用到一种组合公式： 此公式的对的性可直观地阐明如下：从个不同的元素中取个共有种不同的取法。从另一种角度看，把个元素分布两部分，一部分有个，另一部分有个，从第一部分中取个再配上从第二部分中取个，不同的取法共，让从变到，总的取法是，这两种取法应相等. 18设互相独立，其概率密度分别为 求的概率密度. 解1 设，由卷积分式，的概率密度为 10zyD不等式拟定平面域如图. 当 时， 当 时
6、， 当 时，综上所述 解2 变量代换法： ，注意到当时=1，有 因 因此，当 时， 当 时， 当 时，.综上所述 解3 分布函数法：设的分布函数为，则yx+y=110xx+y=0 的概率密度为L2L1LXY 19设部件的寿命，的寿命，按下图联构导致系统，即当部件损坏时，部件立即开始工作，求系统的寿命的概率密度. 解 的密度为 的密度为 设的密度为，则 ozyx 当 时， 当 时， , 当 时 综相所述的密度为 . . 20设的概率密度为 求的概率密度. 解1 运用的密度公式：，获得 其中oyzyy 不等式拟定平面域如图 当 或 时 ， 当 时， 即 解2 设的分布函数为，密度为，则 xyx-y
7、=0x-y=zx-y=1 于是 21设随机变量的概率密度为 ，求 的概率密度. 解 设的分布函数为，则 故 ， 故 22设随机变量与独立，试求的概率密度 解1 由卷积公式 其中 不等式拟定平面区域：xy0 当时 解2 用变量代换： .由于因此当时 . 23设随机变量的概率密度为 求的分布函数.x+2y=z z00xyx+2y=0 解 24设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的概率密度. 解1 设矩形的面积为，则，又设的分布函数为，则 其中 oSxy=S, 0S2xy 于是 10Syx2 解2 运用乘积的密度公式 当 或时当 时综上所述 25设和为两个随机变量，且求 解 2
8、6设是互相独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为，又设，试写出二维随机变量的分布律及边沿分布列并求 解 的也许值为1,2,3，的也许值为1,2,3. 依此类推可求出的分布列及边沿分布列如下： 1231231 . 27假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态互相独立，且无端障工作时间都服从参数为的指数分布. 当三个元件都无端障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布. 解 设的分布函数为，第件元件的寿命为，其分布函数为. 则 即 28设随机变量独立同分布：，. 求行列式 的概率分布 解1 的也许值为. 同理可求出，即的分布为 解2 先求出及的分布 ， 即的分布列为 29在习题7中求条件概率密度 解 因此 30设有关的条件概率密度为 而的密度为 求 解 的概率密度为11/2yxx
概率论与数理统计 许承德习题四答案
