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1、第五讲：函数与方程【例题精讲】【例1】函数在内零点的情况是 对实数和，定义运算“”：设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是已知函数若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ； 若函数的值域为，则实数的取值范围.为 .方程有两个根,且一个大于1,一个小于1, 则实数 的取值范围为 .(5)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则【例2】已知二次函数, 若函数在区间上存在零点, 求实数的取值范围; 问是否存在常数,当时,的值域为,且区间的长度为12.【例3】已知函数 ,若函数的定义域和值域均为,求实数的值.若函数在
2、区间上是减函数,且对任意总有, 求实数的取值范围.【例4】函数为奇函数，且若在上的最小值为，求的值【课堂演练】1若方程的唯一解为，且，则 2已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x与f(x)有如下的对应值表：x123456f(x)-2.33.40-1.3-3.43.4则函数f(x)在区间1，6上的零点至少有 个3已知函数f(x) = mx2+(m-3)x+1至少有一个值为正的零点，则实数m的取值范围是 4函数的零点个数为 5若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 6已知函数若在区间上是减函数，则实数的取值范围是 7已知二次函数若，试判断的零点个数；若对且，证明：，使成立8已知函数，其中
3、常数满足若，判断函数的单调性；若，求时的的取值范围第五讲：函数与方程【例1】函数在内零点的情况是 只有一个零点对实数和，定义运算“”：设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是解：由题意得，即在同一坐标系内画出函数与的图象，结合图象可知，当时两个函数的图象有两个公共点，从而方程有两个不同的根，即与轴有两个不同交点已知函数若函数的定义域为，求实数的取值范围若函数的值域为，求实数的取值范围.；方程有两个根,且一个大于1,一个小于1, 求实数 的取值范围.(5)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则4-8提示：因为
4、定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以【例2】已知二次函数, 若函数在区间上存在零点, 求实数的取值范围; 问是否存在常数,当时,的值域为,且区间的长度为12.解：函数的对称轴是，在区间上是减函数函数在区间上存在零点，则必有：即假设存在常数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，且对称轴是当时，在区间上，最大，最小，-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)
5、=m (m0) ，即，解得；当是，在区间上，最大，最小，解得；当时，在区间上，最大，最小，即，解得或综上所述，存在常数，满足条件【例3】已知函数 ,若函数的定义域和值域均为,求实数的值.若函数在区间上是减函数,且对任意总有, 求实数的取值范围.解：在上是减函数又定义域和值域均为，函数在区间上是减函数，又，且，在区间上，对任意总有，【例4】函数为奇函数，且若在上的最小值为，求的值解：由是奇函数，得，由得，设，则，对称轴当时，此时时，取得最小值当时在上无最小值综上所述，【课堂演练】1若方程的唯一解为，且，则2已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x与f(x)有如下的对应值表：x123456f(x)
6、-2.33.40-1.3-3.43.4则函数f(x)在区间1，6上的零点至少有 个3若一次函数有一个零点，则的零点是已知函数f(x) = mx2+(m-3)x+1至少有一个值为正的零点，试求实数m的取值范围解：当m=0时，由f(x)=0可得0，满足题意；当m0时，f(x)的图象开口向上，且f(0) = 1，故必有两根均在原点的右侧，从而0，且0，解得0m1；当m0时，图象开口向下，且f(0) = 1，故显然均满足题意综上所述，所求m的取值范围为m13（为常数），若存在，使得，则实数的取值范围是 4函数的零点个数为5若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是6已知函数若在区间上是减函数，则实数的取值范围是7已知二次函数若，试判断的零点个数；若对且，证明：，使成立解：当时，有一个零点当时，有两个零点令，则，在内必有一实根，即，使成立8已知函数，其中常数满足若，判断函数的单调性；若，求时的的取值范围解：当，时，单调递增当，时，单调递减当，时，解得；当，时，解得
第五讲：函数与方程
