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1、响应曲面设计方法响应曲面设计方法(Response Surface Methodology，RSM)是利用是利用合理的试验设计方法合理的试验设计方法并通过实验得到一定数据，采用并通过实验得到一定数据，采用多元二次回归多元二次回归方程方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来方程的分析来寻求最优工艺参数寻求最优工艺参数，解决多变量问题，解决多变量问题的一种统计方法。的一种统计方法。什么是什么是RSMRSM？1 1 概述概述确信或怀疑因素对指标存在非线性影响；确信或怀疑因素对指标存在非线性影响；因素个数因素个数2-72-7个，一般不超过
2、个，一般不超过4 4个；个；所有因素均为计量值数据；所有因素均为计量值数据；试验区域已接近最优区域；试验区域已接近最优区域；基于基于2 2水平的全因子正交试验。水平的全因子正交试验。适用范围适用范围中心复合试验设计中心复合试验设计(central composite design(central composite design，CCD)CCD)；Box-BehnkenBox-Behnken试验设计；试验设计；方法分类方法分类1.确定因素及水平，注意水平数为2，因素数一般不超过4个，因素均为计量数据；2.创建“中心复合”或“Box-Behnken”设计；3.确定试验运行顺序(Display D
3、esign)；4.进行试验并收集数据；5.分析试验数据；6.优化因素的设置水平。一般步骤一般步骤 立方点立方点 轴向点轴向点 中心点中心点 区组区组 序贯试验序贯试验 旋转性旋转性基本概念基本概念2 2 中心复合试验设计中心复合试验设计 立方点立方点(cube point)(cube point)立方点，也称立方体点、角点，即2水平对应的“-1”和“+1”点。各点坐标皆为+1或-1。在k个因素的情况下，共有2k个立方点 轴向点轴向点(axial point)(axial point)轴向点，又称始点、星号点，分布在轴向上。除一个坐标为+或-外，其余坐标皆为0。在k个因素的情况下，共有2k个轴向
4、点。中心点中心点(center point)(center point)中心点，亦即设计中心，表示在图上，坐标皆为0。三因素下的立方点、轴向点和中心点三因素下的立方点、轴向点和中心点 区组区组(block)(block)也叫块。设计包含正交模块，正交模块可以允许独立评估模型中的各项及模块影响，并使误差最小化。但由于把区组也作为一个因素来安排，增加了分析的复杂程度。序贯试验（顺序试验）序贯试验（顺序试验）先后分几段完成试验，前次试验设计的点上做过的试验结果，在后续的试验设计中继续有用。旋转性旋转性(rotatable(rotatable)设计旋转设计具有在设计中心等距点上预测方差恒定的性质，这改
5、善了预测精度。的选取的选取在的选取上可以有多种出发点，旋转性是个很有意义的考虑。在k个因素的情况下，应取=2 k/4当k=2，=1.414；当k=3，=1.682；当k=4，=2.000；当k=5，=2.378按上述公式选定的值来安排中心复合试验设计(CCD)是最典型的情形，它可以实现试验的序贯性，这种CCD设计特称中心复合序贯设计(central composite circumscribed design,CCC)，它是CCD中最常用的一种。如果要求进行如果要求进行CCDCCD设计，但又希望试验水平安排不设计，但又希望试验水平安排不超过立方体边界，可以将轴向点设置为超过立方体边界，可以将轴
6、向点设置为+1+1及及-1-1，则，则计算机会自动将原计算机会自动将原CCDCCD缩小到整个立方体内，这种缩小到整个立方体内，这种设计也称为设计也称为中心复合有界设计中心复合有界设计(central composite(central composite inscribed design,CCI)inscribed design,CCI)。这种设计失去了序贯性，前一次在立方点上已经做这种设计失去了序贯性，前一次在立方点上已经做过的试验结果，在后续的过的试验结果，在后续的CCICCI设计中不能继续使用。设计中不能继续使用。对于值选取的另一个出发点也是有意义的，就是取=1，这意味着将轴向点设在立方
7、体的表面上，同时不改变原来立方体点的设置，这样的设计称为中心复合表面设计(central composite face-centered design,CCF)。这样做，每个因素的取值水平只有3个(-1,0,1)，而一般的CCD设计，因素的水平是5个(-,-1,0,1,),这在更换水平较困难的情况下是有意义的。这种设计失去了旋转性。但保留了序贯性，即前一次在一次在立方点上已经做过的试验结立方点上已经做过的试验结果，在后续的果，在后续的CCFCCF设计中可设计中可以继续使用以继续使用，可以在二阶回归中采用。中心点的个数选择中心点的个数选择在满足旋转性的前提下，如果适当选择Nc，则可以使整个试验区
8、域内的预测值都有一致均匀精度(uniform precision)。见下表：n但有时认为，这样做的试验次数多，代价太大，Nc其实取2以上也可以；如果中心点的选取主要是为了估计试验误差，Nc取4以上也够了。n总之，当时间和资源条件都允许时，应尽可能按推荐的Nc个数去安排试验，设计结果和推测出的最佳点都比较可信。实在需要减少试验次数时，中心点至少也要2-5次。6.2.3 Box-Behnken6.2.3 Box-Behnken试验设计试验设计将各试验点取在立方体棱的中点上 在因素相同时，比中心复合设计的试在因素相同时，比中心复合设计的试验次数少；验次数少；没有将所有试验因素同时安排为高水平没有将所
9、有试验因素同时安排为高水平的试验组合，对某些有安全要求或特别需的试验组合，对某些有安全要求或特别需求的试验尤为适用；求的试验尤为适用；具有近似旋转性，没有序贯性。具有近似旋转性，没有序贯性。特点特点1.1.拟合选定模型；拟合选定模型；2.2.分析模型的有效性：分析模型的有效性：P P值、值、R R2 2及及R R2 2(adj)(adj)、s s值、值、失拟分析、残差图等；失拟分析、残差图等；3.3.如果模型需要改进，重复如果模型需要改进，重复1-31-3步；步；4.4.对选定模型分析解释：等高线图、曲面图；对选定模型分析解释：等高线图、曲面图；5.5.求解最佳点的因素水平及最佳值；求解最佳点
10、的因素水平及最佳值；6.6.进行验证试验。进行验证试验。6.2.4 6.2.4 分析响应曲面设计的一般分析响应曲面设计的一般步骤步骤6.2.5 6.2.5 用用MINITABMINITAB实现响应曲面实现响应曲面设计设计全因子中心复合试验（无区组）1/2实施中心复合试验（无区组）试验因素数试验总次数工作表数据是编码值输入高低水平的实际值选入A、B、C三个因素选择编码值选择线性回归Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 3 7.789 7.789 2.5962 1.08 0.387 Linear 3 7.789 7.789 2.5962 1.08
11、 0.387Residual Error 16 38.597 38.597 2.4123 Lack-of-Fit 11 36.057 36.057 3.2779 6.45 0.026 Pure Error 5 2.540 2.540 0.5079 Total 19 46.385S=1.553 R-Sq=16.8%R-Sq(adj)=1.2%输出结果：线性回归方差分析表输出结果：线性回归方差分析表此值很小说明线性回归效果不好此值小于0.05时表示线性回归模型不正确此值大于0.05时表示回归的效果不显著Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 9 3
12、6.465 36.465 4.0517 4.08 0.019 Linear 3 7.789 7.789 2.5962 2.62 0.109 Square 3 13.386 13.386 4.4619 4.50 0.030 Interaction 3 15.291 15.291 5.0970 5.14 0.021Residual Error 10 9.920 9.920 0.9920 Lack-of-Fit 5 7.380 7.380 1.4760 2.91 0.133 Pure Error 5 2.540 2.540 0.5079 Total 19 46.385S=0.9960 R-Sq=78
13、.6%R-Sq(adj)=59.4%此值较大，说明二次多项式回归效果比较好。此值大于0.05，表示二次多项式回归模型正确。此值小于0.05的项显著有效，回归的整体、二次项和交叉乘积项都显著有效，但是一次项的效果不显著。输出结果：二次多项式回归方差分析表输出结果：二次多项式回归方差分析表Term Coef(coded)SE Coef T P Coef(uncoded)Constant 10.4623 0.4062 25.756 0.000 12.4512A -0.5738 0.2695 -2.129 0.059 0.9626B 0.1834 0.2695 0.680 0.512 -2.2841C
14、 0.4555 0.2695 1.690 0.122 -1.4794A*A -0.6764 0.2624 -2.578 0.027 -0.2676B*B 0.5628 0.2624 2.145 0.058 1.1164C*C -0.2734 0.2624 -1.042 0.322 -0.2388A*B -0.6775 0.3521 -1.924 0.083 -0.6001A*C 1.1825 0.3521 3.358 0.007 0.6951B*C 0.2325 0.3521 0.660 0.524 0.3060输出结果：二次多项式回归系数及显著性检验输出结果：二次多项式回归系数及显著性检验对
15、因素实际值的回归系数P值大的项不显著对编码值的回归系数Term Coef(coded)SE Coef T P Coef(uncoded)Constant 10.2386 0.3379 30.303 0.000 12.6189A -0.5738 0.2641 -2.173 0.051 0.8848B 0.1834 0.2641 0.694 0.501 -1.7352C 0.4555 0.2641 1.725 0.110 -2.0904A*A -0.6493 0.2558 -2.538 0.026 -0.2568B*B 0.5899 0.2558 2.306 0.040 1.1702A*B -0.
16、6775 0.3450 -1.964 0.073 -0.6001A*C 1.1825 0.3450 3.427 0.005 0.6951输出结果：剔除输出结果：剔除C C和和B C后二次多项式回归系数及显著后二次多项式回归系数及显著性检验性检验这两个二次项回归系数有很小的改变，这是由于旋转设计只具有近似正交性目标是最大值下限设为10目标值设为20因子最优水平值最优预测值 在研究大豆产量在研究大豆产量Y Y的试验中，考虑氮肥的试验中，考虑氮肥A A、磷肥、磷肥B B、钾肥钾肥C C这三种肥料的施肥量。每个因素取两个基本水平，这三种肥料的施肥量。每个因素取两个基本水平，采用中心复合试验，其中：采用
17、中心复合试验，其中：氮肥的编码值-1和+1对应的实际值是2.03和5.21;磷肥的编码值-1和+1对应的实际值是1.07和2.49;钾肥的编码值-1和+1对应的实际值是1.35和3.49;例例6.2-1 6.2-1 大豆施肥量最优化设计大豆施肥量最优化设计大豆产量试验设计与结果表大豆产量试验设计与结果表在响应曲面设计中，选择优化设计可以达到以下在响应曲面设计中，选择优化设计可以达到以下功能：功能：在现有设计点中选择一组在现有设计点中选择一组“优化优化”的设计点；的设计点；向现有设计增加设计点；向现有设计增加设计点；评估和比较设计方案；评估和比较设计方案；改善现有设计的预测期望值改善现有设计的预测期望值。6.2.5 6.2.5 选择优化设计选择优化设计(Select(Select Optimal Design)Optimal Design)
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