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1、_高一数学函数的零点与二分法人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的零点与二分法二. 学习目标1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。三. 知识要点1、函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点。归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。说明：（
2、1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零；（2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点存在性的判定方法对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个也就是方程的根。说明：
3、（1）函数在区间上有定义；（2）函数的图象是连续不断的一条曲线； （3）函数在区间两端点的函数值必须满足； （4）函数在区间内有零点，但不唯一； （5）用判定方法验证函数，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。4、函数零点的求法：可以解方程而得到（代数法）；：可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点（几何法）5、二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表。判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点6、二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（变号零点），函数值变号。相邻两个零点之间的
4、所有的函数值保持同号。引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。7、二次函数的零点的应用利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。注：二次函数的零点的应用可推广到一般函数。8、用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中。第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 。计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 。计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如
5、果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。【典型例题】例1. 利用二分法求方程的一个近似解（精确到0.1）。解：设，则求方程的一个近似解，即求函数的一个近似零点。，取区间作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间区间的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6，函数满足题设的一个近似零点是2.6故方程满足题设的一个近似解是2.6评析：利用二分法可以求方程（两曲线交点横坐
6、标）的近似解。利用二分法求函数的变号零点时，只需按照方法步骤机械地重复计算。直至求出满足题设要求的一个近似零点为止。例2. 二次函数的部分对应值如下表：3210123460466406则使函数值大于0的自变量的取值集合是_。解：由上表提供信息，知函数的零点是2，3，且开口向上，借助二次函数示意图可得函数值大于0的自变量的取值集合是评析：分析图表，得到函数零点，开口方向是解题关键。例3、已知函数的一个零点为1（1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量的取值范围。解：（1）由题意，设，解得令，即，解得1，2，3函数的其他零点是2，3（2）函数的三个零点将轴分成4个区间：，作出函数的示意图
7、，观察图象得函数值大于0时自变量的取值范围是：评析：（1）函数的零点就是方程的实数根，方程有几个实数根函数就有几个零点，方程没有实数根，函数就没有零点；（2）借助函数零点作出函数的示意图，借助图象可求出函数值大于或小于零时自变量的取值范围（即不等式或的解集）。例4. 若二次函数的图象与两端点为的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围。解：线段AB的方程是由题意，得方程组 在上有两组实数解解得：在上有两个实根令，则二次函数在上有两个零点。 解得故实数的取值范围是本讲涉及的主要数学思想方法1. 在对二次函数的零点与方程的根的关系的研究过程中，体会由特殊到一般的思维方法。2. 通过由零点的性质
8、作函数图象的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思想方法。3. 体验求函数零点的近似解的常用方法二分法求函数零点近似解的过程，初步体会数形结合、逼近、近似算法等重要数学思想方法，提高学习数学知识的综合应用能力。【模拟试题】一、选择题1、方程lgxx0的根所在的区间是（ ）A. （，0） B. （0，1） C. （1，2） D, （2，4）2、若函数的零点是2，则函数的零点是（ ）A. 0，2 B. 0， C. 0， D. 2，3、已知偶函数f（x）的图象与x轴共有四个交点，则函数f（x）的所有零点之和等于（ ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 0*4、若函数的一个正数零点附近的函数
9、值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）2f（1.5）0.625f（1.25）0.984f（1.375）0.260f（1.4375）0.162f（1.40625）0.054那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A. 1.4 B. 1.3 C. 1.2 D. 1.55、函数的零点为2，3，若2x3,则f（x）的值（ ）A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定正负*6、设函数则关于x的方程解的个数为（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题*7、若函数的两个零点是2和，则实数、的值为_。8、若方程ax2x10在（0，1）内有解，则实数a的取值范围是_。*9、若函数（x
10、）x2axb的两个零点是2和3，则函数g（x）bx2ax1的零点是_。三、解答题*10、已知二次函数（x）x2（m1）x2m在区间0,1上有且只有一个零点，求实数m的取值范围。11、求函数的零点。*12、已知函数f（x）,x1,（1）当a时，求函数f（x）的最小值。（2）若对任意x1,f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围。试题答案1、B2、C3、D4、A5、B6、C7、a2,b88、解：f（0）（1）0,则a2 9、10、解：2，011、解：，函数的零点为。12、（1）解：当a时，f（x）x2f（x）在区间1，上为增函数，f（x）在区间1，上的最小值为f（1）。（2）解法一：在区间1，上，f（x）0恒成立x22xa0恒成立。 设yx22xa,x1,yx22xa（x1）2a1递增，当x1时，ymin3a,当且仅当ymin3a0时，函数f（x）0恒成立，故a3。解法二：f（x）x2,x1,当a0时，函数f（x）的值恒为正；当a0时，函数f（x）递增，故当x1时，f（x）min3a,当且仅当f（x）min3a0时，函数f（x）0恒成立，故a3。6_
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