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1、第九章超静定系统9-1图示悬臂梁l750mm,EI30103N.m2。弹簧刚度k175103N/m。若梁与弹簧的间隙1.25mm，求力P450N作用时弹簧的受力。解：若按一般悬臂梁，则有作用点处挠度f土2.11mm1.25mm3EI可见梁在实际变形下触及弹簧。设弹簧的弹力为N，问题一次超静定；挠度设为p，则弹簧被压缩量为p,对梁而言pL（PN）；3EI对弹簧而言N=k（p-）l3N以上两式得(PN)，解得N3EIK82.7牛顿所以，弹簧受力为82.7牛顿。t时梁的最大弯矩。已知9-2E、图示悬臂梁的自由端刚好与光滑斜面接触，求温度升高I、A、a,且不计轴力对弯曲变形的影响。解：斜面光滑，贝UB
2、处（自由端）所受力为垂直于斜面向上，以Rb代替。问题一次超静定,协调条件为：垂直于斜面方向上的位移分量为0（沿Rb方向）升温时,cos45Rb作用下:M(x)M,dxEIPbNlEAN一一,NRbcos45RbRbI3r6EIRbI2EA（沿Rb向斜上方），t与r方向相反，则:解出Rb32EIA2-Al23It,则MmaxRbIcos459-3图示桁架中各杆的抗拉压刚度相同。试求桁架各杆的内力。解：假设1杆受拉力N。由于杆1实际上是连续的,因而切口处的相对位移应等于零。于是变形协调条件为：10。应用莫尔定理NiNi0liN1N1,N3N1,EAN3N40N10N3N40一36+(186,3)N
3、10,N3Ni3.3（拉力），N5M2PN6=3.3N2n43P3；3q=10kN/m|/|4m题9-3图题9-4图题9-5图9-4设刚架的抗弯刚度EI为常量。试求刚架A点和C点的约束反力,并画出刚架的弯矩图。解：问题一次超静定，解除C处支反力Rc（）则M分布为：M（为）RCx1(0x1a)2M(x2)RCa耍(02x2l)则C处向上的位移CM(x)M,dxEIRc2Ra弩EIadx2积分得ica3EIRca2lEI3qla6EI0,求得Rc3ql2a26al求得RaRc(),Ma3ql2(a3l)9L（逆时针向）29-5悬臂梁的自由端用一根拉杆加固。若杆横截面为直径d10mm的圆形，梁的截面
4、惯性矩I1130cm4,拉杆与梁的弹性模量都是E200GPa。试求拉杆的正应力。解：设拉杆轴力为N,原来的自由端的挠度为2fM(x)EIMNldx-0Nx%2EI.ql4xdx8EINl33EI刈拉杆IIIJ言flEA建立方程得：史8EINl33EINlEA，其中l4m,L5m,I1130cm4,A代入后解得N185MPa,N14.5kNA9-6多节链条的一环的受力情况如图所示，试求环内最大弯矩。P2题9-6图1-出来，C4Qb引起：BE段内，M()P一Rsin,EC段内：M2PR7112Rd0EIa110EIdx1(EEIa)解：分析C截面上的内力情况，因为外载对称，C处没有转角，可以取结构
5、的P处作固定约束处理，NB0,Qb,令MBX1,2则变形协调条件为：11X1ir0P-.“PRRsin12irn221Rda2A1/PRcdx(1R0EI0EIEI2PRa2)Ra代到正则方程中，求得xMbPRR2a则：BE段M()PRsin2MB;EC段M(x)PRMb显然，有MmaxMbmaxLbPR（D）试利用结构和载荷的对称性求圆环内A点的弯矩。9-7圆环受力如图所示。A题9-7图解：若以过A的直径为对称轴，载荷是对称的，则A截面上的反对称内力Qa0NaNb技P3对于AC段，由对称性可知C0，Mc0,Nc0，Qc则以固定端代替。以OA半径为起始边，则有Macos)M()虬ds1MaEI
6、EI：Ma或PR(13cos)1Rd得到：一（Ma3、31甘呻-pr0,ma(PR（方向如图）对于图示的ACB段，Qb同理也为零，由平衡条件可求出9-8封闭刚架受力如图。试求p力作用点处的相对位移，并画出刚架的弯矩图。0。取四分之一结构:0题9-8图解：以P的作用线作截面，是对称结构上加反对称荷载，有轴力为八P、，、，Qb,MbX1。B处转角为苓，正则方程为：11X11P2Mb引起：BC、CA段均为MbP_Qb引起:BC段，M(x)x1(0xa);CA段，Mg)a11；11al则：11dx1:dx20EI20EI1EI22EI1京。X2!)PPax二1dx1顷由1a1l1dx2一一0EI20E
7、I1EI24EI141P解出：XiMbip卡氏定理积分得11a2IiPa324EI2所以,AB2BPa312EI2E题9-9图9-9折杆横截面为圆形，直径d20mm,l1m,a0.2m。P650N,E=200GPa0.25。试求P力作用点的竖直位移。解：由结构及载荷的对称性可知,E处的扭矩为零，截面转角0,而Qe2Pl分析一半结构：ME是对y轴的。由图乘法或积分可得：E0解得ME（注意,34Pl1Pl有Ea/Gl）,则BE段B处专矩为MeE434各段内力已知，求得fE4.86mm（）9-10试求两端固定梁A、B端的约束反力（不计轴力）。(a)(b)9AMcC题9-10图,Mb解：（a）在AB段
8、中间处取截面C，对称性分析可知，Qc0，略去轴力的影响，令XiMc,有C。，则正则方程为：11X11PC11-112-1dx0EIl2EI1P1 22 1(qx0EI21)dxql348EI代入到正则方程中有X11P11ql224由静力平衡条件可解出:Ra当),Maql212EI(?)由对称性：Rb也（）,Mb2ql2(D)12EI（b）I可题是二次超静定的,去掉两端的转动约束解得:Ma1Mb1Pab(lb)3EI6EI0,6EIlMa1Mb1Pab(la)06EIlMaPab2Pprb。再由静平衡分析,_2-RaPbP()R_2-Pa(l2b)()9-11试求解图示的超静定刚架。El题9-11图左侧：12qx20EIdxa1(Q0EIJ_2lPx)dx21Ql3EI(24Ql2a4Pla24)同理求得12EI(安24Ql2a4Pla42-)()120,Q-6Pa2(方向问图示)解：从C处断开，是在对称结构上施加反对称载荷，故QX，两截面上相对位移l(l6a)进而由静力平衡条件可得0。Ya26Pa2l(l6a)(),XaP(),Ma3Pa(?)Yb6Pa2l(l6a)(),XbP(eH3!Pa(?)
材料力学第九章超静定系统
