第二章无限期界与世代交叠模型

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1、_第二章 无限期界与世代交叠模型A、拉姆齐（赛）卡斯库普曼模型1、假设：厂商大量相同厂商，生产函数是，是规模报酬不变，要素与产出市场是竞争性的，A是给定的，以速率g外生增长，且企业由家庭所有，企业产生的任何利润归于家庭。家庭大量相同家庭，家庭中人口的规模以n速率外生增长，将其拥有的资本租给厂商，初始资本为，其中，是经济中的资本的初始量，H是家庭数量。不存在折旧，每个时点上，家庭将其收入（劳动收入、资本所获得收入和从厂商处接受的利润）在消费与储蓄中分配，以最大化其终身效用。家庭的效用函数是：，其中是家庭每个成员的消费。是瞬时效用函数既定时刻家庭每个成员的效用，其形式是（它是著名的相对风险厌恶不变

2、的CRRA效用函数，该函数的相对风险厌恶系数（阿罗帕拉特风险厌恶测度值）为即独立于C，并能使经济收敛于平衡的增长路径。其二个特征：（1）如果，关于C是递减的；如果，则消费是递增的。给除以，是确保无论取什么值，消费的边际效用是正的。（2）在，瞬时效用函数可简化为）， ，是消费跨期替代弹性。是经济的总人口，是每个家庭的成员人数。是时刻家庭的总瞬时效用。是贴现率，其越大，表明相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小（更偏好于现期消费，少储蓄）。且（可确保终生效用不会发散，如果这个条件不成立，家庭可获得无限的终生效用，且难以得到其最大化问题的解）。2、家庭与厂商的行为：（1）厂商：边际产品，市场是竞争

3、的，资本获得其边际产品，以不存在折旧，资本的真实报酬率等于每单位时间的收入（利率），那么，真实利率为：，劳动的边际产品是，它等于。根据，它可写成，因此，在时刻，真实工资为：，每单位有效劳动的工资是：。（2）家庭的预算约束：代表性家庭把与的路径取做给定的。家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。考虑到可随时间而变化，将累加利息因子定义为。表示在0时刻投资一单位的产出品将在时刻获得数量为的物品。亦即，在时刻的一单位产出的价值用0时刻的产出表示为（表明在0, 时刻连续复利的效应）。家庭预算为：用家庭的资本持有量的极限行为来表示，即从到的积分形式作为一种极限：

4、（指时刻，家庭资本持有量）根据上式，可将预算约束简单写成：，表示家庭所持资产的现值不能是负的。著名的非蓬齐博弈条件。（3）家庭的最大化问题（每工人消费）家庭瞬时效用简化为：由于代入目标函数，得：家庭预算简化：家庭总消费家庭的总劳动收入：因（是家庭持有的，不是家庭成员持有的）非蓬齐条件表达式：由于构建拉格朗日函数：求关于的导数，即一阶条件：对上式取对数，得：两边求关于的导数，得：即表明每个工人的消费是以的速率增长。如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人消费将上升。越小，随着消费的变化，其边际效用的变化越小，从而，为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越大。欧拉方程的求

5、解：假设家庭在时，将减少较小的量，在一个较短的时刻，把这个新增的储蓄进行投资，并在时刻消费这部分收入。这种变化对终生效用的边际影响则是零。的边际效用是，则这种变化的效用成本为：；由于瞬时的报酬率为，在时刻，可被增加的数量为（有效劳动增加）。同样，由于的增长率是，那么，因此，在的边际效用为：理性家庭，其期望效用保持不变：给两边同除以，得：3、经济的动态学：（1）的动态学：由于，即，当，那么，设代表在时的的水平，当，（资本边际报酬递减），；当，。如图：kc（2）的动态学：与索洛模型一样，等于实际投资减去持平投资。由于不存在折旧，持平投资为，实际投资是产出减去消费为，即：，那么消费等于实际产出与持平

6、投资线的差额时，开始关于是递增的，直到（的黄金律水平），后关于是递减的。当超过可获得的水平时，则下降，当小于可获得的水平时，则上升，对于充分大的，持平投资超过产出，在此条件下，对于一切的正值，。如图：，ck的动态学（3）与相图：，E 与的动态学 （4）的初始值：（解释在下方，大于0,可用来解释，因为下方的小，而使产出大于持平投资，或者可从，及）CFDAB 与关于的各种初始值的行为）中（F是收敛的，因为，其他点上，发散的，即较之于家庭的终生消费的贴现值，其终生收入的贴现值是无穷大的，因此，家庭可获得更高的效用，这样的路径不是均衡的。） （5） 鞍点路径： 鞍点路径是指对于的任何正的初始水平，存在

7、一个惟一的的初始水平，它与家庭的最优化、资本存量的动态学、家庭预算约束以及不为负的要求相一致，那么，这种初始的作为的一个函数的函数便是鞍点路径。 E 鞍点路径 4、福利（略） 5、平衡增长路径（1）平衡增长路径的性质：经济行为一旦收敛于E点，它便等同于处在平衡路径上的索洛经济的行为，每单位有效劳动的资本、产出与消费是不变的。由于与不变的，储蓄率也是不变的，总资本存量与总消费均以的速率增长，且每工人资本、每工人产出与消费发速率增长。（储蓄率的内生与外生假定都一样，劳动的有效性的增长仍是每工人产出持续增长的惟一可能的源泉。（2）平衡增长路径与资本的黄金律水平索洛模型与拉姆齐模型的平衡增长路径之间的

8、惟一区别是：拥有资本存量大于黄金律资本水平的平衡路径在拉姆齐模型是不可能的，即在索洛模型中，充分高的储蓄率引致经济达到一个平衡路径，它的性质是存在一些可行的选择，涉及在每个时刻更高的水平的消费。相反，在拉姆齐模型中，储蓄由家庭行为中推出，该家庭的效用依存于其消费，并且不存在外部性，结果，使经济在每个时点上获得较高消费水平的路径，不能是一个均衡，如果经济处在这样一个路径上，家庭将会减少他们的储蓄并利用这种机会。（从鞍点图分析：（a）当初始资本存量大于黄金律水平，初始消费会大于那个为保持不变所需的消费水平，因此，逐渐趋向；（b）小于黄金律资本存量意味着经济并不会收敛于那种可获得的最大维持水平的平衡

9、路径，假设，那么，是由定义的，而黄金律的由定义，因而我们假定简化为，由于，在处开始的储蓄增加将会引致每工人的消费最终高于其先前的水平，并且在那里保持不变，但因家庭对现期消费的偏好大于未来时期，使得消费的最终的永久性增加的好处受到限制。在某个点上，特别地，当，暂时的短期牺牲与永久的长期收益之间的替代是十分不利的，以致接受该替代会减少而非提高终生的效用，因此，收敛于低于黄金律水平的资本量，由于是经济收敛于平衡路径时的的最优水平，它便是著名的修正的黄金律资本存量）。 6、贴现率下降的效应 考虑一个处在其平衡路径上的拉姆齐经济，并且设存在贴现率下降。由于是主导家庭对现期与未来消费之间偏好的参数，在这个

10、模型中，这个变化与索洛模型中的储蓄率的上升，十分相似。 （1）定性效应： 由于的演化由技术而非偏好决定，进入而不是进入的方程。因此，只有的轨迹受到影响。由于，当， 值由决定，且由于，这意味着的下降会提高。那么，线向右边移动。 在的变动的时刻，的值，即每单位有效劳动的资本存量由经济的历史给定，并且它不能间断地变化。特别地，在变动的时刻，等于原平衡增长路径上的值。相反，即家庭此时刻正在进行的消费的速率，则在冲击时刻发生跳跃。 在变动发生的时刻，向下跳跃，使得经济处在新鞍点路径值（如图中的A点）。此后，与逐渐上升到其新的平衡增长路径值，这些值均高于其原平衡增长路径上的值。因此，贴现率下降的效应类似于

11、索洛模型中的储蓄率上升的效应：在两种情形中，逐渐上升到新的较高水平，但均初始下降但接着上升到其开始时的水平之上。正如索洛模型中具有一个储蓄率的永久性上升的情况一样，贴现率的永久下降会产生每工人资本增长率与每工人产出的暂时性增长。两者差异是：在下降的情形下，产出的储蓄部分在调整过程中一般不是不变的。EA 贴现率下降的效应（2）调整速率与鞍点路径的斜率 这里用平衡增长路径附近的线性近似方程替代这些非线性的方程。在与的附近给与取一阶泰勒近似，即，定义与，由于与均不变，则且，上式可写成：对分别求关于与的导数，且时，那么，可得到：对上式两边同除以，得到： （1）同理，对分别求关于与的导数，且，可得到对上

12、式两边同除以，可得： （2）（1）与（2）式意味着与的增长率只依存于与的比率。设，方程（1）可变为：，假设，那么，如果为正，那么，与正在增长，这便是经济不是沿一条直线走向的，相反，它正在沿一条直线偏离。因此，如果经济收敛于，那么，为负，即，。如图所示：ABEBAkc 线性化相图由于是负的，则意味着与之间的关系所具有的符号将不同于的，鞍点路径AA线斜率为正，BB线的斜率为负。如果我们线性化关于与的方程，可以用模型参数刻画经济动态学的特征。在0时刻，必定会跳跃到（这是从推出的）。此后，与均会以速率收敛于它们的平衡路径；这便是，。（3）调整速度理解对于收敛于平衡路径的速度的含义，我们用柯布道格拉斯生

13、产函数，即。由于平衡路径上消费等于产出减去持平投资，每单位有效劳动的消费等于，代入式得：由于，可得，将此代入上式，得： 上式表明了用模型的基本参数表示的调整速率。 7、政府购买的效应 （1）把政府纳入模型中。假设每单位有效劳动的政府购买是，其不影响私人效用，其购买由税收融资而得，不影响产出。那么，投资是产出同私人消费与政府购买之间的差额。因此，的运动方程如下： 较高的值把轨迹向下移动，如果保持不变，那么由政府购买的产品越多，由私人购买的产品就越少。依据假设，家庭的偏好不变，但欧拉方程或在对家庭施加终生预算约束限制下由其偏好中推出的，其他条件仍成立，但政府购买融资的税收会影响家庭预算约束，即：

14、同样的推导过程，可得出消费增长路径。 增加政府购买并不影响欧拉方程，那么我们来分析： （2）政府购买的永久性与暂时性变动的效应 假设在某个数量为水平上保持不变，经济处在平衡增长路径，并且存在一个未预期的、永久性的G的趋向的增加。由于的轨迹向下移动的数量等于G的增加量，且增加政府购买并不影响欧拉方程，则的轨迹不变，如下图： E 政府购买永久性增加的效应对这种变化作出反应，必须跳跃，使得经济处在其新的鞍点路径上。即政府购买与税收的永久性增加会减少家庭的终生财富。因此，消费立即下降。由于购买与税收的增加是永久性的，不存在家庭通过调整其消费的时间方式来提高其效用的空间。因此，消费的立即下降的数量等于整

15、个政府购买的增加量，并且资本存量与实际利率不受影响。更为复杂的是由G的非预期的增加提供的：假设最终时期被确切地知道，在这种情形中，的下降量并不等于整个G的增加量。如果该数量为，那么当政府购买再回到水平时，消费将会发生间断的向上跳跃，因此，边际效用将会非连续地下降。但由于G向的回归可被预见，边际效用的间断性也被预见（对于家庭非最优）。是资本积累方程决定的，而（由欧拉方程决定的）。时间由于，我们可由的行为来推断的行为，在政府较高并缓慢返回到其初始水平的期间，逐渐增加（可从解释） E上图表明G的短期上升的情形，这里家庭较少地改变其消费。相反，他选择从其储蓄中更多地支付暂时的高种税收。由于政府购买在较短的时间内是较高的，其对资本存量与实际利率的影响较小。13_