数值分析讲义

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 第1章 数值分析中的误差 一、重点内容 误差 设精确值 x* 的近似值 x，差 exx* 称为近似值 x 的误差(绝对误差)。 误差限 近似值 x 的误差限 e 是误差 e 的一个上界，即 |e|xx*|。 相对误差 er 是误差 e 与精确值 x* 的比值， 。常用 计算。相对误差限 是相对误差的最大限度， ，常用 计算相对误差限。 绝对误差的运算： (x1x2)(x1)(x2) (x1x2)|x1|(x2)|x2|(x1) 有效数字 如果近似值 x 的误差限 是它某一个数位的半个单位，我们就说 x 准确到该位。从这一位起到前面第一个非 0

2、数字为止的所有数字称为 x 的有效数字。 关于有效数字： (1) 设精确值 x* 的近似值x， x0.a1a2an10 m a1，a2，an 是 09 之中的自然数，且 a10， |xx*|0.510 ml ，1ln则 x 有l位有效数字.(2) 设近似值 x0.a1a2an10m 有 n 位有效数字，则其相对误差限 (3) 设近似值 x0.a1a2an10m 的相对误差限不大于 则它至少有 n 位有效数字。(4) 要求精确到103，取该数的近似值应保留 4 位小数。一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具

3、有绝对误差 e0.0926 的数 x20.7426 只有三位准确数字 2，0，7。一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为 10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为 1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为 0.1% 的量级。 二、实例 例1 设 x*p3.1415926近似值 x3.140.314101，即 m1，它的误差是 0.001526，有|xx*|0.0015260.51013即 l3，故 x3.14 有 3 位有效数字。x3.14 准确到小数点后第 2 位。又近似值 x3.1416，它的误差是 0.0000074，有 |xx*|0.00000740.51

4、015即 m1，l5，x3.1416 有 5 位有效数字。而近似值 x3.1415，它的误差是 0.0000926，有 |xx*|0.00009260.51014即 m1，l4，x3.1415 有 4 位有效数字。这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有 s 位或 s1 位有效数字。例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 0.002 00 9 000 9 000.00解 因为 x12.000 40.200 04101，它的误差限 0.000 050.510 15，即 m1，

5、l5，故 x12.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限 。x20.002 00，误差限 0.000 005，因为 m2，l3，x20.002 00 有 3 位有效数字。相对误差限 e r0.000 005/0.002 000.25%。 x39 000，绝对误差限为 0.5，因为 m4，l4，x39 000 有 4 位有效数字，相对误差限 e r0.5/9 0000.005 6%。x49 000.00，绝对误差限 0.005，因为 m4，l6，x49 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为 e r0.005/9 000.000.000 056%。由 x3 与 x4 可以看到小数点之

6、后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的。例3 ln20.69314718，精确到 103 的近似值是多少？解 精确到 1030.001，即绝对误差限是 e0.05，故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693。三、练习题 1. 设某数 x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是 。2. 设某数 x*，它的精确到 104 的近似值应取小数点后 位。3. ( )的 3 位有效数字是 0.236102。 (A) 235.54101 (B) 235.418 (C) 2354.82102 (D) 0.00235491034. 设 a*2.718181828，取 a2.718，则有( )，称

7、a 有四位有效数字。 (A) |aa*|0.5104 (B) |aa*|0.51014 (C) |aa*|104 (D) |aa*|0.0003 5. 设某数 x*，对其进行四舍五入的近似值是( )，则它有 3 位有效数字，绝对误差限是 0.5104。 (A) 0.315 (B) 0.03150 (C) 0.0315 (D) 0.003156. 以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为 0.25103。 (A) 0.01234 (B) 12.34 (C) 2.20 (D) 0.22007. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。(1) 2.1514 (2) 392

8、.85 (3) 0.0039228. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 e r0.1% (2) 0.896 e r10%9. 已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。 (1) 0.3941 e0.25102 (2)293.481 e0.1 (3) 0.00381 e0.1104 10. 已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。 (1) 1.8921 e r0.1102 (2) 22.351 e r0.15 (3) 48361 e r1% 四、练习题答案 1该数有效数字第四位的一半。 2 . 五 3. (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D)

9、7. (1)2.15, e0.14102，e r0.65103；(2) 393，e0.15，e r0.38103；(3)0.00392，e0.2105，e r0.51103 8. (1) e0.1310 2；(2) 0.9101 9. (1) 2；(2)3；(3)2 10.(1) 3；(2)1；(3)2 第15章 线性方程组的数值解法 一、重点内容 1. 高斯顺序消去法解线性方程组AXb，对增广矩阵 顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中， 。 注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。 2. 高斯列主元消去法 在高斯

10、顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元 ， ( k1，2，3，n1) 把第r行作为主方程，做第k次消元。 把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。 3. 雅可比迭代法(简单迭代法) 解线性方程组AXb的雅可比迭代法公式为 ( k0，1，2，) 4. 高斯赛德尔迭代法 解线性方程组AXb的高斯赛德尔迭代法公式为 (i1，2，n；k0，1，2，) 5解的收敛性定理 【定理1】 高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。 【定理4】(迭代法基本定理) 设线性方程组XBXf对于任意初始向量

11、X (0)及任意f，对应此方程组的迭代公式 X (k1)B (k)Xf 收敛的充分必要条件是 ,其中 i ( i1，2，n)为迭代矩阵B的特征根。当 i为复数时，| i|表示 i的模。 【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AXb，(1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法收敛；(2) 若A为对称正定矩阵，则高斯赛德尔迭代法收敛。注：设矩阵A aij n，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵。二、实例 例1 用顺序消去法解线性方程组解 顺序消元于是有同解方程组回代得解x31，x21，x11，原线性方程组的解为X(1，1，1)T。例2 取初始向量X(0)(0，0，0)T，

12、用雅可比迭代法求解线性方程组解 建立迭代格式 (k1，2，3，) 第1次迭代，k0X(0)0，得到X(1)(1，3，5)T第2次迭代，k1 X(2)(5，3，3)T 第3次迭代，k2X(3)(1，1，1)T 第4次迭代，k3 X(4)(1，1，1)T 例3 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。解 选a212为主元，作行互换，第1个方程变为：2x12x23x33，消元得到是应填写的内容。2. 用选主元的方法解线性方程组AXb，是为了( )(A) 提高计算速度 (B) 减少舍入误差 (C) 减少相对误差 (D) 方便计算答案：选择(B)3. 用

13、高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 (k0，1，2，)答案： 解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。4. 当a ( )时，线性方程组 的迭代解一定收敛。(A) 6 (B) 6 (C) 6 (D) 6或6答案：(D)解答：当|a|6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。三、练习题 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组2. 用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。 3. 证明线性方程组的迭代解收敛。 4. 用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必

14、要条件是 5. 用列主元消去法解线性方程组 ，第1次消元，选择主元为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 4 (D)9 四、练习题答案 1. X(4，1，2)T 2. (4.666 19，7.618 98，9.047 53)T 3. 提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。 4. 线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。 5. (C)第2章 函数插值与最小二乘拟合 一、重点内容 1. 函数插值 已知函数f(x)的n个函数值ykf(xk)，k0，1，2，n。构造一个多项式P(x)，使得P(xk)yk。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，xk就是插值节点。误差R(x)f(x)P(x)。

15、 2. 拉格朗日多项式 称n次多项式Pn (x)y0l0y1l1ynln 为拉格朗日插值多项式，其中基函数 (i0，1，2，n) 当n1时，线性插值 P1(x)yklk(x)yk+1lk+1(x)其中基函数 。 当n2时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为 : ,其中(a，b)注意：过n1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。3. 均差与牛顿插值多项式 函数值与自变量的差商就是均差，一阶均差 (或记作fx0，x1)； 二阶均差 (或记作fx0，x1，x2) 均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关。 用均差为系数构造多

16、项式，就是牛顿插值多项式Nn(x)f(x0)fx0，x1(xx0)fx0，x1，x2(xx0)(xx1) fx0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn-1) 牛顿插值多项式的余项为：R n(x)f(x)Nn(x) fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)4. 分段线性插值 已知n1个互异节点x0，x1，xn构造一个分段一次的多项式P(x)，且满足：(1)P(x)在a，b上连续；(2) P(xk)yk (k0，1，2，n)；(3)P(x)在xk，xk+1上是线性函数。 分段线性插值函数 其中lk(x)(k0，1，2，n)是分段线性插值

17、基函数。 (i1，2，n1)5. 三次样条插值函数 (k0，1，2，n1) (xkxxk1)其中S(xk)mk (k0，1，2，n)，hkxk+1xk (k0，1，2，n1)，m 0，m1，mn满足的方程组是其中： ， (k1，2，n1) (1) 当已知S(x0)y0，S(xn)yn时，(*)式中 m01，ln1，(2) 当已知S(x0)y0m0，S(xn)ynmn时，(*)式化为6. 最小二乘法用j(x)拟合数据(xk，yk) (k1，2，n)，使得误差的平方和 为最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法。(1) 直线拟合 若 ，a0，a1满足法方程组(2) 二次多项式拟合 若 ，a0，a1，

18、a2满足法方程组二、实例 例1 已知函数yf(x)的观察数据为xk 2045yk 5131试构造拉格朗日多项式Pn(x)，并计算P(1)。只给4对数据，求得的多项式不超过3次解 先构造基函数所求三次多项式为 P3(x)= P3(1) 例2 已知函数yf(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。k xk f(xk)一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 00.400.410 75 10.550.578 151.116 00 20.650.696 751.168 000.280 00 30.800.888 111.275 730.358 930.197 33

19、 40.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34计算公式为 一阶均差 (k0，1，2，3) 二阶均差 (k0，1，2)三阶均差 (k0，1)四阶均差 例3 设x0，x1，x2，xn是n1个互异的插值节点，lk(x) (k0，1，2，n)是拉格朗日插值基函数，证明：(1) ；(2) (m0，1，2，n)证明 (1) Pn(x)y0l0y1l1ynln 当f(x)1时，1 由于 ，故有 (2) 对于f(x)xm，m0，1，2，n，对固定xm (0mn)，作拉格朗日插值多项式，有当nm1时，f (n+1) (x)0，Rn(x)0，所以 注意：对于次数不超过

20、n的多项式 ，利用上结果，有可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例4 已知函数ex的下列数据，用分段线性插值法求x0.2的近似值。x 0.100.150.250.30ex 0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818 解 用分段线性插值，先求基函数。所求分段线性插值函数为所以，e0.2P(0.2)0.819 070.20.983 5690.819 755例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。k xk yk xkyk 11414224.5493369

21、184481632558.52542.5S153155105.5 n5。a0，a1满足的法方程组是 解得a02.45，a11.25。所求拟合直线方程为 y2.451.25x 例6 选择填空题1. 设yf(x)，只要x0，x1，x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)yk (k0，1，2)的f(x)的插值多项式P(x)是 (就唯一性回答问题)答案：唯一的解答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x)a2x2a1xa0，其中a2，a1，a0是待定数。P(xk)yk，即这是关于a2，a1，a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式所以，不超过2次的多项式是唯一的。 2. 通过四个

22、互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( ), 则P(x)是不超过一次多项式。 (A) 初始值y00 (B) 一阶均差为0 (C) 二阶均差为0 (D)三阶均差为0答案：(C)解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)f(x0)fx0，x1(xx0)它是不超过一次的多项式。 3. 拉格朗日插值多项式的余项是( )，牛顿插值多项式的余项是( ) (A) (B) fx，x0，x1，x2，xn(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn) (C) (D) fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。4. 数据拟合的直

23、线方程为ya0a1x，如果记那么系数a0，a1满足的方程组是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(B)解答：因为法方程组为由第1个方程得到 ，将其代入第2个方程得到整理得 故(B)正确。三、练习题 1. 已知函数yf(x)，过点(2，5)，(5，9)，那么f(x)的线性插值多项式的基函数为 。2. 过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x) 。3. 已知多项式P(x)，过点(0，0)，(2，8)，(4，64)，(11，1331)，(15，3375)，它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P(x)是( ) (A)二次多项式 (B)不超过二次的多项式 (C) 三次多

24、项式 (D) 四次多项式4. 已知yf(x)的均差 ， ， ，。那么fx4，x2，x0( ) (A) 5 (B) 9 (C)14 (D) 85. 求数据拟合的直线方程ya0a1x的系数a0，a1是使 最小。6. 求过这三个点 (0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。7. 构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。8. 设l0(x)是以n1个互异点x0，x1，x2，xn为节点的格朗日插值基函数试证明： 9. 已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。x 123y 2412y1 1 10. 已知数据对(7，3.1)，(8，4.9)，(9，5.3)，(1

25、0，5.8)，(11，6.1)， (12，6.4)，(13，5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。四、练习题答案 1. 2. 3. C 4. B 5. 6. x1 7. 给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。N4(x)0.410751.11600(x0.40)0.28000(x0.40)(x0.55) 0.19733(x0.40)(x0.55)(x0.65)0.03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)将x0.596代入牛顿多项式N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596)0.631 928. 提示：求l0(x)的牛顿插值多项式。9. 10. y0.145

26、x23.324x12.794 第4章 数值积分与微分 一、重点内容 1. m次代数精度 求积公式 对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立，而对某一个m1次代数多项式不成立。 2. 牛顿科茨求积公式： 截断误差 (1)科茨系数： (k0，1，2，n)，有两条性质。(2) 牛顿科茨求积公式的求积系数：Ak (k0，1，2，n)(3) 常见牛顿科茨求积公式 梯形公式 截断误差： R1 f 复化梯形公式 截断误差： ，M2 抛物线公式 复化抛物线公式 截断误差： ， 科茨公式 3高斯勒让德求积公式 ， 节点为 的零点(高斯点) 其余项： 4. 微分公式 (1)等距节点两点求导公式： (k0，1，2，

27、n1) (2)等距节点三点求导公式： (k1，2，n1)二、实例 例1 试确定求积公式 的代数精度。依定义，对xk (k0，1，2，3，)，找公式精确成立的k数值解 当f(x)取1，x，x2，计算求积公式何时精确成立。 (1) 取f(x)1，有 左边 ， 右边 (2) 取f(x)x，有 左边 ， 右边 (3) 取f(x)x2，有 左边 ， 右边 (4) 取f(x)x3，有 左边 ， 右边 (5) 取f(x)x4，有 左边 ， 右边 当k3时求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。例2 试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算定积分 (计算结果取5位有效数字) (1)用

28、梯形公式计算(2) 用抛物线公式 (3)用科茨公式 系数为 如果要求精确到105，用复化抛物线公式，截断误差为 ，N2只需把0.5，1 4等分，分点为0.5，0.625，0.75，0.875，1 例3 用三点高斯勒让德求积公式计算积分 高斯型求积公式只能计算1，1上的定积分解 做变量替换 ，查表得节点0.774 596 669 和0；系数分别为0.555 555 5556和0.888 888 8889 注：该积分准确到小数点后七位是0.9460831，可见高斯型求积公式的精度是很高的。教材的第12章12.2节，用多种方法计算过该积分，它们的精度请读者自行比较。 例4 用三点公式计算 在x1.0

29、，1.1，1.2处的导数值。已知函数值f(1.0)0.250000，f(1.1)0.226757，f(1.2)0.206612 解 三点导数公式为 k1，2，3，n1本例取x01.0，x11.1，x21.2，y00.250000，y10.226757，y20.206612，h0.1。于是有计算 例5 选择填空题1. 牛顿科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 。解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。2. 如果用复化梯形公式计算定积分 ，要求截断误差的绝对值不超过0.5104，试问n( ) (A) 41 (B) 42 (C)

30、43 (D) 40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差中 ，故 ，n40.8，取n41。故选择(A)。3. 已知n3时，科茨系数 ，那么 答案：1/8解答：由科茨系数的归一性质， 三、练习题 1. 试确定求积公式的待定参数，使求积公式 A0f(0)A1f(1)A2f(2)的代数精度尽可能的高。2. 用复化抛物线公式计算定积分 。取n4，保留4位有效数字。3. 试用四点(n3)高斯勒让德求积公式计算积分 4. 已知条件见例4。用两点求导公式计算f (1.0)，f (1.1)。5. 若用复化抛物线公式计算积分 ，要求截断误差的绝对值不超过0.5104，试问n ( ) (A) 1 (B) 2

31、(C) 4 (D) 36当n6时， ( ) 7. 用三点高斯勒让德求积公式计算积分 ，具有 代数精度的。四、练习题答案 1. A0A21/3，A14/3 2. 0.1109 3. 3.141624 4. 0.23243；0.201455. (B) 6. (D) 7. 5次 第13章 方程求根 一、重点内容 1. 二分法: 设方程f(x)0在区间a，b内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列： 。 x*xn= (a0a，b0b)，n0，1，2， 有误差估计式：x*xn ，n0，1，2， 二分区间次数： 2. 简单迭代法: 若方程f(x)0表成xj(x)，于是有迭代格式： xnj(xn1)

32、（n1，2，） x*xn若存在0l1,|j(x)| l,在区间a,b内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。 3. 牛顿法:用切线与x轴的交点，逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为 （n1，2，） 选初始值x0满足f(x0)f (x0)0，迭代解数列一定收敛。 4. 弦截法: 用两点连线与x轴交点逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为 (n1，2，)二、实例 例1 证明方程1xsinx0在区间0，1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5104的根要迭代多少次？证明 令f(x)1xsinx， f(0)10，f(1)sin10 f(x)1xsinx0在0，1内有根。又 f (x)1cos

33、x0 (x0，1),故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。给定误差限 e0.5104，有只要取n14。例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根。计算过程保留4位小数。分析 容易判断1，2是方程的有根区间。若建立迭代格式 (x(1，2)，此时迭代发散。建立迭代格式： ， (x(1，2)，此时迭代收敛。解 建立迭代格式 (x(1，2)，取初始值x01取 例3 试建立计算 的牛顿迭代格式，并求 的近似值，要求迭代误差不超过106。 分析首先建立迭代格式。确定取几位小数，求到两个近似解之差的绝对值不超过106。 解 令 ，f(x)x3a0，求x的值。牛顿迭代格式为 (k0，1，)迭代误差不超过106

34、，计算结果应保留小数点后6位。当x7或8时，x3343或512， ，而 ，取x08，有 |x1x2|0.038122 |x2x3|0.000196于是，取 例4 用弦截法求方程x3x210在x1.5附近的根。计算中保留4位小数点。分析 先确定有根区间。再代公式。 解 设f(x)x3x21，因为f(1)10，f(2)30，所以1，2为f(x)0的有根区间。 取x01，x12。 迭代格式： ，(n1，2，) 列表计算如下：nxnxn1f(xn)f(xn1)xn1f(xn1)123456789101121.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.4

35、6551.465612222222221.465530.6094 0.2863 0.1177 0.0457 0.0174 0.0066 0.0024 0.0010 0.00030.000113333333330.0003 1.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.46561.46560.6094 0.2863 0.1177 0.0457 0.0174 0.0066 0.0024 0.0010 0.00030.0001 由于|x12x11|0.0001，故xx121.4656例4 选择填空题1. 设函数f(x)在区间a，b上连续，

36、若满足 ，则方程f(x)0在区间a，b一定有实根。答案：f(a) f(b)0解答：因为f(x)在区间a，b上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)0，故f(x)0一定有根。2. 用简单迭代法求方程f(x)0的实根，把方程f(x)0表成xj(x)，则f(x)0的根是( )(A) yx与yj(x)的交点 (B) yx与yj(x)交点的横坐标 (C) yx与x轴的交点的横坐标 (D) yj(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)0表成xj(x)，满足xj(x)的x是方程的解，它正是yx与yj(x)的交点的横坐标。3. 为求方程x3x210在区间1.3，1.

37、6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(A)解答： 在(A)中 ，故迭代发散。在(B)中 ，故迭代收敛。 在(C)中， ，故迭代收敛。在(D)中，类似证明，迭代收敛。4牛顿切线法是用曲线f(x)上的 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解。答案：点的切线；两点的连线解答：见它们的公式推导。三、练习题 1. 用二分法求方程f(x)0在区间a，b内的根xn，已知误差限 e，确定二分的次数n是使( ) (A) bae (B) |f(x)|e

38、 (C) |x*xn|e (D) |x*xn|ba2. 设方程f(x)x42x0，在区间1，2上满足 ，所以f(x)0在区间1，2内有根。建立迭代公式 x42xj(x)，因为 ，此迭代公式发散。3. 牛顿切线法求解方程f(x)0的近似根，若初始值x0满足( )，则解的迭代数列一定收敛。 (A) 0 (B) 0 (C) 0 (D) 04. 设函数f(x)区间a，b内有二阶连续导数，且f(a)f(b)0，当 时，则用弦截法产生的解数列收敛到方程f(x)0的根。5. 用二分法求方程x3x10在区间1.0，1.5内的实根，要求准确到小数点后第2位。6. 试用牛顿切线法导出下列各式的迭代格式：(1) 不

39、使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算。四、练习题答案 1. (C) 2. f(1)0，f(2)0； 1 3. (B) 4. f(x)0 5. 1.32 6. (1) xn12xncxn2，(2) xn11.5xn0.5cxn3第8章 常微分方程的数值解法 一、重点内容 1. 欧拉公式： (k0，1，2，n1) 局部截断误差是O(h2)。2. 改进欧拉公式： 或表示成： 平均形式： 局部截断误差是O(h3)。3. 四阶龙格库塔法公式：其中 k1f(xk，yk)；k2f(xk+0.5h，yk+0.5hk1)；k3f(xk+0.5h，yk+0.5hk2)；k4f(xk+h，yk+hk3)，

40、局部截断误差是O(h5)。二、实例 例1 用欧拉法解初值问题取步长h0.2。计算过程保留4位小数。解 h0.2，f(x，y)yxy2。首先建立欧拉迭代格式 0.2yk(4xkyk) (k0，1，2)当k0，x10.2时，已知x00，y01，有y(0.2)y10.21(401)0.8当k1，x20.4时，已知x10.2，y10.8，有y(0.4)y20.20.8(40.20.8)0.6144 当k2，x30.6时，已知x20.4，y20.6144，有y(0.6)y30.20.6144(40.40.6144)0.4613例2 用欧拉预报校正公式求解初值问题取步长h0.2，计算 y(1.2)，y(1

41、.4)的近似值，小数点后至少保留5位。解 步长h0.2，此时f(x，y)yy2sinx欧拉预报校正公式为：有迭代格式：当k0，x01，y01时，x11.2，有 y0(0.80.2y0sinx0)1(0.80.21sin1)0.63171y(1.2)y1 1(0.90.11sin1)0.1(0.631710.631712sin1.2)0.71549当k1，x11.2，y10.71549时，x21.4，有 y1(0.80.2y1sinx1)0.71549(0.80.20.71549sin1.2)0.47697y(1.4)y2 0.71549(0.90.10.71549sin1.2)0.1(0.47

42、6970.476972sin1.4)0.52611例3 写出用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。解 此处f(x，y)83y，四阶龙格库塔法公式为其中 k1f(xk，yk)；k2f(xk+0.5h，yk+0.5hk1)；k3f(xk+0.5h，yk+0.5hk2)；k4f(xk+h，yk+hk3)本例计算公式为：其中 k183yk；k25.62.1yk；k36.322.37yk；k44.2081.578yk 1.20160.5494yk (k0，1，2，)当x00，y02，y(0.2)y11.20160.5494y01.20160.5

43、49422.3004y(0.4)y21.20160.5494y11.20160.54942.30042.4654例4 对初值问题 ，y(0)1，证明用梯形公式求得的近似解为并证明当步长h0时，ynex证明 解初值问题的梯形公式为 f(x，y)y整理成显式反复迭代，得到 y01 若x0，为求y(x)的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x，故xnh，有例5 选择填空题：1. 取步长h0.1，用欧拉法求解初值问题的计算公式是 答案： ，k0，1，2，y01解答：欧拉法的公式(k0，1，2，n1)此处 ，迭代公式为，k0，1，2，y012. 改进欧拉法的平均形式的公式是( ) (A) (B)

44、(C) (D) 答案：(D)解答：见改进欧拉法平均形式公式。三、练习题 1. 求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是( )，改进欧拉法的局部截断误差是( )；四阶龙格库塔法的局部截断误差是( ) (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)2. 改进欧拉预报校正公式是 3. 设四阶龙格库塔法公式为其中 k1f(xk，yk)；k2f(xk+0.5，yk+0.5hk1)；k3f(xk+0.5，yk+0.5hk2)；k4f(xk+h，yk+hk3) 取步长h0.3，用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式是 。4. 取步长h0.1，用欧拉法求解初值问题5. 试写出用欧拉预报校正

45、公式求解初值问题的计算公式，并取步长h0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过105。6. 对于初值问题试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报校正公式；(3)四阶龙格库塔法分别计算y(0.2)，y(0.4)的近似值。7. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题在x0.2，0.4，0.6处的近似值。 四、练习题答案1. (A)，(B)，(D) 2. ； 3. 0.25916250.7408375yk (k0，1，2，)提示：其中 k11yk；k20.85(1yk)；k30.8725(1yk)；k40.73825(1yk)0.25916250.7408375yk (k0，1，2，) 4. y11

46、，y21.005000，y31.015050，y41.030276，y51.050882，y61.077154，y71.109469，y81.148300，y91.194232，y101.2479725. 计算公式为 (k0，1，2，) y(0.2)y2 6. 欧拉法：y(0.2)1.00000；y(0.4)1.08000 欧拉预报校正公式：y(0.2)1.02084；y(0.4)1.04240四阶龙格库塔法：y(0.2)1.002673；y(0.4)1.0217987. yp0，yc0.04，y10.02； yp0.056，yc0.0888，y20.0724； yp0.13792，yc0.164816，y30.151368【精品文档】第 32 页