湖南工业大学专升本高等数学考试大纲及习题资料

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1、第一部分 函数、极限与连续考核知识点1.函数的概念：函数的定义；函数的表示法；分段函数2.函数的简单性质：有界性；单调性；奇偶性；周期性3.反函数：反函数的定义；反的函数的图形4.基本初等函数及其图形：幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数5.复合函数6.初等函数考核要求1.理解函数的概念(定义域、对应规律)。理解函数记号的意义并会运用。熟练掌握求函数的定义域、表达式及函数值。会建立简单实际问题中的函数关系式。2.了解函数的几种简单性质，掌握函数的有界性、奇偶性的判别。3.掌握基本初等函数及其图形的有关知识。4.理解复合函数概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或简单函数的复合方

2、法。练习1.1（函数）1、设，将表示成的函数表达式为 。2、与等价的函数是（ ） A. B. C. D.3、函数在定义域内为（ ）A.有上界无下界 B.无上界有下界C.有界，且 D.有界，4、函数的定义域为 。判断对错：5、分段函数都不是初等函数。（ ） 6、函数是周期函数。（ ）计算：7、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成：(1) （2）8、设 ，求考核知识点1.数列的极限：数列极限的定义；数列极限的性质；数列极限的四则运算法则2.函数的极限：函数极限的定义；左极限与右极限的概念；自变量趋向于有限值时函数极限存在的充分必要条件；函数极限的四则运算法则两个重要极限3.无穷小量和无穷大量：无

3、穷小量和无穷大量的定义；无穷小量和无穷大量的关系；无穷小量的性质考核要求1.了解极限概念(对极限定义的“”，“”等形式的描述不作要求)，了解左极限与右极限概念，知道自变量趋向于有限值时函数极限存在的充分必要条件。2.掌握极限四则运算法则。3.掌握用两个重要极限求极限的方法。4.了解无穷小量、无穷大量的概念。知道无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。练习1.2（数列的极限）1、。 2、。3、其中 4、练习1.3（函数的极限）1、= ； 2、 ；3、= ；4、 ；5、 。判断对错：6、则时，的极限存在。（ ）7、则时，的极限存在。（ ）计算：8、求函数的及，并确定是否存在？9、设，试讨论在处的

4、极限。10、证明：用求左右极限证明而不存在。练习1.4（无穷小与无穷大，极限的运算法则）判断对错：1、无穷小量与一个非无穷小量的和、差、积为无穷小量。 （ ）2、两个非无穷小量的和、差、积、商一定不是无穷小量。 （ ）3、两个无穷小的商一定是无穷小。 （ ）4、若为无穷小量，则一定为无穷大量。 （ ）5、计算下列极限（1） (2) （3） (4) （5） 练习1.5（两个重要极限，无穷小的比较）判断对错1、 ( ) 2、 ( ) 3、 ( ) 4、 ( ) 5、 ( ) 6、 ( )计算：7、 8、 9、 10、考核知识点1.函数连续的概念函数在一点连续的定义 左连续与右连续 函数(含分段函数

5、)在一点连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类2.连续函数的运算与初等函数的连续性3.闭区间上连续函数的性质有界性定理 介值定理(包括零点定理) 最大值与最小值定理考核要求1.理解函数在一点连续与间断的概念。掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性。了解函数在一点连续与在一点极限存在之间的关系。2.掌握求函数的间断点及确定其类型。3.了解初等函数在其定义区间的连续性。了解在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。练习1.6（函数的连续性和间断点）1、当= 时，在其定义域内连续。2、是的 型间断点；补充定义 ，则在处连续。3、判断对错：在上连续。（ ）4、求极限：（1） （

6、2） 5、证明证明方程在区间（0，1）至少有一个根。自 测 题 1一、选择或填空1、函数的定义域是( ) A. B. C.(-3,1) D.2、函数的定义域是（ ） A. B. C.（-4，3） D.3、函数是（ ）A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶函数4、函数的最小正周期是（ ） A. B. C. 4 D.5、设，则当（ ）时，有 A. B. C. D. 任意取 6、设，则（ ）A. -1 B. 1 C. 0 D.不存在7、当时，与等价的无穷小量是（ ） A. B. C. D. 8、已知数列，则（ ） A. B. C. ，但无界 D. 发散，但有界9、若极限（常数），则函数在

7、点（ ） A.有定义且 B.不能有定义 C.有定义，但可以为任意数值 D.可以有定义也可以没有定义10、函数在处连续，则 .二、计算：1、 2、 3、 4、三、证明奇次多项式至少存在一个实根。第二部分 导数与微分考核知识点导数的定义 函数的可导性与连续性的关系 导数的几何意义与物理意义2.导数的四则运算法则 导数的基本公式3.求导方式 复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法4.高阶导数的概念5.微分微分的定义 微分的几何意义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性考核要求1.理解导数概念。知道导数的几何意义及了解函数的可导性与连续性之间的关系。2.掌

8、握求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟练掌握导数基本公式及导数的四则运算法则。熟练掌握复合函数的求导方法。4.掌握求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数的方法。会使用对数求导法。5.了解高阶导数的概念，掌握初等函数的二阶导数求法。6.理解函数的微分概念及微分的几何意义。掌握微分运算法则。会求函数(含隐函数)的微分。练习2.1（导数的概念）1、则其导函数定义域为（ ） A. B. C. D.2、设函数在点不可导，则( ) A.在点没有切线 B. 在点有铅直切线 C. 在点有水平切线 D.有无切线不一定3、若在处可导，则=( ) A. B. C. D. 4、初等函数在其定义域区间内是（

9、） A.单调的 B.有界的 C.连续的 D.可导的5、设函数，其中在点连续，则必有（ ）A. B. C. D. 计算：6、设求。7、若在处可导，请计算的值。练习2.2（求导法则）1、，求。 2、设，求。3、，求。 4、，求。5、，求。 6、，求。练习2.3（高阶导数）1、，求。 2、求。 3、已知，求。 4、验证满足关系式： 。练习2.4（隐函数及参数方程所确定的函数的导数）1、，计算。 2、已知，求。 3、已知，求。 4、设，求。练习2.5（微分）1、已知，计算处当时= ，= 。2、（1）（ ）=； （2）（ ）=；（3）（ ）=； （4）（ ）=；（5）（ ）=； （6）（ ）=；（7）（

10、 ）=； （8）（ ）=。3、求下列函数的微分（1） （2） 4、求由方程所确定的隐函数的微分和导数。自 测 题 2一、选择题1、若函数在点的导数，则曲线在点处的法线（ ） A.与轴相平行 B. 与轴相垂直C.与轴相垂直 D. 与轴既不平行也不垂直2、若函数在点不连续，则在（ ） A.必不可导 B.必定可导 C.不一定可导 D.比无定义3、如果（ ），那么。 A. B.C. D.4、如果处处可导，那么（ ） A. B. C. D. 5、已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是（ ）A. B. C. D.6、若函数为可微函数，则（ ） A.与无关 B.为的线性函数 C.当时

11、，为的高阶无穷小 D.与为等价无穷小7、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 二、求下列函数的导数1、 2、 三、设，求。四、已知，证明方程成立。第三部分 中值定理及导数的应用考核知识点1.中值定理：罗尔(Rolle)定理；拉格朗日(Lagrange)中值定理2.洛必达法则3.函数单调性的判定4.函数极值与极值点的概念及其求法5.曲线的凹凸性、拐点及其求法6.曲线的水平渐近线与垂直渐近线及其求法考核要求1.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

12、2.掌握用洛必达法则求型未定式的极限。3.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调区间。会利用函数的增减性证明简单的不等式。4.理解函数极限的概念。掌握求函数的极值的方法。掌握简单的最大(小)值的应用问题的求解。5.会判定曲线的凹凸性、会求曲线的拐点。6.会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。7.会作出简单函数的图形。练习3.1（中值定理）1、验证罗尔定理对函数在区间上的正确性。2、证明：当时，。3、若，试证方程只有惟一的实根。练习3.2（洛必达法则）计算1、 2、 3、。 4、。 5、验证极限存在，但不能用洛必达法则得出。练习3.3（函数的单调性与极值）1、确定下列函数的单调区间：（1） ；

13、（2） ；2、求下列函数的极值：（1）； （2）；3、证明：当时，。练习3.4（曲线的凹凸性）1.曲线的凹凸性为（ ）（a）凸的； （b）在内凹，在内凸；（c）凹的；（d）在内凸，在.2.曲线的拐点是（ ）。（a）；（b）（ 0 , 0 ）; (c) 无拐点；（d）都不是。3.设时，恒有，则曲线在内（ ）（a） 凸的； （b）凹的； （c）单调增加；（d）单调减少。4.若点是曲线的拐点，则（ ）（a）； （b）不存在； （c）或不存在； （d）且5.曲线在区间_内是凸的，在区间_内是凹的，曲线上_是拐点6.若点（ 0，1）是曲线的拐点，则b =_,c = _.7 利用曲线的凹凸性，证明不等式：

14、）练习3.5（函数的最值）判断对错：1、函数的极值点一定也为最值点；（ ）2、函数的最值点一定也为极值点；（ ）3、函数定义域为，则其极值点不能取端点或；（ ）4、函数定义域为，则其极值点不能取端点或；（ ）计算：5、函数求的最大值、最小值：6、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现在存砖只够砌20米长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？练习3.6（函数图形的描绘）1. 曲线的水平渐近线是_;铅垂渐近线是_.2求曲线的水平渐近线，铅垂渐近线及斜渐近线。自 测 题 3一、选择题1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即( )A.都给出了点的求法； B.都肯定了点一定存

15、在，且给出了求的方法；C.都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算求；D.都只肯定了的存在，却没有说出的值是什么，也没有给出求的方法。2、已知在可导，且方程在有两个不同的根与，那么在内（ ）。 A.必有 B. 可能有 C. 没有 D.不能确定3、如果在连续，在可导，为介于之间的任一点，那么在（ ）找到两点，使成立。 A.必有 B. 可能 C. 不能 D.无法确定能4、若在连续，在可导，且时，又则（ ）A.在上单调增加，且； B.在上单调增加，且；C.在上单调减少，且； D.在上单调增加，但的正负号无法确定。5、是可导函数在点处有极值的（ ） A.充分条件 B.必

16、要条件 C.充要条件 D.非充要条件6、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ） A.极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； B.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；C.极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值； D.极大值必大于极小值。二、计算 1、求的单调区间。 2、计算函数的极值。3、求函数在区间上的最值。三、试证方程只有一个实根。第四部分 不定积分考核知识点1.不定积分的概念：原函数与不定积分的定义；原函数存在的定理；不定积分的性质2.不定积分法：基本积分公式；第一换元法(即凑微分法)；第二换元法分部积分法；简单有理函数的不定积分法考核要求1.理解原函数与不定

17、积分的概念。2.了解不定积分的性质。3.熟练掌握不定积分的基本积分公式。4.掌握不定积分第一换元法、第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)及分部积分法。5.会求简单有理函数的不定积分(分解定理不作要求)。练习4.1（不定积分的概念与性质）判断对错：1、与是同一个函数的原函数。 （ ）2、若，则。 （ ）3、若是周期函数，则也必是周期函数。 （ ）4、已知，那么.（ ）选择：5、（ ）即。 A. B. C. D.6、（ ） A. B. C. D.7、若的导函数是，则有一个原函数是( ) A. B. C. D.计算：8、 9、 练习4.2（第一类换元积分法即凑微分法）1、 ； 2、 ；3、 ；

18、4、 ；5、 ；6、 ；7、 ；8、 。计算：9、； 10、；11、； 12、；13、； 14、； 15、； 16、练习4.3（第二类换元积分法）1、当被积函数含有时，可考虑令（ ） A. B. C. D.2、要通过令使化为有理函数的积分，应取（ ） A.4 B.6 C.12 D.24计算：3、 4、 5、 6、练习4.4（分部积分法）1、= ； 2、= ；3、的原函数是，则= ；4、已知，则= ；计算：5、 6、 7、 8、 9、自 测 题 4一、选择1、设是区间内连续函数的两个不同的原函数，且，则在区间内必有（ ）A. B. C. D. 2、若，则（ ） A. B. C. D.3、在某区间

19、内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在。 A.有极限存在 B.连续 C.有界 D.有有限个间断点4、下列结论正确的是（ ） A.初等函数必存在原函数 B.每个不定积分都可以表示为初等函数C.初等函数的原函数必定是初等函数 D.A、B、C都不对5、已知一个函数的导数为，且时，这个函数是( ) A. B. C. D. 6、，且，则（ ） A. B. C. D. 7、（ ）。 A.1 B. C. D. 8、（ ） A. B. C. D. 二、计算：1、 2、 3、 4、三、已知曲线上任意点的切线斜率为，并且过点，试求该曲线的方程。第五部分 定积分考核知识点1.定积分的概念：定积分的概念及其几何

20、意义；定积分的性质2.变上限的积分及其求导定理；牛顿莱布尼茨公式3.定积分的应用：平面图形的面积；旋转体体积；物体沿直线运动时变力所做的功4.无穷区间的广义积分：收敛；发散；计算方法考核要求1.理解定积分的概念与几何意义。2.理解定积分的性质。3.理解变上限积分为其上限的函数及其求导定理。掌握对上限函数进行分析运算。4.熟练掌握牛顿莱布尼茨公式。5.掌握用定积分的换元法和分部积分计算定积分。6.掌握用定积分求平面图形的面积和简单的封闭平面图形绕坐标轴旋转所成旋转体体积。会用定积分求沿直线运动时变力所做的功。7.了解广义积分收敛与发散的概念。会求上述广义积分。练习5.1（定积分的概念与性质）1、

21、积分中值定理，其中（ ） A.是内任一点 B. 是必定存在的某一点C. 是内惟一的某一点 D. 是的中点2、设在上连续，且，则（ ） A.在的某个子区间上，； B. 在上，； C. 在内至少有一点，； D. 在不一定有，使。3、 ；计算：4、比较与的大小。 5、不计算定积分，估计的值。练习5.2（N-L公式）1、设在连续，则（ ） A.是在上的一个原函数B. 是在上的一个原函数C. 是在上唯一的原函数D. 是在上唯一的原函数2、（ ） A. B. C. D. 3、，则当时，是的( )A.同阶无穷小，但不等价 B.等价无穷小 C.低阶无穷小 D.高阶无穷小4、 ；5、设方程组确定了是的函数，则=

22、 。计算：6、 7、8、，求。练习5.3（定积分的换元积分法与分部积分法）1、下列积分中不为零的是（ ） A. B. C. D.2、（ ） A. B. C. D.计算：3、 4、 5、 6、 7、 8、练习5.4（反常积分）计算：1、 2、 3、 4、5、求曲线、直线及轴所围成图形位于部分的面积。练习5.6（平面图形的面积）计算：1、求所围图形面积。2、由和所围面积为6，求大于零的。3、求与半圆所围图形的面积。4、求阿基米德螺线和极轴所围的面积。练习5.7（体积）计算：1、求所围成区域绕轴旋转所形成的立体体积。2、求所围成区域绕轴旋转所形成的立体体积。3、求所围成区域绕轴旋转所旋转所产生的旋转

23、体的体积。4、计算曲线与轴之间位于第二象限的平面图形绕轴旋转产生的旋转体体积。自 测 题 5一、填空或选择1、设，函数在区间上的平均值= ；2、= ；3、已知，则= ；4、定积分在几何上表示（ ） A.线段长 B.线段长 C.矩形面积 D.矩形面积5、设在上连续，且为偶函数，则( ) A.是奇函数 B. 是偶函数C. 是非奇非偶函数 D. 可能是奇函数，也有可能是偶函数6、设为连续函数，则等于（ ）A. B. C.0 D.不存在二、计算： 1、求的导数。 2、3、 4、三、应用题：1、求曲线及直线所围成的平面图形的面积；2、把抛物线及直线所围的图形绕轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。第六部分

24、向量代数与空间解析几何考核知识点1.向量的概念：向量的定义；向量的模；单位向量；向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示；向量的方向余弦2.向量的线性运算：向量的加法；向量的减法；向量的数乘运算3.向量的数量积：二向量的夹角；二向量垂直的充分必要条件4.二向量的向量积：二向量平行的充分必要条件考核要求1.理解向量的概念。掌握向量的坐标表示法，了解单位向量，方向余弦、向量在坐标轴上的投影。2.掌握向量的线性运算、向量的数量积、二向量的向量积的运算方法。3.会判定二向量的平行与垂直。 练习6.1（向量及其线性运算，空间直角坐标系）1、判断对错：设，则。（ ） 2、点（-1，-2，-3）第 卦限；3、，则

25、= ；4、在轴上点 与和的距离相等。计算：5、求证以为顶点的三角形是等边三角形。6、用向量法证明三角形的中位线定理。练习6.2（向量的坐标）1、已知向量，求向量的坐标表示式为 ；2、设，则向量的分解式为 ；3、已知两点，则向量= ，= 。4、平行于向量的单位向量为 。计算：5、已知，求向量的模、方向余弦、方向角和单位向量。练习6.3（向量的数量积、向量积）1、判断下列各组向量是否平行或垂直：（1）； ；（2）； ；计算：2、已知向量之间的夹角，且，求. 3、已知向量，且试计算。 4、已知，求的面积。5、已知三点，求与同时垂直的单位向量。6、设质量为100千克的物体从点沿直线移动到点，试计算重力

26、所做的功（长度单位为米，重力方向为轴负方向，取重力加速度为9.8。）考核知识点1.常见的平面方程：点法式方程；一般式方程2.两平面的关系 3.空间直线方程：标准式方程(又称对称式方程或点向式方程)；一般式方程；参数式方程4.两直线的关系；直线与平面的关系考核要求1.掌握平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。2.掌握直线的标准式方程、参数式方程、一般式方程。会判定两直线平行、垂直。3.会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。练习6.4（平面与空间直线）1、已知平面在轴上的截距为1、2、3，则其方程为 ；2、点到平面的距离为 ；3、平行于轴且过点及的平面方程为 ；4

27、、两平面的夹角为 ；5、直线的对称式方程为 ；6、直线与直线的夹角为 。计算：7、求平行于平面且经过点的平面方程。8、求过且平行于平面及的直线方程。9、求一直线方程，使之过点且平行于直线。考核知识点球面；母线平等于坐标轴的柱面；旋转抛物面；圆锥面；椭球面考核要求了解球面；母线平等于坐标轴的柱面；旋转抛物面；圆柱面和椭球面的方程及其图形。练习6.5（曲面与空间曲线）1、写出适合下列条件的旋转曲面方程：（1）把曲线绕轴旋转一周； ；（2）把曲线绕轴旋转一周； ；2、指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：（1） 、 ；（2） 、 ；（3） 、 ；（4） 、 .计算：3、一动点

28、与点的距离是它到平面的距离的，试求动点的方程。 自 测 题 6一、选择：1、向量与二向量的位置关系是( ) A.共面 B.共线 C.垂直D.斜交2、设向量与三轴正向夹角依次为，当时有( ) A.面 B. 面 C. 面 D. 面3、设平面方程为，且B、C、D，则平面（ ） A.平行于轴 B.平行于轴 C.经过轴 D.垂直于轴4、向量两两垂直，且，则的长度是( ) A.6 B.14 C. D.165、设直线方程为，且A、B、C、D、E、F，则直线（ ） A.过原点 B.平行于轴 C.垂直于轴 D.平行于轴6、曲面与直线的交点是( ) A.(1,2,3)、（2，-1，-4） B.（1，2，3） C.

29、(2,3,4) D. （2，-1，-4）7、已知球面经过（0，-3，1）且与面的交成圆周，则此球面的方程是（ ） A. B. C. D. 8、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是（ ） A. B. C. D. 二、计算：1、求与向量的夹角等于，且，求。2、设平行四边形二边为向量，求其面积。3、求通过直线且垂直于平面的平面方程。4、求过点（-1，-4，3）并与两直线都垂直的直线方程。三、证明：已知为两非零不共线向量，求证：。第七部分 多元函数微积分学考核知识点1.二元函数：多元函数的定义；二元函数的几何意义；二元函数的定义域2.二元函数的极限与连续：二元函数极限的概念；二元函数的连续的概念3.

30、偏导数与全微分：偏导数；全微分；二阶偏导数4.复合函数的偏导数5.隐函数的偏导数考核要求1.了解多元函数的概念，二元函数的几何意义和定义域。了解二元函数极限与连续概念(对计算不作要求)。2.理解偏导数概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。3.掌握二元初等函数的一、二阶偏导数的计算方法。4.掌握复合函数一阶偏导数求法(含抽象函数)。5.会求二元函数的全微分(含抽象函数)。6.掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。练习7.1（多元函数的基本概念）1、设，若当时，有，则 。2、用不等式表示由所围成的平面区域 。3、函数 的定义域为 。4、的间断点为 。计算：5、 6、

31、7、 8、 练习7.2（偏导数）1、求在点（0，1）处的偏导数。 2、已知的偏导数。3、求的偏导数。 4、求的二阶偏导数。5、求函数在点(0,0)的偏导数。练习7.3（全微分）一、填空题:1、设,则_；_；_.2、若,则_.3、若函数,当, 时,函数的全增量_;全微分_.4、 若函数,则的偏增量_; _.二、求函数当 时的全微分.练习7.4（多元函数求导法则）1、设已知，求。2、已知，求。 3、设，求。 4、设，求。考核知识点1.二重积分的概念2.二重积分的性质3.二重积分的计算 4.二重积分的应用考核要求1.了解二重积分的概念及其性质。2.掌握选择积分次序与交换积分次序的方法。3.掌握二重积

32、分的计算方法(直角坐标系、极坐标系)。4.会用二重积分解决简单的应用问题(限于空间曲面所围成的体积、平面薄板质量)。练习7.5（二重积分的概念、性质与计算）1、已给二重积分，其中区域是单位圆在第一象限的部分。判断如下各累次积分是否正确：（1）=（ ）；（2）=（ ）；（3）= （ ）；(4) = （ ）；（5）= ( ).2、判断下列更换二重积分的积分次序的式子的对错：（1） ( )（2） ( )3、若是以为顶点的平行四边形，则= 。4、比较和的大小，其中。5、估计的值，其中。6、求，其中由所围成.7、计算，其中。8、计算，其中是由及轴所围成的区域。9、计算，其中是单位圆在第一象限的部分。自

33、测 题 7一、填空或选择1、二元函数的定义域是 ；2、设，则= ；3、交换积分次序：= ；4、当D是（ ）围成的区域时，。 A.轴、轴及 B.C. 轴、轴及 D.5、设，其中D由所围成，则I=( ) A. B. C. D. 6、设，则（ ） A.与是相同函数 B. 与是相同函数C. 与是相同函数 D.其中任何两个都不是相同函数7、曲线在点(2,4,5)处的切线与轴的正向所成的角为 ；8、由所围成的闭区域化为不等式组为 。二、计算1、； 2、 3、求的偏导数。4、计算，其中D是闭区域：。第八部分 无穷级数考核知识点1.数项级数：数项级数的概念；级数的收敛与发散；级数的基本性质；级数收敛的必要条件

34、2.正项级数敛散性的判别法：比较判别法；比值判别法3.任意项级数：绝对收敛；条件收敛；交错级数；莱布尼茨判别法考核要求1.理解级数收敛、发散的概念。知道级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。2.掌握几何级数的敛散性。3.掌握正项级数的比值判别法。会用正项级数的比较判别法。4.掌握调和级数与级数的敛散性。5.知道级数绝对收敛与条件收敛的概念。会使用莱布尼茨判别法。练习8.1 （数项级数）判断对错：1、若，则级数发散。（ ）2、若，则级数收敛；（ ）3、收敛级数加括号后所成的新级数仍收敛于原级数的和。（ ）4、发散级数加括号后所成的新级数仍发散。 （ ）判断级数的敛散性：5、；6、；7、； 8、

35、； 9、； 10、练习8.2（正项级数的审敛法）1、判定的敛散性。 2、判定的敛散性。3、判定的敛散性。 4、讨论的敛散性。5、试判定是否收敛？若收敛，试确定是条件收敛还是绝对收敛。考核知识点1.幂级数的概念：收敛半径；收敛区间；收敛域2.幂级数的基本性质3.将初等函数展开为幂级数考核要求1.了解幂级数的概念2.知道幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。3.掌握求幂级数的收敛半径、收敛域的方法(包括端点处的收敛性)。4.会运用的马克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为x或的幂函数。练习8.3（幂级数）1、求的收敛半径和收敛区间(不讨论端点)。2、求的收敛区间(不讨论端

36、点)。3、求的收敛区间(不讨论端点)。 4、求的和函数。自 测 题 8一、填空或选择1、部分和数列有界是正项级数收敛的 条件；2、是级数收敛的 条件；3、若级数级数收敛，则的取值范围是 ；4、如果级数收敛，级数：（1）、（2) 、(3) 、(4) 中收敛的级数有 ；5、级数收敛，则的取值范围是 ；6、若级数收敛于，级数则（ ） A.收敛于 B. 收敛于 C. 收敛于 D.发散7、若级数和都收敛，则级数( ) A.一定条件收敛 B.一定绝对收敛 C.一定发散 D.可能收敛也可能发散8、是以为周期的函数，且，则它的傅里叶级数( ) A.不含正弦项 B.不含余弦项 C.既有正弦项也有余弦项 D.不存

37、在二、判定下列级数的敛散性1、 2、 3、 4、三、求的收敛半径与收敛区间（不讨论端点）。第九部分 常微分方程考核知识点1.微分方程的概念：微分方程的定义；阶解；通解；初始条件；特解2.可分离变量的方程3.一阶线性方程考核要求1.了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2.熟练掌握可分离变量方程及齐次方程的解法。3.熟练掌握一阶线性方程的解法。练习9.1（基本概念，可分离变量型微分方程）1、下列微分方程的阶为：（1） ； （2） ；（3） ；2、判断对错：（1）是方程的通解；( )（2）不是方程的特解；( )（3）是微分方程的解，但既不是通解，也不是特解。（ ）计算：3、解微分方程。

38、 4、求微分方程满足条件的特解。5、解微分方程练习9.2（齐次方程，一阶线性微分方程）1、求方程的通解。2、求微分方程满足条件的特解。3、解微分方程。4、若曲线上任一点处的切线斜率等于该点处横坐标与纵坐标之和，且经过点（0，2），求此曲线方程。考核知识点1.型方程。2.型方程。考核要求1.会用降阶法解型方程。2.会用降阶法解型方程。练习9.3（可降阶的高阶微分方程）1、求方程的通解。 2、求微分方程的通解。3、求方程满足初始条件的特解。4、求方程满足初始条件的特解。考核知识点1.二阶线性微分方程解的结构2.二阶常系数齐次性微分方程3.二阶常系数非齐次线性微分方程考核要求1.了解二阶线性微分方程

39、解的结构。2.熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程的解法。3.掌握二阶线性常系数非齐次微分方程的解法(自由项限定为，其中为x的n次多项式，a为实常数；，其中为实常数)。练习9.4（二阶常系数线性微分方程）1、设是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为，则该微分方程的通解为 ；2、微分方程的一个特解应具有形式： 。3、求微分方程的通解。4、求方程满足初始条件的特解。5、求微分方程的通解。 6、求方程的一个特解。7、求方程的一个特解。 8、求的一个特解。9、求方程的通解。自 测 题 9一、选择题1、的通解是（ ） A. B. C. D. 2、的特解是（ ） A. B. C. D

40、. 3、方程的通解为（ ）A. B. C. D.4、方程的通解为（ ）A. B. C. D. 5、若是二阶齐次线性方程的两个特解，则（其中为任意常数）（ ）A.为该方程的通解 B. 是该方程的解C. 为该方程的特解 D. 不一定是该方程的解二、计算：求解下列微分方程：1、。 2、。3、。 4、，时。三、已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求该曲线的方程参 考 答 案练习1.11、 。2、D 。 3、C 。 4、。 5、。6、。 7、(1) （2）8、 .练习1.21、 。 2、2 。 3、提示：原极限=。4、提示：由夹逼性， 原极限=3.练习1.31、4 2、0

41、 3、1 4、。 5、0. 6、。 7、。 8、，不存在。 9、不存在。提示：。 10、略练习1.41-4：。5、(1) 。 (2) 1 。（3）0 。（4）0 。（5）1 。练习1.51-6： 。7、。8、0。 9、。10、，等价无穷小代换。练习1.61、1 。 2、可去 、-2 。 3、。 4、（1）。(2) 。 5、略。自测题1一、1-5:BDBCB 6-9:DCCD 10、. 二、1、2 。2、 。3、。4、 。三、提示:。练习2.11-5：CDACB 5：提示：用定义计算 。 6、100！提示：用定义求 。7、 提示：利用可导、连续的定义求。练习2.21、 。 2、。3、 。 4、。

42、提示：。 5、。6、 ，用取对数求导法。 练习2.31、 。 2、。 3、。提示：=。 4、略。练习2.41、 。 2、0 。 3、 。4、 ， 。练习2.51、1.161，1.1 2、（1）。 (2)。 (3)。 (4)。(5)。(6)。 (7)。 (8)。3、（1）。 (2)。 4、，。提示：先计算微分。自测题2一、选择：1-7： BADD ABB 。二、1、2、三、 四、略练习3.11、提示：。2、提示:令，取区间，用拉格朗日中值定理证。3、提示：令，由零点定理知方程有一根，不妨设。再由反证法和罗尔定理证明只有一个实根。即设方程另有一实根，不妨设，则由罗尔定理，得。又，因所以。矛盾。练习

43、3.21、 。 2、 。 3、1 。 4、3 。 5、1 。练习3.31、（1）在上单调增加，在上单调减少，在上单调增加；（2）在上单调减少，在上单调增加； 2、（1）极大值，极小值。用第二判别法判。 （2）极大值。用第一判别法判。 3、用单调性证。练习3.41、c 2.c 3.b 4.c 5、 6、7、。提示：在以为端点的区间内考虑函数的凹凸性，然后利用凹凸性的定义即可证明所需结论。练习3.51-4： 。5、。 6、当垂直于墙壁的边长为5米，平行于墙壁的边长为10米时，所围成矩形小屋的面积最大，为50平方米。练习3.61、， 2、无水平渐近线，铅垂渐近线为，斜渐近线。自测题3一、1-6：DA

44、B DBC。二、1、在单调减少，在单调增加。 2、极大值：。 3、。三、显见的根是存在的。令，利用单调性来证惟一性。练习4.11-4：。 5-7: CAB 。 8、。 9、 。练习4.21、 。2、 。3、 。4、 。5、 。 6、 。 7、 。 8、。 9、。10、。 11、。 12、。13、。 14、。 15、。16、。练习4.31-2: CC 。3、 ，令。4、，令。5、，令。 6、，令。练习4.41、。2、。3、。4、。5、。6、。7、。8、，连续用两次分部积分法。9、，连续用两次分部积分法，再解方程求得。自测题4一、1-4：DDBD 5-8：BBBC。 二、1、。2、。3、，提示：令

45、。4、，用分部积分法。 三、。练习5.11-2：BC 3、0 。 4、 。5、 。练习5.21-3：ADD 。4、 。 5、 。 6、 。 7、 。 8、1。练习5.31-2：DD 。 3、。 4、。 5、。 6、。 7、2 。 8、。提示:连续用两次分部积分法，再解方程得。练习5.41、，发散。 2、1 。 3、，发散 。 4、 。 5、 。练习5.51、 。 2、 2 。 3、，提示：对积分。 4、。练习5.61、 。 2、 。 3、 。 4、，提示：。自测题5一、1、 。2、 。 3、8，分部积分法。 4-6：DAB二、1、 。 2、 。 3、 。4、，令。三、1、 。 2、 。练习6.

46、11、 。2、 。3、。4、（0，0，2） 。5、。 6、略。练习6.21、 。 2、 。 3、 。 4、 。5、=2，向量的单位向量为。练习6.31、（1）平行 。（2）垂直 。 2、，提示：先计算。 3、60，提示：。 4、，提示：。5、。提示：即为求与共线的单位向量。 6、5880焦耳。 。练习6.41、 。 2、 。 3、 。 4、 。5、 。 6、 。 7、，所求平面法向量为。8、，所求直线方向向量为 。9、，所求直线方向向量为。练习6.51、（1） 。 （2） 。2、（1）平行轴距离为2的一条直线、平行平面距离为2的平面。（2）斜率与截距均为1的一条直线、平行于轴的平面。（3）圆心在原点半径为2的圆、轴为对称轴半径为2的圆柱面。（4）两半轴均为1的双曲线、母线平行于轴的双曲柱面。3、 。 自测题6一、1-4： CCBC 5-8： CADD二、1、-141 。2、 ， 。3、 所求平面方程可设为，由已知可得、。4、，的方向向量为，所求直线的方向向量为。三、略。练习7.11、，提示：代入得。2、 。 3、 。 4、 。5、 。 6、 。 7、不存在。沿趋于点时极限=。8、不存在。沿趋于点时极限不存在 。练习7.21、，。2、，。3、，。4、，。5、用定义求。同样可得。练习7.3一、1、； 2、； 3、-0.119,-0.125；4、. 二、. 练习7.41、2、