经典空几小结夹角距离

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1、2015.1.2.22015.2.2异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,与 的关系？CD AB思考：思考：,与 的关系？DC AB结论：结论：cos|cos,|a b|一、线线角：一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb所以 与 所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0,1),(,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111(,1)22 BD11cos,AF BD1111|AF BD

2、AFBD113041053421BD1AF3010例例一一：090,中，现将沿着Rt ABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中点、，ABACDF练习：练习：在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA1112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM1(0,8,4),AD10AM AD 1.ADAMADANM（2）求与平面所成的角.1(0,

3、0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M简解：简解：例例2 2：1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz2n BA ，直线与平面所成角的范围：0,2ABO,设平面 的法向量为，则与 的关系？nn BA思考：思考：结论：结论：sin|cos,|n AB 二、线面角：二、线面角：nnBAAB2nBA ，例例3 3：1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A，1(101)B，(110)C，设正方体棱长为设正方体棱长为1，1AB

4、 AD AA ，为单以以1(101)(110)ABAC，1(111)C，11(010)BC 则，1()ABCnxyz设为，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 则，0=10=-1xzxyn=(1-1-1)，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03313cos ，n BC111BCABC3所成的角的正弦值所与面为以3。三三.两平面间夹角两平面间夹角：ll 1n 1n 2n 2n 一进一出于一进一出于二面角，二二面角，二面角等于法面角等于法向量的夹角；向量的夹角；左边图左边图同进同出于同进同出于二面角，二面角，二二面角等于法面角等于法向量夹角的向量夹角的补

5、角补角右边图右边图cos12cos,n ncos12cos,n n12 0,0,2平面角中其中范围在内的在两个平面所成的二面角的，称为这两个平面那个角的夹角。两平面间夹角的范围两平面间夹角的范围：0,21l2lll三、两平面夹角：三、两平面夹角：法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos,n ncos12cos,n n注意注意法向量的方向相对于法向量的方向相对于二面角：一进一出，：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角1212|cos(

6、|n nnn 综上：其值大于或等于零）小结：小结：2112nn和设平面的法向量分别为，若两个平面的夹角为和，则 120,2n n 1 当时，12=,n n ，121212coscos,=此时：nnn nn n 12,2n n 2 当时，12=,n n 12121212coscos-,=cos n,=此时：nnn nnn n 两平面间夹角的计算两平面间夹角的计算过正方形过正方形ABCD的顶点的顶点A引引SA底面底面ABCD，并使并使平面平面SBC，SCD都与底面都与底面ABCD成成45度度角，角，(1)求两平面夹角求两平面夹角BSCD的大小？的大小？(2)求求面面SCD与面与面SAB所夹角大小所

7、夹角大小ABCDSOE060045法向量法！法向量法！A(0,0,0),C(1,1,0),1,0),D(0,(0,0,1)S1(0,1,0)SBAnAD易知面的法向量(1,0,0),(0,1,1)CDSD 2(,),SCDnx y z的法向量22,nCD nSD由得：设平面设平面00 xyz2(0,1,1)n 任取1212122cos,2|n nn nnn 4即所求两平面夹角为(),1O A AB ADSAAS ：设，建立空间直角坐标系,ABCDS解解(2)：以题意可得00,BASAB=90SBA=45SAlcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA四：二面角四：二面角：ll 1n

8、 1n 2n 2n 一进一出于一进一出于二面角，二二面角，二面角等于法面角等于法向量的夹角；向量的夹角；左边图左边图同进同出于同进同出于二面角，二面角，二二面角等于法面角等于法向量夹角的向量夹角的补角补角右边图右边图cos12cos,n ncos12cos,n n对于这类面面问题，看清楚问题问的是什么对于这类面面问题，看清楚问题问的是什么?法向量法法向量法 方向向量法：方向向量法：ll三、面面角：三、面面角：二面角的范围：0,法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos,n ncos12cos,n n注意注意法向量的方向相对

9、于法向量的方向相对于二面角：一进一出，：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD的大小？的大小？O 法向量法法向量法综合法（传统综合法（传统逻辑推理法）逻辑推理法）过正方形过正方形ABCD的顶点的顶点A引引SA底面底面ABCD，并使并使平面平面SBC，SCD都与底面都与底面ABCD成成45度度角，角，(1)求二面角求二面角BSCD的大小？的大小？(2)求求面面SCD与面与面SAB所成的二面角所成的二面角ABCDSOE0120004

10、5135或法向量法！法向量法！A(0,0,0),C(1,1,0),1,0),D(0,(0,0,1)S1(0,1,0)SBAnAD易知面的法向量(1,0,0),(0,1,1)CDSD 2(,),SCDnx y z的法向量22,nCD nSD由得：设平面设平面00 xyz2(0,1,1)n 任取1212122cos,2|n nn nnn 22即所求二面角得余弦值是(),1O A AB ADSAAS ：设，建立空间直角坐标系,ABCDS解(2)：以题意可得00,BASAB=90SBA=45SA(2)求求面面SCD与面与面SAB所成的二面角所成的二面角l将二面角转化为二面角的将二面角转化为二面角的两个

11、面的方向向量两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。夹角。如图，设二面角如图，设二面角 的大小为的大小为 ，其中其中l,ABl ABCDl CDcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA三、二面角：三、二面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围：0,已知在一个二面角的棱上有两个点已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱都垂直于棱AB，AB=4=4cm，AC=6=6cm，BD=8=8cm，CD=2 17cm，求二面角的度数，求二面角的度

12、数CDAB 222222()(2 17)6482cos,CDCA AB BDCA BDCA BD 解：，展开得，1cos,21cos,2CA BDAC BD 3E思路分析：向量加法，多边形法则，走封闭多边形路线思路分析：向量加法，多边形法则，走封闭多边形路线例例.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点，的中点，当当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),0(1baB解法一解法一(法向量法法向量法）：如图，以）：如图，以C为原点建立空间直角

13、坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为。设底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则故),21,23(1baaAB),0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba则可设 =1，则B(0,1,0)a22b31(,0)44D12(0,0,)2CyxzCADBC1B1A1设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm)0,43,43(DB)22,41,43(1DC由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解法一解法一（法向量法向量）在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向量为的一个法

14、向量为 BDC1),(zyxm 可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1nyxzCADBC1B1A1由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取)6,3,3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD1nm,cos =nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD1221CC B)0,21,23(aaA)0,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),0(1baB解法二解法二(方向向量方向向量）：如图，以）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间

15、直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为。设底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则故),21,23(1baaAB),0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba则可设 =1，则B(0,1,0)a22b31(,0)44D12(0,0,)2CyxzCADBC1B1A1FE作作 于于E,于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小1BCCE 1BCDF FDEC,CBCD1在在 中，中，BCCRt121222211abBCCCEBEC12CEEB 12(0,)33E12(0,)33EC 由于 且 ，所以 ACBDABCCC面1DCBD1在 中，同理可求 BDCR

16、t1)42,21,0(F312(,)444FD cos =FDEC,22463341FDECFDEC即二面角 的余弦值为 CBCD122yxzCADBC1B1A1FE,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面例：角的余弦值4ABCDSxzyA-xyz解：建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,0),(0,1)22CDSD 又2(,),SCDnx y z的法向量22,nCD nSD由得：设平面设平面0202yxy

17、z22yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3|n nn nnn63即所求二面角得余弦值是小结小结：1.异面直线所成角：cos|cos,|a b2.直线与平面所成角：sincos,n AB|ABCD1DABOnaban3.3.平面与平面夹角平面与平面夹角：ll 1n 1n 2n 2n 一进一出于一进一出于二面角，二二面角，二面角等于法面角等于法向量的夹角；向量的夹角；左边图左边图同进同出于同进同出于二面角，二面角，二二面角等于法面角等于法向量夹角的向量夹角的补角补角右边图右边图cos12cos,n ncos12cos,n n12 0,0,2平面角中其中范围在内的在两个平面所成的二

18、面角的，称为这两个平面那个角的夹角。两平面间夹角的范围两平面间夹角的范围：0,21l2l1212|cos(|n nnn 综上：其值大于或等于零）小结：小结：2112nn和设平面的法向量分别为，若两个平面的夹角为和，则 120,2n n 1 当时，12=,n n ，121212coscos,=此时：nnn nn n 12,2n n 2 当时，12=,n n 12121212coscos-,=cos n,=此时：nnn nnn n 两平面间夹角的计算两平面间夹角的计算ll4、二面角：、二面角：二面角的范围：0,法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12

19、n n ，cos12cos,n ncos12cos,n n注意注意法向量的方向相对于法向量的方向相对于二面角：一进一出，：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角lcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA4.4.二面角二面角：对于这类面面问题，看清楚问题问的是什么对于这类面面问题，看清楚问题问的是什么?方向向量法：方向向量法：OEFAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角定义：作二面角。以二面角棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成二面角的的角叫作平面

20、角.0二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是我们规定二面角大小的范围二面角的度为数，。0,0,2在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在内的角为这两个平面的夹角。平面间夹角的范围：平面间夹角的范围：0,2uv和和设平面的法向量分别为，若两个平面的夹角为，则 0,2u v 1 当时，u v coscos,=此时：u vu vu v =,u v，,2u v 2 当时，coscos-,=cos,=此时：u vu vu vu v u v=,u v uv和和设平面的法向量分别为，若两夹角平面的为个，则 0,=,2u vu v 1 当时，coscos,=此时：u vu vu v ,=,2u v

21、u v 2 当时，coscos-,=cos,=此时：u vu vu vu v|cos|u vuv 综上：小结：小结：例1、如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1与平面ABCD的夹角.)1,0,0(,:22111nnnABCDABCD则和分别是的法向量平面与设平面解xzA1D1C1B1ABCDOy00),(1111BCnBAnzyxn则设00 xzy即)0,0,1(),1,1,0(1BCBA因为A1(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),所以xzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角4,21nn此

22、时得取),1,1,0(1n.22|,cos212121nnnnnnxzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角则的法向量若取平面),1,1,0(111nABCD.22|,cos212121nnnnnn43,21nnxzA1D1C1B1ABCDOy.).2,0,1(),3,2,1(12211值求两个平面夹角的余弦的法向量为平面的法向量为平面练习nn、.1470|,coscos212121nnnnnn.1,2,3,4,2111111的余弦值求二面角上的点是已知中在长方体练习CEDCEBABEAAADABDCBAABCD、xzA1D1C1B1ABCDOyE)

23、2,3,4(,)0,0,3(,)0,3,0(,:11CEDzyxAAADABA则有空间直角坐标系轴的正向建立轴轴为分别为原点以解则有垂直与平面设向量,),(1DECzyxn 0),2,1,1(2),2,2(zzzzzn其中xzA1D1C1B1ABCDOyEzyxzyxyxECnDEn210230331)2,3,1()0,3,3(1ECDE于是36400411220101|cos,)2,0,0(,),2,1,1(10101101100AAnAAnCDECAAnCDEAADECnn的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取xzA1D1C1B1ABCDOyE12MNR1n2n

24、12MNR1n2n1212,;2n nn n 当0时1212,.2n nn n 当时=MRN为两个平面二面角的平面角 例2 正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中的中点，当点，当 时，求时，求的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCAB11DBCCBC平面与平面夹角CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC1(0,)Ba b 解：如图，以解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面。设底面三角形的边长为三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故),21,23(1baaA

25、B),0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba则可设 =1，则B(0,1,0)a22byxzCADBC1B1A1)0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB13 1(,)4 422CD 正三棱柱正三棱柱11,ABBC11DBCCBC平面与平面夹角可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1n)0,43,43(DB)22,41,43(1DC 在坐标平面在坐标平面yoz中中 1CC ByxzCADBC1B1A1设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm 由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 043

26、43yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取)6,3,3(mcos =nm,22233nmnm1122DBCCBC平面与平面夹角的余弦值为lPAsA,.lAsPl设 是过点 平行于向量 的直线是直线 外一定点,AAlAAldAA设垂足为则点 到直线 的距离 等于线段。lPAsA00|,|PAsPA sPAPA s 而向量在 上的等于线投影的大小投影段的长度 即是的大小一直角边202|sPAPAdl所以根据有点A到直股定理线勾的距离0=|ssss 要先求方向向量？再求？ABCDOxyzA1B1C1D1例例1、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1，BC

27、=2，AA1=3，求点B到直线A1C的距离。解：因为AB=1，BC=2，AA1=3所以A1(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0)ABCDOxyzA1B1C1D1;144|)4(111CACABCCABC上的投影在求1(3)(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0);BACCBC 求点到直线上一点的向量);0,2,1()2(1CCA上一点找到直线11A1 0,0,3,C 1,2,0,B 1,0,0(1)(1,2,3);ACAC 计算直线的方向向量求点B到直线A1C的距离21121|)5(CACABCBCdCAB的距离到直线求点ABCDOxyzA1B1C1D17352141642 35

28、7。二二 点到平面的距离点到平面的距离设是过点过点P垂直于向量 n 的平面,A是平面外一定点.APA1n设AA1,垂足为A1,则点A到平面的距离d 等于AA1的长度,APA1n所以点A到平面 的距离0n=|dPA nPAn 01|,PA nPAnAA 而向量在 上的等于线段的长度 就是所投影的大小求距离。例例2、如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)证明AC1是平面A1BD的法向量；(2)求点C1到平面A1BD的距离.ABCDOxyzA1B1C1D1解：据题意有A1(0,0,1),B(1,0,0)D(0,1,0),C1(1,1,1)ABCDOxyzA1B1C1D

29、1;,1111的法向量是平面即平面所以BDAACBDAAC,1111DAACBAAC从而,0)1,1,0()1,1,1(,0)1,0,1()1,1,1(1111DAACBAAC所以)1,1,0(),1,0,1(),1,1,1()1(111DABAAC因为ABCDOxyzA1B1C1D133232|11111ACACBCBDAC的距离为到平面所以点),1,1,0()2(1BC因为在平面 上取一点B1ABD平面1(1,1,1),AC APA1n的距离到平面点.0nPAd作业作业：一：交送课本一：交送课本P50 习题习题26A组#1，#5,#7B组#1，二：二：高中同步作业高中同步作业P47-48

30、例题例题1，例题，例题2 P49#7，#8 P50#7，#8补充补充：已知正方形：已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyz42 2DABCGFExyz(2,2,0),(2,4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 220242z0 xyxy 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 例例1课本P50思考与交流思考与交流1，求直线与平面间距离，求直线与平面间距离2，求平面与平面间距离，求平

31、面与平面间距离例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz二、求直线与平面间距离二、求直线与平面间距离|BE|2 11.11ndn 转化为点到平面的距离转化为点到平面的距离正方体正方体AC1棱长为棱长为1，求，求BD与平面与平面GB1D1的的距离距离A1B1C1D1ABCDXYZnnDDd1练习练习3:GBD平面平面GB1D1 例例3、正方体、正方体AC1棱长为棱长为1，求平面，求平面AD1C与平面与平面A1BC1的距离的距离A1B1C1D1ABCDXYZ三、求平面与平面间距离三、求平面与平面间距离nnADd转化为点到平面的转化为点到平面的距离，再转化距离，再转化.?练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnABd