第七章FIR数字滤波器的原理与设计

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1、宜春学院理工学院宜春学院理工学院内容提要内容提要n7.1 7.1 线性相移线性相移FIRFIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性n7.2 7.2 窗口法窗口法n7.3 7.3 频率取样法频率取样法n7.4 FIR7.4 FIR数字滤波器的优化设计数字滤波器的优化设计n7.5 IIR7.5 IIR数字滤波器与数字滤波器与FIRFIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较n习题及作业习题及作业学习目标学习目标n掌握线性相位FIR数字滤波器的特点n掌握窗函数设计法n理解频率抽样设计法n了解设计FIR滤波器的最优化方法n理解IIR与FIR数字滤波器的比较7.1 FIR7.1 FIR数字滤波器的差分方程、冲激响

2、应、系统函数及其数字滤波器的差分方程、冲激响应、系统函数及其零极点零极点 FIR数字滤波器是非递归的线性时不变因果系统，其差分方程为1.7)()(10Niiinxany系统的冲激响应为 2.7)1(1)()(11010NnananainanhNNii可见这个系统的冲激响应是有限长度的，即有限冲激响应（有限冲激响应（FIR）滤波器）滤波器。3.7)()()(10Niinxihny)1,1,0()(Niihai将代人（7.1）式得上式两边进行Z变换后，可得FIR滤波器的系统函数 4.7)()(110NnnNiiznhzihzXzYzH 1211)-N(21)0(NNNzhzNhzhzhzH可见，F

3、IR滤波器的系统函数的极点都位于z=0处，为N-1阶极点，与系数h(n)无关，因此FIR滤波器总是稳定的；而N-1个零点由冲激响应h(n)决定，可以位于有限z平面的任何位置。两种滤波器的比较两种滤波器的比较一、IIR DF的特点 1、DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。2、相位的非线性 H（Z）的频响：其中，是幅度函数，是相位函数。通常，与 不是呈线性的，这是IIR filter （无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了 它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道 具有线性相位特性。3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。,e)e(H)Z(H)e(H)(jjeZjj)e(Hj)

4、()(二、FIR DF的特点 1、单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIR DF一定 是稳定的。2、经延时，h（n）总可变成因果序列，所以FIR DF总 可以由因果系统实现。3、h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。4、FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的 应用，非线性的FIR一般不作研究。FIR与与IIR数字滤波器比较：数字滤波器比较：优点优点：（：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位产生相位失真，这一特点在失真，这一特点在 宽频带信号处理、阵宽

5、频带信号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中列信号处理、数据传输等系统中非常重要；非常重要；（2）可得到多带幅频特性；）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因定的延时，转变为因果序列，果序列，所以因果性总是满足；所以因果性总是满足；（5）无反馈运算，运算误差小。）无反馈运算，运算误差小。缺点缺点：（：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较 高的阶数高的阶数为代价；

6、为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，公式，要借助计算机辅助设计程序完成。要借助计算机辅助设计程序完成。7.2.1 线性相移线性相移FIR数字滤波器条件数字滤波器条件 所谓线性相移滤波器，也就是指其相移特性或频率响应的幅角是频率的线性函数，FIR数字滤波器频率响应为 5.710jjNnjnjeeHenheH1.恒时延滤波恒时延滤波相延时群延时所谓恒延时滤波就是要求相延时与群延时都是不随频率变化的常量。)(其中有 p ddg所谓时延是指信号通过所谓时延是指信号通过传输通道所需要的传输传输通道所需要的传输时间时间它是滤波器平

7、均延迟的它是滤波器平均延迟的一个度量一个度量它是滤波器某一频率延它是滤波器某一频率延迟的一个度量迟的一个度量7.2 线性相移FIR数字滤波器2.要求恒相延时与恒群延时同时成立要求恒相延时与恒群延时同时成立 O如图7.1，()的图像是一条经过原点的直线 1010sincosNnNnjnjnjnnhenheH时的图像图)(1.7式中 H()是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:1010cossincossinNnNnnnhnnhtg 6.70sin10Nnnnh由上式交叉相乘后利用三角函数恒等公式得满足上式的条件是 8.710,121NnnNh

8、nhN21Ngp上述条件下，就有)(即为一常数，恒相延时与恒群延时同时成立。如上所述，冲激相应h(n)关于中心点偶对称，由图7.2可见无论N是偶数还是奇数，对称中心都位于(N-1)/2，只是当N为偶数时，(N-1)/2不是整数。图图7.2 h(n7.2 h(n)为偶对称的情形为偶对称的情形3 只要求恒群延时成立只要求恒群延时成立相移特性为一条不经过原点的直线 10.70 10100cossinsincosNnNnnnhnnhctgtg 0cos10nnhNn其充要条件为()(1)01h nh NnnN 12N0/2 220 图7.3 相移特性曲线 如下图可见冲激响应关于中心点奇对称，无论N为奇

9、数还是偶数，对称中心都位于（N-1）/2；当N为奇数时有021Nh图图7.4 h(n7.4 h(n)为奇对称的情形为奇对称的情形 总之，线性相移FIR滤波器的必要条件是其冲激响应为偶对称或奇对称。7.1.2 线性相移线性相移FIR滤波器的网络结构滤波器的网络结构1.偶对称的情形偶对称的情形偶对称时nNhnh1)(a.N为偶数时，利用对称性可作如下化简为偶数时，利用对称性可作如下化简 14.71)()(120112011201212010NnnNnNnnNNnnNNnnNnnNnnzznhznNhznhznhznhznhzHb.N为奇数时，利用对称性可作如下化简为奇数时，利用对称性可作如下化简

10、15.72112121)()(21121011210121121012121121010NNnnNnNnnNNNnnNNnnNNnnNnnzNhzznhznNhzNhznhznhzNhznhznhzH 可见，以其偶对称性作这样的简化可以使可见，以其偶对称性作这样的简化可以使FIR滤波器比一般的直接型结构的滤波器比一般的直接型结构的乘法器乘法器减少一半减少一半。2.奇对称的情形奇对称的情形奇对称时nNhnh1)(nNnNnzznhzH1120 nNnNnzznhzH11210a.当当N为偶数时为偶数时b.当当N为奇数时为奇数时 可见，以其奇对称性作这样的简化可以使可见，以其奇对称性作这样的简化可

11、以使FIR滤波器比一般的直接型结构的滤波器比一般的直接型结构的乘法器乘法器减少近一半减少近一半。7.2.3 线性相移线性相移FIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应1.偶对称，偶对称，N为奇数为奇数 121021212121121012121)(NnnNnNNNNnnNnNhzznhzzNhzznhzH则其频率响应为则其频率响应为 1210212121cos2)(NnNjjNhnNnheeH jeeee2sin;2cosjez，且令nNn21 18.7cos21cos221)(2102112121NnNjNnNjjnnaeNhnnNheeH0212021)(nnNhnNhna)()()(jjeH

12、eH即的形式和幅度函数表示成相位函数将,)()()(HeHj)21()(N则：nnaHNn210cos)()(整体为实数整体为实数图图7.5 7.5 偶对称，偶对称，N N为奇数为奇数 该类滤波器适合于设计任何关于该类滤波器适合于设计任何关于 为偶对称为偶对称特性频率的滤波器。特性频率的滤波器。2,0，特点特点：对 皆为偶对称，所以幅度函数对 也是偶对称。2,0，2,0，ncos)(HnnaHNn10cos)()(1202121211201)()(NnnNnNNNnnNnzznhzzznhzH2.偶对称，偶对称，N为偶数为偶数其频率响应为其频率响应为 1202121cos2)(NnNjjnNn

13、heeH 则，且令,222nNhnbnNn 2121212121cos21cos22)(NnNjNnNjjnnbennNheeH2/1)21(cos)()(NnnnbH因此这种情况不适合做在 处不等于零的滤波器，如高通滤波器。特点特点：当 时，故 ，即 在 z=-1 为零点，且由于 对 呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。0)21(cosm)(H0)(H)(zH)21(cosm图图7.6 7.6 偶对称，偶对称，N N为偶数为偶数3.奇对称，奇对称，N为奇数为奇数推导方法与前面类似，可得：21,2,1),21(2)(NnnNhnc 211212sinNnNjnnce2/)1(1)sin()()(N

14、nnncH其幅频特性为211212sin212NnNjjnnNheeH图图7.7 7.7 奇对称，奇对称，N N为奇数为奇数 特点：特点：当 时，相当于 在 z=1和z=-1有两个零点，并且由于 对 呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。2,0)(H0)(H)(zH)sin(n2,02,0这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。2,04.奇对称，奇对称，N为偶数为偶数推导方法与前面类似，可得：21,2,1),2(2)(NnnNhnd 2121221sinNnNjjnndeeH其幅频特性为其幅频特性为/211()()sin2NnHd nn图图7.8 7.8 奇对称，奇对称，N N为

15、偶数为偶数这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。2,0 特点特点：当 时，相当于 在z=1处有一个零点；并且由于 对 呈奇对称、对 呈偶对称，因而 也对 呈奇对称、对 呈偶对称。2,0)(H0)(H)(zH)2/1sin(n2,02,0以上四种情况可以用统一的形式，即 HeeHjj其中 是H的实函数，相移由 决定，而 是的线性函数当h(n)为偶对称时，21N；当h(n)为奇对称时，212N图图7.97.9 4 4种类型的线性相位滤波器的种类型的线性相位滤波器的相位响应相位响应、时域幅度响应时域幅度响应和和频域幅度响应频域幅度响应的示意图。的示意图。总结 第一种情况，偶、奇，四种

16、滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。例例1 N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数H()。解：解：a(0)=h(2)=2 a(1)=2 h(3)=-1 a(2)=2 h(4)=-1 H()=2-cos-

17、cos2 =2-(cos+cos2)nnaHNn210cos)()(分析：为奇数，并且h(n)满足偶对称关系7.2.4 线性相移线性相移FIR数字滤波器的零、极点分布数字滤波器的零、极点分布线性相移FIR滤波器有 10101NnnNnnznNhznhzH，则令nNm1 11101101zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN zHzzHNz1即即)(zH则 也是 的零点。设 是 的零点，iz0)()(1)1(iNiizHzzH1iz)(zH当 为实数时，为实系数的多项式，此时 应是共轭成对的，则 也是零点。iziz)(nh)(zH所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，这所以线性相位

18、滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，这种共轭对共有四种种共轭对共有四种1）既不在单位圆上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对，如图 zi ，z*i，1/zi，1/z*i2）在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，zi,z*i图图7.10(a)7.10(a)零点分布零点分布3）不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点,zi,1/zi4）既在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以只有一个零点，只有两种可能，zi=1或zi=-1 线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设

19、计时遵循其约束条件。图图7.10(b)7.10(b)零点分布零点分布7.3 FIR数字滤波器的设计窗口法7.3.0 7.3.0 引言引言设计思路设计思路n(1)先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应Hd(ejw).n(2)设计一个可实现的FIR滤波器频率响应H(ejw)。n(3)由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想单位取样响应hd(n)如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 ，那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数 去逼近 ，逼近方法有三种：窗口设计法窗口设计法（时域逼近）频率采样法频率采样法（频域逼近）最优化设计最优化设计（等波纹逼近）时间窗口设计法是从单位脉冲响

20、应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获得10)(NnjnjenheH)(jdeH221)(onjjdddeeHnh)(jdeH 但一般来说，理想频响 是矩形频率特性，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的办法是直接截取一段 hd(n)代替 h(n)。这种截取等效于在hd(n)上施加了一个长度为N的矩形窗，h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段，因此，h(n)也可表达为h(n)和一个“窗函数”的乘

21、积，即 h(n)=w(n)hd(n)这一方法通常称为窗口设计法。)(jdeH设计步骤：设计步骤：)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj)()(nheHdjd设10)(NnjnjenheH1）由定义)()()2jeHnhDFT3）卷积插值7.3.1 窗口法的基本思想1 1、设计思想、设计思想 在时域，设计在时域，设计 逼近理想逼近理想)(nhd)(nh显然：显然：要得到一个“因果的有限长的滤波器因果的有限长的滤波器 ”，最直接的方法是截断 ，即用一个窗口函数 对 进行加窗处理，也就是：)(nhd)(nhd)(nwR)(nh)()()(nwnhnhRd 选择窗口函数的形状和长度

22、选择窗口函数的形状和长度是窗函数法的关键。设理想滤波器的单位脉冲响应为 ，则：deeHnhenheHjnjddjnndjd)(21)()()()(nhd若 给定，即可求得 。但所求得的 为无限长且非因果。)(nhd)(jdeH)(nhd下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程deenhccnjajd21)(0sin)()(sinannananananccc为一“以 为对称中心的、偶对称的、无限长的、非因果序列”。设理想低通滤波器的频率响应 为：ccajjdeeH0)()(jdeH其中 为滤波器的截止频率截止频率；为时时延常数延常数 单位脉冲响应为：caa图图

23、7.117.11理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取2/)1()()()(NanRnhnhNd要得到有限长的 ，最简单的方法是用一长为 的矩形窗 截断 。)(nhN)(nwR)(nhd)(nh2/)1(Na按照线性相位滤波器的要求，必须偶对称，如上图。对称中心必须等于滤波器的延时常数)(nh其它0211)(NannwR FIR滤波器的冲击响应h(n)的频响H(ejw)一定与理想的频响Hd(ejw)存在差异。22ccjdeH图图7.12 7.12 理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应7.3.2 7.3.2 理论分析理论分析 ，则，而的频响设

24、冲激响应nwnhnheHnhRdj32.721jRjdjeWeHeH 33.72sin2sin12/2/222221212121NeeeeeeeeeeeenweWnweWjjjNjNjjjjNjNjNNjnjnRjRRjR的频谱，有是矩形窗其中，可见，WR(ej)是的偶函数主瓣主瓣旁瓣旁瓣旁瓣旁瓣7.13 7.13 矩形窗的频谱矩形窗的频谱deWdeWeHeHccjRjRjdj21217.147.14矩形窗的卷积过程矩形窗的卷积过程Hd(ej)W(ej)H(ej)c-c00主瓣宽度:4pi/N过渡带宽-cc卷积最大旁瓣高度jeHNc4Nc2cNc2正肩峰正肩峰负肩峰负肩峰过渡带过渡带图图7.1

25、57.15 由由-c到到c区间曲线区间曲线WRej(-)下面积随下面积随取值变化演示取值变化演示图图7.167.16加矩形窗后的频响与理想频响的比较加矩形窗后的频响与理想频响的比较Nc2cNc2通带波动通带波动阻阻带带波波动动对对 加矩形窗处理后其频率响应将产生以下几点影响：加矩形窗处理后其频率响应将产生以下几点影响：)(nhd(1)当=0时，主瓣位于积分区间内，随着的移动不同大小的正、负旁瓣移出或移入积分区间，使得H(ej)的大小产生波动。012ccjjRH eWed)2(2)2sin()2sin()2sin()(NSaNNNRN主瓣附近窗的频率响应为：随着N的加大，振荡变密，主瓣变窄；主瓣

26、与旁瓣的幅度亦有所加大，但主瓣与旁瓣的相对比例不变（吉布斯现象）。(4)当2cN时，主瓣全部移出了积分区间，而面积最大的一个负值却还在此区间内，使得H(ej)取值最小值：-0.0895H(ej0)，称为下臂峰下臂峰。(5)=时，H(ej)随着区间内旁瓣的移动而在阻带内波动 另外，图7.16表示了0到范围内Hej变化的情况，0到的图形变化与此对称（如图7.17），且以2为周期。途中假定Hej01。在Nc2Nc2到为过渡带。(3)当=c时，即主瓣中心移到了c处，此时012cjjH eH e(2)当2cN时，整个主瓣仍在积分区间内，而面积最大且为负值的旁瓣有一个已完全移出区间，此时H(ej)取最大值

27、：-0.0895H(ej0)，称为上臂峰上臂峰。继续增大，主瓣移出积分区间，H(ej)迅速减小，进入过渡带过渡带。7.17由图可见，加矩形框后得到的滤波器的频响与理想频响之间存在差异，表现出肩峰、过渡带及在通带和阻带内的波动。只有肩峰和波动尽可能小，而且过渡带尽可能窄，才能更接近理想特性。（1）过渡带 过渡带的宽度等于窗口函数频谱的主瓣宽度。对于矩形窗口为4/N,因此，过渡带宽度与所选窗函数有关；而对于一定的窗函数，增加窗口长度N可以使过渡带变陡。（2）肩峰及波动 肩峰和波动是由旁瓣旁瓣引起的，旁瓣越多，波动越快快；旁瓣相对相对值越大，波动就越厉害，肩峰也越强。不同窗函数旁瓣不同，所以肩峰及波

28、动也与所选窗函数有关，而增加N只能改变坐标的比例坐标的比例及窗口频谱函数的绝对大小绝对大小，不会改变其相对比例，因而不能改变肩峰和波动的相对大小。？综上，窗口法设计FIR滤波器，h(n)长度N增大可使过度带变窄，而所选窗函数不仅影响过渡带的宽度，还能影响肩峰和波动的大小。选择窗函数的条件：选择窗函数的条件：（1 1）主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡；）主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡；（2 2）旁瓣相对主瓣越小越好，以使肩峰和波动减小；）旁瓣相对主瓣越小越好，以使肩峰和波动减小；（3 3）以上两者不可兼得，常常要根据需要进行折衷选择。）以上两者不可兼得，常常要根据需要进行折衷选择。光束*2.2

29、.三角形窗三角形窗(Bartlett Window)(Bartlett Window)121,122210,12)(NnNNnNnNnnw)4/sin()4/sin(2)(NNNeWj其频率响应为：主瓣宽度为：N/81.矩形窗矩形窗 othersNnnw,010,1othersNnNnnw,010)12cos(1 21)(，)12()12(25.0)(5.0)()()12()12(25.0)(5.0)()21(NWNWWWeWeNWNWWeWRRRajNjRRRj其频率响应 和幅度响应 分别为：)(jeW)(W 是三项矩形窗的幅度响应 的移位加权和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽

30、度比矩形窗的主瓣加宽了一倍，为。N/8)(W)(RW时当1N)()12cos(46.054.0)(nRNnnwN其幅度响应为：同汉宁窗的主瓣宽度 相同，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%N/8)12()12(23.0)(54.0)(NWNWWWRRR3 3、哈明、哈明(Hamming)(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗窗，又称改进的升余弦窗)()14cos(08.0)12cos(5.042.0)(nRNnNnnwN)14()14(04.0)12()12(25.0)(42.0)(NWNWNWNWWWRRRRR其窗函数中包含有余弦的二次谐波分量，幅度响应为：通过加入余弦的二次谐波分量

31、，可进一步降低旁瓣，但其主瓣宽度变为N/124 4、布莱克曼、布莱克曼(Blankman(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗窗，又称二阶升余弦窗下图为N=31时，矩形窗矩形窗、三角窗三角窗、汉宁窗汉宁窗、汉明窗汉明窗及布莱布莱克曼克曼这5种窗口函数的包络曲线下图为N=51时矩形窗矩形窗、汉宁窗汉宁窗、汉明窗汉明窗及布莱克曼布莱克曼4种窗口函数的幅度响应下图为N=5时用矩形窗矩形窗、汉宁窗汉宁窗、汉明窗汉明窗及布莱克曼布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应5 5、凯塞、凯塞(Kaiser)(Kaiser)窗窗10,)()1/(21 1()(020NnINnInw是一个可选参数，用来是一个可选参数

32、，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说之间的交换关系，一般说来，来，越大越大,过渡带越宽，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。阻带越小衰减也越大。210)2(!11)(kkxkxII I0 0()是第一类修正零阶是第一类修正零阶贝塞尔函数贝塞尔函数一般取1525项就可满足精度要求。若阻带最小衰减表示为As=-20lgs，的确定可采用以下经验公式：50)7.8(1102.05021)21(07886.0)21(5842.02104.0ssssssAAAAAA凯泽窗凯泽窗各种窗函数的主要性能窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰

33、减/dB矩形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-31-41-57-57244650.93.13.35.55-21-44-53-74-807.3.4、窗函数法的设计 1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数 基本参数表（P202表3）确定窗的形式及N的大小（4）最后求 及 2、设计举例)e(Hjd)e(HF)n(hjd1d)()()(nwnhnhd)e(Hj例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的 FIR 低通滤波器，具体要求：)e(Hjd,0,ecj其他;rad1,s12c并画出相应的频响特性解：（1）由于 是一理想LF，所以 可

34、以得出 （2）确定N 由于相位函数 ，所以 呈 偶对称，其对称中心为 ，因此 )e(Hjd)n(hd)n()n(sin)n(hcccd)()n(hd2/)1N(2512N)12n()12nsin(1)n(hd（3）加矩形窗)()()()()(25nRnhnwnhnhdd24,2,1,0n),12n(/)12nsin(则有可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心122/)1N(31831.0)12(14472.0)14()10(06022.0)16()8(01482.0)18()6(03936.0)20()4(01931.0)22()2(;01423.012/12sin)24()0(hhhh

35、hhhhhhhhh26785.0)13(h)11(h01497.0)15(h)9(h06104.0)17(h)7(h02987.0)19(h)5(h01457.0)21(h)3(h02893.011/11sin)23(h)1(h)n(hn1224由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以)(H 121n2/)1n(1n2/)1N(0n)ncos()n12(h2)12(h)ncos()n21N(h2)21N(h)ncos()n(a例如 H（0）=0.94789，可以计算 的值，画如下图)(H（4）加汉宁窗 由于 可以求出序列的各点值240),242cos(1 21)(nnnw1)12(9330.

36、0)14()10(75.0)16()8(5.0)18()6(25.0)20()4(06698.0)22()2(0)24()0(wwwwwwwwwwwww9829.0)13()11(85355.0)15()9(62940.0)17()7(37059.0)19()5(1464.0)21()3(01903.0)23()1(wwwwwwwwwwww通过 可求出加窗后的h（n）)()()(nwnhnhd31831.0)12()12()12(whhd13502.0)14(h)10(h04516.0)16(h)8(h00741.0)18(h)6(h00984.0)20(h)4(h00116.0)22(h)2

37、(h0)24(h)0(h26326.0)13(h)11(h1277.0)15(h)9(h003841.0)17(h)7(h01107.0)19(h)5(h00213.0)21(h)3(h00049.0)23(h)1(h相应幅度函数可用下式求得：121n)ncos()n12(h2)12(h)(H如H（0）=0.98460，图如下/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 250dB解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为 ，421.5 10(/sec)srad 321.5 10(/sec)prad 通带截止频率为 ，323 10(/sec)strad

38、阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示2）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf()11()22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/220.3psts 2()0.540.46cos()1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2AN1162N4）确定N 值250dB3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）6.6N海明窗带宽：5）确定FIR滤波器的h(n)()()()dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos()1616nnRnn6）求 ，验证()jH e若不满足，则改变N或窗形状重新设计5

39、、线性相位FIR高通滤波器的设计()()1()2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通滤波器全通滤波器低通滤波器其单位抽样响应：12N()0jjcdeHe其它理想高通的频响：6、线性相位FIR带通滤波器的设计1221()()1()2jnjndh neded21211sinsin1nnnnn1221(,)=()()带通滤波器低通滤波器低通滤波器其单位抽样响应：120()0jjdeHe其它理想带通的频响：12N7、线性相位FIR带阻滤波器的设计2112()()()1()2jnjnjndh nededed12121sinsinsin1nnnnnn1221

40、()=()()带阻滤波器，高通滤波器+低通滤波器其单位抽样响应：12N120,()0jjdeHe 其它理想带阻的频响：4.设计举例设计举例利用凯泽窗设计一利用凯泽窗设计一FIR低通低通filter，要求，要求解：解：2.04.06.0ps6010lg20lg203A65326.5)7.860(1102.050)7.8(1102.05021)21(07886.0)21(5842.02104.0ssssssAAAAAA6.0,4.0,001.0sp经验公式：经验公式：,22.3712.0285.2/)860(N取取38将将N=38,=5.653代入代入 表达式，得表达式，得)(nWk)()()65

41、3.5()37(3065.0()(0000IxIInnInWknx)(nWk)()(00IxI)(0 xI0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.155 32 3.8656 10.11 0.2067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44

42、0.3362 0.349 28 4.8512 23.83 0.4873 0.49)()(00IxI17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98nx)(nWk)(0 xI10 27 5.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.8615 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0

43、.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.000481216181925293337215.02/)4.06.0(2/)(psc)(2sin)()()()(sin)(00nWyyIxInnnhkcyy2sinyy2sin)(nWkn012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.070.110.150.210.27-0.000240.0005160.00096-0.0016-0.00230.00350.0049 yy2sin)(nh 789101112131430292

44、82726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.0431516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45)(nh的图形如右所示的图形如右所示7-4、频率抽样法、频率抽样法一、设计思想一、设计思想窗函数设计法是从时域出发，把理想的窗函数设计

45、法是从时域出发，把理想的 用一定用一定形状的窗函数截取成有限长的形状的窗函数截取成有限长的 ，以，以 来近似来近似 )(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jeH从而使频响从而使频响 近似理想频响近似理想频响 。频率取样法是从频域出发，对频率取样法是从频域出发，对理想的频响理想的频响 )(jdeH进行等间隔取样进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响，以有限个频响采样去近似理想频响)(jdeH，即：，即：，)(jdeH)(jdeH)(nhd)(jdeH)(nh)(nh等间隔取样等间隔取样并且并且二、利用二、利用N个频域采样值重构个频域采样值重构FIR的系统函数与频响的系统函数与频响1.重

46、构重构FIR的的单位抽样响应的的单位抽样响应h(n)根据频域抽样理论，由根据频域抽样理论，由N个频域采样点个频域采样点可以唯一确定可以唯一确定h(n),即对即对 H(k)进行进行IDFT1,.,1,0),()(NkkHkHd)()(2kHeHdkNjd2.重构系统函数重构系统函数H(Z)NjNeW/21101/21010/21010/2101011)(111)(1)(1)(1)()(ZWZkHNZeZkHNZekHNZekHNZnhZHkNNNkNnkjNNknNnNnkjNknNkNnkjNnNnn1,.,1,0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj3.FIR的频响的频响将将 代入

47、代入 表达式可得表达式可得其中其中,为大家所知的内插函数为大家所知的内插函数.)()(2/)/2sin()2/sin()(11)1)(1)(10)21(1010/2jkNkNkNjNkNkjNnkjNjjekHeNkNkHNeeekHNeH)21(2/)/2sin()2/sin(1)(NkNjjkeNkNNejeZ)(ZH分析分析 可知，当可知，当 时（采样点）时（采样点）有：有：这说明，重构的频响这说明，重构的频响 ，在采样上严格等于，在采样上严格等于H(k),而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。三、线性相位的约束条件三、线

48、性相位的约束条件以以h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数的情况进行分析为奇数的情况进行分析.1.FIR的频响具有线性相位的一般表达式的频响具有线性相位的一般表达式)(jke1,.,1,0,2NiiN1,.,1,0,0,1)(2NikikieNijk)(jeH当当h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数时，则为奇数时，则而且幅度函数而且幅度函数 应为偶对称，即应为偶对称，即2.采样值采样值H(k)具有线性相位的约束具有线性相位的约束)21()()(NjjeHeH)(H)2()(HHkkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(2其中，其中，表示采样值的模（纯标量），表示采样值的模（纯标量），表示

49、表示其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：而且，而且，必须满足偶对称，即必须满足偶对称，即)2(kNHHkk)11(221NkkNNkkNkHHkH四四.设计步骤设计步骤1.根据指标要求，根据指标要求，画出频率采样序列的图形；画出频率采样序列的图形；2.依据依据 的对称特点，可以使问题得以简化；的对称特点，可以使问题得以简化；3.根据线性相位的约束条件，求出根据线性相位的约束条件，求出 ；4.将将 代入代入FIR的频响表达式；的频响表达式；5.由由 的表达式画出实际的表达式画出实际 频响。频响。kHkkjkeHkH)(kH四四.设计举例

50、设计举例例例 试用频率采样法，设计一个具有线性相位试用频率采样法，设计一个具有线性相位的低通的低通FIR数字数字filter，其理想频率特性为：，其理想频率特性为：已知已知 ，采样点，采样点N=33.5.0,05.00,1)(jdeH5.0c由于由于h(n)为偶对称，且为偶对称，且 N=33为奇数，所以为奇数，所以 对于对于是偶对称。所以上图可画一半（到是偶对称。所以上图可画一半（到 ）截止频率截止频率，即，即解解：5.0c33183316ckH相位约束条件：相位约束条件：而而 为为将将 代入代入FIR的频响，得的频响，得33/32)11(kNkkkH258,03225,80,1kkkHk33

51、/32)(kjjkeeHkHk考虑到考虑到 时，时，所以将负频部分加进去，所以将负频部分加进去有：有：16320)3316(3332320)21(102/)33/2sin()2/33sin(3312/)33/2sin()2/33sin(3312/)/2sin()2/sin()(1)(jkkjkjkNkNjNkjekkeekeNkNkHNeH258 k0kH1681)33/2/sin()2/33sin()33/2/sin()2/33sin()2/sin()2/33sin(331)(jkjekkkkeH的图形如下所示：的图形如下所示：)(jeH5.00)(jeH五、IIR和FIR数字滤波器的比较IIR滤波器FIR滤波器nh(n)无限长nh(n)有限长n极点位于z平面任意位置n滤波器阶次低n非线性相位n递归结构 n不能用FFT计算n可用模拟滤波器设计n用于设计规格化的选频滤波器n极点固定在原点n滤波器阶次高得多n可严格的线性相位n一般采用非递归结构n可用FFT计算n设计借助于计算机n可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器