立体几何_证明题

《立体几何_证明题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何_证明题（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、(文)如图，已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADDC,AB/DC,DC=DD1=2AD=2AB=2.求证：DB平面B1BCC1;设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E/平面A1BD,并说明理由.解析(1)证明：.AB/DC,ADDC,.ABAD,在RtABD中，AB=AD=1,.BD=2,易求BC=寸2,又.CD=2,BDBC.又BDBB1,B1mBC=B,BDL平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点.DE/AB,DE=AB,四边形ABED是平行四边形.AD统BE.又AD统A1D1,BE统A1D1,四边形A1D1EB是平行四边形.D1E/A1B.D1E?平面A1BD,A1B

2、?平面A1BD.D1E/平面A1BD.12.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC,SGSAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF内的位置关系，并给予证明分析如图，观察图形，即可判定SG/平面DEF,要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行.观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H,连结FH,FH就是适合题意的直线.S怎样证明SG/FH?只需证明H是CG的中点.B证法1：连结CG交DE于点H,DE是ABC的中位线，DE/AB.在ACG中，D是AC的中点，且DH/AG,H为CG的中点.FH是SCG的中位线，FH/SG.又SG

3、?平面DEF,FH?平面DEF,SG/平面DEF.分析2:要证明SG/平面DEF,只需证明平面SAB/平面DEF,要证明平面DEF/平面SAB,只需证明SA/DF,SB/EF而SA/DF,SB/EF可由题设直接推出.证法2:.EF%SBC的中位线，EF/SB.EF?平面SAB,SB?平面SAB,EF/平面SAB.同理：DF/平面SAB,EFADF=F,平面SAB/平面DEF,又SG?平面SAB,SG/平面DEF.例11试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.已知：A?平面a,求证：过A有且只有一个平面3/a.分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一

4、不可.证明：在平面a内任作两条相交直线a和b,则由A?平面a知，A?a,A?b点A和直线a可确定一个平面M,点A和直线b可确定一个平面N.在平面M、N内过A分别作直线a/a,b/b,故a、b是两条相交直线，可确定一个平面3.a?a,a?a,a/a,a,IIa.同理b/a.又a?6,b?6,aCib=A,。a.所以过点A有一个平面3/a.假设过A点还有一个平面丫/a,则在平面a内取一直线c,A?c,点A、直线C确定一个平面p,由公理2知:gdp=m,=n,mIIc,nIIc,又A?m,A?n,这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面6只有一个.所以过平面外一点有且

5、只有一个平面与已知平面平行.(1) 例9如图所示，平面a/平面3，点A、CCa，点B、DC。，AB=a是a、。的公垂线，CD是斜线.若AC=BD=b,CD=c,M、N分别是AB和CD的中点，求证：MN/6;求MN的长.9分析：要证MN/6,取AD的中点P,只要证明MN所在的平面PMN/3为此证明PM/。，PN/6即可.要求MN之长，在CMA中，CM、CN的长度易知，关键在于证明MNCD,从而由勾股定理可以求解.证明：(1)连结AD,设P是AD的中点，分别连结PM、PN.M是AB的中点，PM/BD.又BD?6,PM/3同理N是CD的中点，PN/AC.AC?a,PN/a.a/3,PNAPM=P,.

6、平面PMN/6.MN?平面PMN,MN/3.说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略.(2) 空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解.(3) 面面平行的性质：面面平行，则线面平行；面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行.8.设平面a上平面丫，平面6上平面丫，且a、3分别与丫相交于a、b,a/b.求证：平面a/平面3.分析：要证明两平面平行，只要设法在平面a上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与6平行(如图)证明：在平面a内作直线PQX直线a,在平面6内作直线MN直线b.平面a上

7、平面丫，PQL平面丫，MNL平面丫，PQ/MN.y.-allb,PQna=Q,MNnb=N,平面a/平面3.说明：如果在a、3内分别作PQ丫，MN上丫，这样就走了弯路，还需证明PQ、MN在a、。内，如果直接在a、6内作a、b的垂线，就可推出PQ/MN.由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”.其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要.6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A?,B?,C?,D?,且A?,B?,C?,D?互不重合，也无三点共线.求证：四边形A?B?C?D?是平行四边形.证明：

8、AA?La,DD?aAA?/DD?不妨设AA?和DD?确定平面6同理BB?和CC?确定平面丫.又AA?/BB?,且BB?丫AA?/丫同理AD/丫又AA?nAD=A6/丫又aA3=A?D?,aAy=B?C? A?D?/B?C?同理A?A?/C?D?四边形A?B?C?D?是平行四边形.例4:已知平面a/3,AB、CD为夹在a,6间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点.求证：EF/a,EF/3证明：连接AF并延长交6于GAGnCD=FAG,CD确定平面丫，且丫Pla=AC，丫Cl6=DGa/6,所以AC/DGZACF=ZGDF.ACFAGDFAF=FG又AE=BEEF/BG,BG?3因此EF/3

9、同理EF/a说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理209.长方体ABCDA?B?C?D?中，AB?与A?D所成的角为a,AC与BC?所成的角为。，A?C?与CD?所成的角为丫。求证：a+。+丫=兀解析：作如图的辅助线则ZAB?C为AB?与A?D所成的角/AB?C=a.AB/=A?B?/=C?D?BC?/AD?,故ZD?AC为AC与BC?所成的角ZD?AC=3.AA?/=DD?/=CC?,A?C?/AC./D?CA即为A?C?与CD?所成的角/D?CA=丫在ACD?和左ACB?中，AB?=CD?,B?C=D?A,AC=CA.ACDCAB?，故ZAB?C=ZAD?C,故ZAD?C=a在AD

10、?C中，ZAD?C+ZD?CA+ZD?AC=tt即：a+6+Y=7t231.如图235:在空间四边形ABCD中，已知BC=AC,AD=BD,弓IBECD,E为垂足，作AHBE于H,求证:AHL平面BCDo解析：要证AH平面BCD,只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。证明：取AB中点F,连结CF、DF,.AC=BC,CFAB,又AD=BD,DFAB,.AB上平面CDF,又CD?平面CDF,.CDAB又CDBE,CD平面ABE,CDAH又AHBE,.AHL平面BCD。点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以

11、双向使用，即直线a垂直于平面a内的任何直线,贝UaLa,反之，若aLa,贝Ua垂直于平面a内的任何直线。153.已知矩形ABCD的边AB=?,BC=a,PAX平面ABCD,PA=1,问BC边上是否存在点Q,使得PQLQD,并说明理由.B/C/解析：连接AQ,因PAX平面ABCD，所以PQQD?AQQD,即以AD为直经的圆与BC有交点.当AD=BC=aAAB=1,即a1时，在BC边上存在点Q,使得PQLQD当0a2MA求证：平面EFG平面PDC;SAX底面ABCD,P为BC边的中点，AD=2,SA=AB=1.（10北京）如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形,求证：PDX平面SAP;（2）求三棱锥

12、SAPD的体积.解析(1)-SAX平面ABCD,PD?平面ABCD,SAPD,在矩形ABCD中，AD=2,AB=1,P为BC中点,APPD,.咱如AP=A,PD平面SAP.（10山东）如图，矩形ABCD中，AD平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点，且BF平面ACE.求证：AEL平面BCE;解析.AD上平面ABE,AD/BC,BCL平面ABE,.AEBC,又.BFL平面ACE,.AEBF,又.BFnBC=B,.AEL平面BCE.如图，？是左ABC所在平面外的一点，且PM平面ABC，平面PA/平面PBC求证BCLAC.分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线

13、中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作AtUPC,交PC于D.因为平面PA/平面PBC于PC,AD?平面PAG且ADLPC,所以AN平面PBC.又因为BC?平面PBG于是有AtUBC.另外PH平面ABCBC?平面ABG所以PMBC.由及A”PA=A,可知BCL平面PAC因为AC?平面PAG所以BCLAC.说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到,面面垂直？线面垂直？线线垂直.如图，在四面体ABCD中作截面PQR,PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的延长线交于K。求证：M

14、、N、K三点共线.分析：PQnCB=McM.N.KBCD-RQADB=N?M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K二点共线.RPADC=KM.N.KPQR如图，已知平面a,3，且a口3=l.设梯形ABCD中，AD/BC,且AB?a,CD?3.求证：AB,CD,l共点（相交于一点）.证明：梯形ABCD中，AD/BC,AB,CD是梯形ABCD的两条腰,AB,CD必定相交于一点.如图，设ABACD=M. 又AB?a,CD?3,Ma,且M3,MaA3.又aA3=l,-Ml,即AB,CD,l共点.在四面体ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EFnGH=P,求证

15、：B、D、P三点共线.证明：AB,FAD,EF?平面ABD,同理，GH?平面BCD，又EFAGH=P,PC平面ABD,PC平面BCD,而平面ABD口平面BCD=BD,PC直线BD，即B、D、P三点共线.10.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点.求证：EF和AD为异面直线解析：假设EF和AD在同一平面a内，（2分），则A,B,E,FCa;（4分）又A,EAB,AB?a,.Ba,（6分）同理CCa（8分）故A,B,C,DCa，这与ABCD是空间四边形矛盾。EF和AD为异面直线.D1A111.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H,M,N分别是正方体的棱A1A,AB,B

16、C,CC1,C1D1,的中点，试证:E,F,G,H,M,N六点共面.解析：.EN/MF,EN与MF共面a,（2分）又EF/MH,EF和MH共面6.（4分）.不共线的三点E,F,M确定一个平面，（6分）平面a与6重合，.,点Ha。（8分）同理点Ga.（10分）故E,F,G,H,M,N六点共面.25如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OEL平面ACD1./jlCi说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦

17、定理的应用.26如图，在ABC中，/B=90,SAX平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为M、N,求证：MNSC.分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想.欲证MNSC,可证SC上面AMN，为此须证SCAN，进而可转化为证明AN平面SBC,而已知ANSB,所以只要证ANBC即可.由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直.说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的.本题若改为下题，想想如何证：已

18、知SALOO所在平面，AB为。O的直径，C为。O上任意一点(C与A,B不重合).过点A作SB的垂面交SB、SC于点M,N,求证：ANSC.27如图所示，直角ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.(1) 求证：点S与斜边AC中点D的连线SDL面ABC;若直角边BA=BC,求证：BD上面SAC.分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直.说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直.寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等.28如图所示，已知平面a口平面6=EF,A为也、&外一点，ABLa于B,AC于C,

19、CD上a于D.证明：DBEF.分析：先证A、B、C、D四点共面，再证明EF平面ABCD，从而得到BDEF.说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论.即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直.本题证明“A、B、C、D四点共面”非常重要，仅由EFX平面ABC,就断定DBEF,则证明是无效的.29如图所示，/BAC=90.在平面a内，PA是a的斜线，/PAB=ZPAC=60.求PA与平面a所成的角.分析：求PA与平面a所成角，关键是确定PA在平面a上射影AO的位置.由/PAB=ZPAC,可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO位置，构造直

20、角三角形则需用三垂线定理.4530如图所示，在平面6内有ABC，在平面6外有点S,斜线SAAC,SBBC,且斜线SA、SB分别与平面。所成的角相等，设点S与平面6的距离为4cm,ACBC,且AB=6cm.求点S与直线AB的距离.分析：由点S向平面6引垂线，考查垂足D的位置，连DB、DA,推得DAAC,DBBC,又ZACB=90,故A、B、C、D为矩形的四个顶点.5cm说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1) 若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求.(2) 若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与

21、斜足的距离为点到直线的距离.(3) 处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算.31如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分别于点E、F、G,求证：AESB,AGSD.分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想.由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可.欲证AESB,可证AEL平面SBC,为此须证AEBC、AESC,进而转化证明BOX平面SAB、SCL平面AEFG.说明：（1）证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性

22、质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直.（2）本题的证明过程中反复交替使用线线垂直”与线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性.33如图，已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,弓IBECD,E为垂足，作AHBE于H,求证：AH平面BCD.分析：若证AHL平面BCD,只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可.34如果平面a与a外一条直线a都垂直b,那么a/a.已知：直线a?a,aLb,bLa.求证:a/a.分析：若证线面平行，只须设法在平面a内找到一条直线a,使得a/a,由线面平行判定定理得证.证明：（1）如

23、图，若a与b相交，则由a、b确定平面6,设6口济=a（2）如图,若a与b不相交，则在a上任取一点A，过A作b7/b,a、b确定平平面。，设。口a=a35设a,b为异面直线，AB为它们的公垂线若a,b都平行于平面a,贝UABa;若a,b分别垂直于平面a、6,且aA3=c,则AB/c.分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明ABLa；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB/C.图1图2证明：（1）如图1,在a内任取一点P,设直线a与点P确定的平面与平面a的交线为a,设直线b与点P确定的平面与平面a的交线为b（2）如图2,过B作BBLa,贝UBB/a,则ABB

24、B又.ABb,AB垂直于由b和BB确定的平面.b。，bc,BBLa,.BBc.c也垂直于由BB和b确定的平面.故c/AB.说明：由第（2）问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直.如题中，通过作出辅助线BB，构造出平面，即由相交直线b与BB确定的平面.然后借助于题目中的其他垂直关系证得.36如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF为异面直线A1D与AC的公垂线，求证：EF/BD1.分析：证明EF/BD1,构造与EF、BD1都垂直的平面是关键.由于EF是AC和A1D的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用.37如图，已知？为ABC外一

25、点，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=a,求P点到平面ABC的距离.B分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长.因此点P到平面ABC的距离（三分之根号3倍的a）.说明：（1）求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.（2）求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识.（3）点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同

26、学们在学习过程不断总结.(理)在三棱锥PABC中，APAC和PBC是边长为吏的等边三角形，AB=2,O是AB中点.在棱PA上求一点M，使得OM/平面PBC;(2) 求证：平面PABL平面ABC;(3) 求二面角PBCA的余弦值.解析(1)当M为棱PA的中点时，OM/平面PBC.证明如下：-M、O分，别为PA、AB中点，OM/PB又PB?平面PBC,OM?平面PBCOM/平面PBC.连结OC、OP.AC=CB=塞,O是AB中点,AB-=2,.OCAB,OC=1.同理，POAB,PO=1.又PC=y/2,.PC2=OC2+PO2=2,.ZPOC=90,.POOC.POLOC,POAB,AMOC=O

27、,.PO平面ABC.PO?平面PAB,平面PABL平面ABC.(3)如图，建立空间直角坐标系Oxyz.则B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),.BC=(1,1,0),PB=(1,0,-1).由知OP=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),nBC=0x+y=0?,nPB=0x-z=0令z=1,贝Ux=1,y=1,.n=(1,1,1).cosOP,n=、=-V=戒|OP|n|1站.二面角PBCA的平面角为锐角，所求二面角PBCA的余弦值为乎.（文）如图，在BCD中，ZBCD=90,BC=CD=1,AB平面BCD,ZADB=60,E、F分别

28、是AC、AD上的动点,AEAF且777=a卜=入（0入1）ACAD(1) 判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；是否存在入使得平面BEFX平面ACD，如果存在，求出入的值，如果不存在，说明理由.AEAF分析(1)EF与平面ABC相交于点E,故其关系只能是垂直或斜交，由条件冰=京=入易知，EF/CD,由ZBCDACAD=90及ABL平面BCD，易证CD平面ABC.(2)EF/CD,故问题相当于过点B作一个平面与ACD垂直，这样的平面一定存在，故只须计算出入即可，由条件不难得到BECD,故只须BEAC.解析EF平面-ABC.AEAF、.、777=7=入（0入1）ACAD证明：因为ABL平面BC

29、D，所以ABCD,又在BCD中，/BCD=90，所以BCCD,又A协BC=B,所以CD上平面ABC,又在ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且EF/CD,EFL平面ABC.（2）.CDL平面ABC,BE?平面ABC,BECD,在RtABD中，ZADB=60,.AB=BDtan60=班，则AC=寸AB2+BC2=中,当BEAC时，BE=ABBC=串，AC.7AE=VAB2BE2=36：36则Ac=品=6,即日AC=6时，BE1AC，又BECD,ASCD=C,.二BEL平面ACD,BE?平面BEF,.平面BEFL平面ACD.所以存在入，且当入=7时，平面BEFL平面ACD.点评高考整体降低了对立体几何的考查要求，故线线、线面、面面的位置关系成了主要的考查点，其中平行、垂直的证明题与探索题是重点，同时也要注意由三视图与几何体的结合进行表面积与体积的计算等问题.