1712圆锥曲线的基本性质

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1、高中数学专题教学研习讲稿高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客： 邮箱：anson_top专题： 圆锥曲线的基本性质& 基本知识点（Level A）【1】中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程1定义（1）第一定义：若、是两定点，为动点，且 （为常数）则点的轨迹是椭圆（2）第二定义：若为定点，为定直线，动

2、点到的距离与到定直线的距离之比为常数（），则点的轨迹是椭圆（3）焦半径：，2标准方程：（1）焦点在轴上： ；焦点在轴上： （2）焦点的位置标准方程形式3几何性质（以焦点在轴上为例）（1）范围： 、（2）对称性：长轴长，短轴长，焦距（3）离心率，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁；准线方程（4）有用的结论：， ，顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与有关（5）中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、，有关角结合起来，建立、等关系（6）椭圆上的点有时常用到三角换元：（椭圆的参数方程）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为 答案：（2）若，且，则的最大值是 ，的最

3、小值是 答案：（3）若椭圆的离心率，则的值是 答案：或（4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为时，则椭圆长轴的最小值为 答案：【2】中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质1定义：（1）第一定义：平面上一动点到平面上两个定点、的距离差为定值，且，则点轨迹为双曲线（2）第二定义：若动点到定点与定直线的距离之比是常数（），则动点的轨迹是双曲线（3）焦半径（点在右支）：，2标准方程（1）焦点在轴上： ；焦点在轴上： （2）焦点的位置标准方程形式3几何性质（以焦点在轴上为例）（1）范围：或、（2）对称性：实轴长，虚轴长，焦距（3）离心率等轴双曲线；越小，开口越小；越大，开口越大；准

4、线方程（4）渐近线方程：（5）等轴双曲线：当离心率两渐近线互相垂直，分别为，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；（6）注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程 答案：（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则的方程为 答案：（3）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于 答案：或（4）双曲线的离心率为，则 答案：或（5）设双曲线中，离心率,则两条渐近线夹角的取值范围是 答案：【3】顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质1定义：到定点与定直线的距离相等的点的轨迹

5、是抛物线即：到定点的距离与到定直线的距离之比是常数（）2标准方程（以焦点在轴的正半轴为例）：（其中为焦点到准线的距离焦参数）开口向右时；开口向左时；开口向上时；开口向下时3几何性质，以为例：（1）范围：；焦点：，通径，准线：；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点；离心率：焦半径：；过焦点弦长（2）几何特征：焦点到顶点的距离；焦点到准线的距离；通径长（通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点（3）抛物线上的动点可设为或或，其中_ 经典案例 有疑问随时mail例：设，则抛物线的焦点坐标为 答案：【4】圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）（1）椭圆：由,分母的

6、大小决定，焦点在分母大的坐标轴上（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向特别提醒： 在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点、的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型；而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向 在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，_ 经典案例 有疑问随时mail例：已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 答案：【5】点和椭圆（）的关系（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆

7、内【6】焦点三角形椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为1在椭圆中： ，且当即为短轴端点时，最大为； ，当即为短轴端点时，的最大值为2对于双曲线的焦点三角形有： ； _ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于、两点，则的周长为 答案：（2）设是等轴双曲线右支上一点，、，是左右焦点，若，则该双曲线的方程为答案：（3）椭圆的焦点为、，点为椭圆上的动点，当时，点的横坐标的取值范围是答案：（4）双曲线的虚轴长为，离心率，、是它的左右焦点，若过F1的直线

8、与双曲线的左支交于、两点，且是与等差中项，则答案：（5）已知双曲线的离心率为，、是左右焦点，为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程答案：& 拓展知识点（Level B）【1】定义解题（1）椭圆：第一定义：平面上一动点到平面上两个定点、的距离和为定值，且，则点轨迹为椭圆（2）双曲线：第一定义：平面上一动点到平面上两个定点、的距离差为定值，且，则点轨迹为双曲线（3）三种圆锥曲线的统一定义：，为椭圆；为抛物线；为双曲线【2】过两点的椭圆、双曲线标准方程的设法（1）“中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程”或者“过两点的椭圆、双曲线标准方程”可设为（，同时大于时表示椭圆，时表示双曲线）方程表示

9、椭圆的充要条件是：，且、，同号且方程表示双曲线的充要条件是：，且、异号（2）当双曲线的实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为（3）若双曲线与有公共渐近线，即以为渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上；，焦点在轴上）_ 经典案例 有疑问随时mail例：与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为 答案：& 深化知识点（Level C）【1】圆锥曲线中的精要结论椭圆（1）内接矩形最大面积：； （2），为椭圆上任意两点，且，则 （3）椭圆焦点三角形：i ；ii点 是内心，交于点，则（4）当点与椭圆短轴顶点重合时最大（5）共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程（是大于的参数，的离心率

10、也是，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程【2】圆锥曲线中的精要结论双曲线（1）双曲线的渐近线：（2）共渐进线的双曲线标准方程为（为参数，）（3）双曲线焦点三角形：1），（）；2）是双曲线的左（右）支上一点，、分别为左、右焦点，则的内切圆的圆心横坐标为（4）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为 （渐近线互相垂直），离心率（5）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为（6）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：（7） 若在双曲线，常用结论1：到焦点的距离为，则

11、到两准线的距离比为简证：常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于（8）直线与双曲线的位置关系：过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：区域：即点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，条与双曲线一支相切的切线，条与渐近线平行的直线，合计条；区域：即定点在双曲线上，条切线，条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：即点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，条切线，条与渐近线平行的直线，合计条；区域：即点在两条渐近线上但非原点，条切线，条与渐近线平行的直线，合计条；区域：即点为原点时，无切线，无与渐近线平行的直线小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目

12、可能有、条若直线与双曲线一支有交点，交点为两个时，求确定直线的斜率可用代入“”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号【3】圆锥曲线中的精要结论抛物线（1）抛物线的焦点弦性质：1）；2） ；3）以为直径的圆与准线相切；4）以（或）为直径的圆与轴相切；5） 6）设为焦点弦， 为准线与轴的交点，则；7）设为焦点弦，、在准线上的射影分别为，若为的中点，则；8）若的延长线交准线于，则平行于轴，反之，若过点平行于轴的直线交准线于点，则、三点共线（2）抛物线内接直角三角形的性质： 或认为直角三角形的形成是这样的：、是过抛物线顶点的两条互相垂直的弦1），；2）恒过定点；3），中点轨迹方程：；4），则轨迹方程为：；5）（3）抛物线，对称轴上一定点，则：1）当时，顶点到点距离最小，最小值为；2）当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点距离最小，最小值为【3】两个常见的曲线系方程（1）过曲线，的交点的曲线系方程是（为参数）（2）共焦点的有心圆锥曲线系方程，其中当时，表示椭圆；当时，表示双曲线【4】“四线”一方程对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程：曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到& 高阶阅读交流、素材提供 博客： 邮箱：anson_top第 9 页 共 9 页