第三章导数及其应用

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1、第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数、导数的计算 （时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1(2010全国)曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为()Ayx1 Byx1 Cy2x2 Dy2x22yx2cos x的导数为()A2x cos xx2sin x B2xcos xx2sin x C2xcos x Dx2 sin x3曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B2e2 Ce2 D.4(2010全国)若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b15已知

2、直线ykx1与曲线yf (x)x3axb相切于点(1,3)，则b的值为()A3 B3 C5 D5二、填空题(每小题6分，共24分)6已知f (x)ax33x22，若f(1)4，则a的值为_7曲线yx2在(1,1)处的切线方程为_8若曲线f (x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_9已知直线ykx与曲线yln x有公共点，则k的最大值为_三、解答题(共41分)10(13分)求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程11(14分)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，求a的值12(14分)如右图所示，已知A(1,2)为抛物线C：y2x2上的点，直线l

3、1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：xa (a1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求ABD的面积S1.答案 1.A 2.B 3.D 4.A 5.A6. 72xy10 8.(，0) 9. 10. 解f(x)3x26x2，设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时kf(0)2，f(0)0，所以所求曲线的切线方程为y2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02， 由得x0，k.所求曲线的切线方程为yx.11. 解设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即

4、y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以a1或.12. 解(1)由条件知点A(1,2)为直线l1与抛物线C的切点，y4x，直线l1的斜率k4，所以直线l1的方程为y24(x1)，即4xy20.(2)点A的坐标为(1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，4a2)，ABD的面积为S1|2a2(4a2)|1a|(a1)3|(a1)3.3.2导数的应用 (时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1函数f(x)x23x4在0,2上的最小值是()A B

5、 C4 D2函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A(0,3) B.C(0，) D(，3)3已知函数f (x)x3x2x，则f (a2)与f (1)的大小关系为()Af (a2)f (1)Bf (a2)Cm Dm0)在1，+）上的最大值为，则a的值为 .三、解答题(共41分)10(13分)已知函数f (x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)讨论f (1)和f (1)是函数f (x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线yf (x)的切线，求此切线方程11(14分)若函数f (x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减少的，在区间(6，)上为增加

6、的，试求实数a的取值范围12(14分)已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f (x)的单调区间；(2)若f (x)在x1处取得极值，直线ym与yf (x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围答案 1.A 2.B 3.A 4.C 5.A6. 37 7. 3 8. 2 9. 10解(1)f (x)3ax22bx3，依题意，f (1)f (1)0，即，解得a1，b0.所以f (x)x33x，f (x)3x233(x1)(x1)令f (x)0，得x1，x1.若x(，1)(1，)，则f (x)0，故f (x)在(，1)上是增加的，f (x)在(1，)上是增加的若x(1,1)，则f (x)1即a

7、2时，函数f (x)在(，1)上是增加的，在(1，a1)上是减少的，在(a1，)上是增加的依题意应有当x(1,4)时，f(x)0.所以4a16，解得5a7.所以a的取值范围为5,712. 解(1)f (x)3x23a3(x2a)当a0，当a0时，由f(x)0，解得x；由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，f(x)的单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23.由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线y

8、m与函数yf(x)的图像有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1)3.3 定积分（时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1(2010湖南)dx等于()A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 22已知f(x)，则f(x)dx的值为()A. B C D.3的值是()A0 B. C2 D44设f(x)则f(x)dx等于()A. B. C. D不存在5(2010山东)由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A. B. C. D.二、填空题(每小题6分，共24分)6已知f(x)是偶函数，且f(x)dx6，则f(x)dx_.7已知函数f(x

9、)x3ax2bx (a，bR)的图像如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为_8(2010陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为_9抛物线yx24x3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为_三、解答题(共41分)10(13分)已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值11(14分)在曲线yx2 (x0)上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及过切点A

10、的切线方程12(14分)已知二次函数f(x)x2x，设直线l：yt2t (其中0t，t为常数)，若直线l与f(x)的图像以及y轴所围成封闭图形的面积是S1(t)，直线l与f(x)的图像所围成封闭图形的面积是S2(t)，设g(t)S1(t)S2(t)，当g(t)取最小值时，求t的值答案 1. D 2.D 3.C 4.C 5.A6.12 7. 1 8. 9.10.解(1)设f(x)ax2bxc (a0)，则f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得，即.f(x)ax2(2a)又f(x)dxax2(2a)dx|2a2.a6，c4.从而f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1,1，当x0时，

11、f(x)min4；当x1时，f(x)max2.即f(x)在1,1上的最大值为2，最小值为4.11.解 如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x，过点A的切线方程为y y02x0(xx0)，即y2x0xx.令y0，得x，即C.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，过点A作x轴的垂线， 垂足为B.S曲边AOBx3x，SABC|BC|AB|xx.即Sxxx.所以x01，从而切点为A(1,1)，切线方程为y2x1.12.解据题意，直线l与f(x)的图像的交点坐标为(t，t2t)，由定积分的几何意义知：g(t)S1(t)S2(t)(t2t)(x2x)dx(x2x)(t2t)dx(x2x)(t

12、2t)dx(t2t)(x2x)dx|t3t2t，g(t)4t23t(8t26t1)(4t1)(2t1)，令g(t)0，则t，或t(不合题意，舍去)当t时，g(t)0，g(t)递减；当t时，g(t)0，g(t)递增故当t时，g(t)有最小值3.4导数的综合应用 (时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1已知函数f (x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm的值为()A16 B12 C32 D62设p：f (x)x32x2mx1在(，)内单调递增，q：m，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3对于

13、R上可导的任意函数f (x)，满足(x1)f (x)0，则必有()Af (0)f (2)2f (1)4函数f (x)(x3)ex的单调递增区间为()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)5若函数f (x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A(0,1) B(，1)C(0，) D.二、填空题(每小题6分，共24分)6已知函数f (x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_7设mR，若函数yex2mx (xR)有大于零的极值点，则m的取值范围是_8设P为曲线C：yx2x1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1,3，则点P纵坐标的取值范

14、围是_9直线ya与函数f (x)x33x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是_三、解答题(共41分)10(13分)设函数f (x)ax33x2 (aR)，且x2是yf (x)的极值点(1)求实数a的值，并求函数的单调区间；(2)求函数g(x)exf (x)的单调区间11(14分)已知实数a0，函数f (x)ax(x2)2 (xR)有极大值32.(1)求实数a的值；(2)求函数f (x)的单调区间12(14分)已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中m、nR，m0.(1)求m与n的关系表达式；(2)求f(x)的单调区间；(3)当x1,1时，函数yf(x)的图像上任

15、意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围答案 1.C 2.C 3.C 4.D 5.D6. a6 7. m0，所以yg(x)的单调增区间是(，0)，(，)；单调减区间是(，)，(0，)11. 解(1)f (x)ax34ax24ax，f (x)3ax28ax4aa(3x2)(x2)令f (x)0，得x或x2.f (x)ax(x2)2 (xR)有极大值32，当x时，f (x)取得极大值32，即a232，a27.(2)由(1)知，f (x)27x(x2)2，f (x)27(3x2)(x2)令f (x)0，则x2或x；令f (x)0，则x2.所以函数f (x)的单调增区间是，(2，)；单调减区间是.1

16、2.解(1)f(x)3mx26(m1)xn.因为x1是f(x)的一个极值点，所以f(1)0，即3m6(m1)n0，所以n3m6.(2)由(1)知，f(x)3mx26(m1)x3m63m(x1).当m1，当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)000f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m3m，即mx22(m1)x20.m0，x2(m1)x0，即x22x.又m0，m0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比结论正确的个数是()A0 B1 C2 D35观察下列各式：112,23432,3456752,4567891072，可以

17、得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2二、填空题(每小题6分，共24分)6(2010浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369那么位于表中的第n行第n1列的数是_7观察下列等式：(1xx2)11xx2，(1xx2)212x3x22x3x4，(1xx2)313x6x27x36x43x5x6，(1xx2)414x10x216x319x416x510x64x7x8，由以上等式推测：对于nN+，若(1xx

18、2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a2_.8(2010福建)观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.9现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体

19、积恒为_三、解答题(共41分)10(13分)已知：sin230sin290sin2150，sin25sin265sin2125.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明11(14分)用三段论的形式写出下列演绎推理(1)若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角不相等，则两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；(3)0.是有理数；(4)ysin x(xR)是周期函数12(14分)观察下表：12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 010

20、是第几行的第几个数？答案1.D 2. C 3. B 4.C 5.B 6. n2n 7. 8, 962 9. 10.解一般性的命题为sin2(60)sin2sin2(60).证明如下：左边cos(2120)cos 2cos(2120)cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2右边结论正确11.解(1)若两个角是对顶角，则两角相等，(大前提)1和2不相等，(小前提)所以1和2不是对顶角(结论)(2)每一个矩形的对角线相等，(大前提)正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等(结论)(3)所有的循环小数是有理数，(大前提)0.是循环小数，(小前提)所以0.是有理数(结论)(4)三角函数是

21、周期函数，(大前提)ysin x是三角函数，(小前提)所以ysin x是周期函数(结论)12.解(1)第n1行的第一个数是2n，第n行的最后一个数是2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)322n32n2为所求(3)2101 024,2112 048,1 0242 0102 048，2 010在第11行，该行第1个数是2101 024.由2 0101 0241987，知2 010是第11行的第987个数13.4直接证明与间接证明 (时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1设alg 2lg 5，bex (xb Ba0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2

22、(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|3已知f(1,1)1，f(m，n)N*(m，nN*)，且对任意m，nN*都有：f(m，n1)f(m，n)2；f(m1,1)2f(m，1)给出以下三个结论：(1)f(1,5)9；(2)f(5,1)16；(3)f(5,6)26.其中正确结论的个数为()A3 B2 C1 D04设x、y、z0，ax，by，cz，则a、b、c三数()A至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2 D都大于25定义一种

23、运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：()1*1=1，（ii）(n+1)*1=n*1+1则n*1等于 ()An Bn1 Cn1 Dn2二、填空题(每小题6分，共24分)6如果abab，则a、b应满足的条件是_7设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是_(填写所有正确条件的代号)x为直线，y，z为平面；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x，y为平面，z为直线；x，y，z为直线8下面有4个命题：当x0时，2x的最小值为2；若双曲线1 (a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且其一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，则双

24、曲线的离心率为2；将函数ysin 2x的图象向右平移个单位，可以得到函数ysin的图象；在RtABC中，ACBC，ACa，BCb，则ABC的外接圆半径r；类比到空间，若三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥SABC的外接球的半径R.其中错误命题的序号为_(把你认为错误命题的序号都填上)9设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)三、解答题(共41分)10(13分)设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0，求证：a0且-20，求证：

25、 a2.12(14分)已知a，b，c是互不相等的实数求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点答案1.A 2.C 3.A 4.C 5.A6. a0，b0且ab 7. 8. 9. 10. 证明f(0)0，c0，又f(1)0，即3a2bc0.而abc0即bac代入式，3a2a2cc0，即ac0，ac.ac0.又abc0，ab0.10，0，2ab0，20，2.故20，故只要证22，即a244a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立12. 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不

26、同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，3(2a)24bc0.上述三个同向不等式相加得，4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ca0，(ab)2(bc)2(ca)20，abc，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证13.5数学归纳法(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12 B12 C13 D1 (nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C

27、9 D104用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3 (nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)35用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.二、填空题(每小题6分，共24分)6用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上_7若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_8在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_9已知整

28、数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_三、解答题(共41分)10(13分)设nN*，n1，求证：1.11(14分)设数列an满足an1anan1，n1,2,3，(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有的n1，有ann2.12(14分)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明答案1.B 2.B

29、3.B 4.A 5.B6. (k21)(k22)(k23)(k1)2 7. f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)28. an 9. (5,7) 10. 证明(用数学归纳法证明)(1)当n2时，不等式左边1右边(2)假设nk(k1，kN*)时，不等式成立，即1，那么当nk1时，有1.所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知对任何nN*，n1，1均成立11. (1)解由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315，由此猜想an的一个通项公式：ann1 (n1)(2)证明当n1时，a1312，不等式成立假设当nk (k1，且kN*)时不等式成立，即a

30、kk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.根据和，对于所有n1，都有ann2.12. 解(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是2a2a20，解得a2.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论()n1时已知结论成立()假设nk (k1，

31、且kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由()、()可知Sn对所有正整数n都成立13.6数系的扩充与复数的引入(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1(2010天津)i是虚数单位，复数()A1i B55iC55i D1i2(2010陕西)复数z在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3复数z13i，z21i，则复数在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4复数z134i，z21i，i为虚数单位，若zzz1，则复数z等于()Ai BiC.i D.i5已知8 (

32、x，yR)，则xyi的模为()A1 B. C2 D2二、填空题(每小题6分，共24分)6(2010江苏)设复数z满足z(23i)64i(i为虚数单位)，则z的模为_7若z1a2i，z234i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为_8若复数z1a2i，z21bi，a，bR，且z1z2与z1z2均为纯虚数，则_.9.z1-1+2i, z21-i, z33-2i,它们所对应的点分别为A,B,C.若xy，则xy的值是_三、解答题(共41分)10(13分)实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i：(1)与复数212i相等；(2)与复数1216i互为共轭；(3)对应的点在x轴上方11(

33、14分)若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3i)z2(13i)，|z1|，求z1.12(14分)已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围答案1.A 2.A 3.A 4.C 5.D 6. 2 7. 3 8. (43i) 9. 5 10, 解(1)根据复数相等的充要条件得解之得m1.(2)根据共轭复数的定义得解之得m1.(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得m22m150，解之得m5.11. 解设z1abi，则z2abi，z1(3i)z2(13i)，且|z1|，解得或则z11i或z11i.12. 解设zxyi (x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，由于(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，所以，解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)