超声波圆锥曲线

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1、1、如图1所示的是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接 收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度.图2中PP2是测速仪发出的超声波信号，nn2是PP2由汽车反射回来的 信号.设测速仪匀速扫描，P1 P2之间的时间间隔At=1.0s，超声波在空气中传播的速度是v=340m/s.若汽车是匀速行驶的， 则根据图2求：! Aj I? Fl %E 麟 I图2（1）汽车在接收到p1 p2两个信号之间的时间内前进的距离；（2）汽车的速度.答案1、见分析【试题分析】【解析】从题中的图2可以看出，发出超声波信号P1到接收到反射信号n的时间为：=12x3=0.4

2、5,此时汽车离测速距III离为x= vt =68m；同样可求得信号P到接收到反射信号nn的时间为：t,=9x3*s=0.3s，xvt =51m，所以汽车接I 旦 / 八7 ,7, rpqnw J -JJA | 人 土 -J Xj 4 1 JI -J 1 1 n l-j J H J I J X V , J?nD7 z V、收到P1 P2两个信号之间的时间内前进的距离为x1=x1-x2=17mI I设汽车运行17m的时间为t，也就是汽车接收到P1与P2两个信号之间的时间间隔，图2可知为t=At-2 q+N t2=0.95s，所以汽车行驶速度v= t =17.9m/s.超声波测速超声波测速适合作流动

3、物质中含有较多杂质的流体的流速测量，超声多普勒法只是其中一种 ，还有频差法和时差法等等。时差法测量沿流体流动的正反两个不同方向发射的超声播到达接收端的时差。需要突出解决的难题 是这种情况下，由于声速参加运算（作为分母，公式不好写，我积分不够没法贴图），而声速收温度的 影响变化较大，所以不适合用在工业环境下等温度变化范围大的地方。rrn女1误差带来的测量误差。对于移动物体的速度测量多采用超声多谱勒法。频差法是时差法的改进，可以把分母上的声速转换到分子上，然后在求差过程中约掉，这就可以避 开声速随温度变化的影响，但测频由于存在正负 1误差，对于精度高的地方，需要高速计数器。还有就是回鸣法了，可以有

4、效改进由于计数器正负以上这些东东都是关于流体的流速的超声测量方法。根据声学多普勒效应，当向移动物体发射频率为F的连续超声波时，被移动物体反射的超声波频率为f，f与F服从多普勒关系。如果超声发射方向和移动物体的夹角已知，就可以通过多普勒关系的v,f,F,c表达式得出物体移动速度v。设超声波速度为V两次发出超声波的时间间隔为T第一次用时为T1第二次为T2则车速为V1=Vx （T2-T1） /T （以上数据均可测出）超声波测速仪测量车速，图B中P1、P2是测速仪发出的超声波信号，n1，n2.如图所示，图A是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的

5、信号 间的时间差测出被测物体的速度。图B中P1、P2是测速仪发出的超声波信号，N1、N2分别是P1、P2由汽车反射回来的信号。设 测速仪匀速扫描，P1、P2之间的时间间隔为1s，超声波在空气中传播的速度是340m/s。若汽车是匀速行驶的，则根据图B可知， 汽车在接收到N1、N2两个信号的时间内前进的距离是（）m，汽车的速度是（）m/s.（写出过程，在线答题）BnAI,I,.-：，I,I .I -. -1,I ，II七兰L 松巳 疆B测速仪匀速扫描，pl、p2之间的时间间隔t=1.0s，由图B可知pl、p2间有30小格，故每一格对应的时间间隔t0= = s，pl、nl间有12小格，说明pl、nl

6、之间的时间隔tl = l2 t0=l2x s = 0.4s.同理，可求得p2、n2之间的时间间隔=0.3s因此汽车接受到pl、p2信号时离测速仪的距离分别为： sl=u•，s2=u• .汽车在此段时间内前进的距离为 s = sl s2=u• u• = （tl12）= x （0.4s0.3s） =l7m 汽车接收到pl、p2两个信号的时刻应分别对应于图l （B），pl nl的中点和p2 n2的中点，其间有28.5小格，即汽车接收到pl、p2 两个信号的时间间隔为t = 28.5t0 = 28.5x s = 0.95s，所以，汽车的速度为u车=17.9m/s

7、.某地用超声波测速仪测车的形式速度。某次检测时，第一次发出至收到超声波信号用时0.4秒，第二次发出至 收到超声波信号用时0.3秒，两次信号发出的时间间隔是1秒，则被测汽车速度是多大？（假设超声波的速度为 340米/秒，且保持不变）设第一次发射到接受所需的时间为t1 t1=0.4s则汽车第一次接受到超声波时测速仪距离汽车的距离为s1 s1 = x340=68m第二次发射到接受所需的时间为t2 t2=0.3s汽车第二次接受到超声波时测速仪距离汽车的距离为s2 S2= x340=51m则两次汽车接受到超声波时相互之间的距离为S1- S2=68m-51m=17m两次汽车接受到超声 波时的时间间隔为t

8、t=1.0s-0.2s+0.15s=0.95s所以汽车的速度为v V= =17.9m/s超声波测速适合作流动物质中含有较多杂质的流体的流速测量，超声多普勒法只是其中一种，还有频差法和时差法等 等。时差法测量沿流体流动的正反两个不同方向发射的超声播到达接收端的时差。需要突出解决的难题是这种 情况下，由于声速参加运算（作为分母，公式不好写，我积分不够没法贴图），而声速收温度的影响变化较大， 所以不适合用在工业环境下等温度变化范围大的地方。频差法是时差法的改进，可以把分母上的声速转换到分子上，然后在求差过程中约掉，这就可以避开声速 随温度变化的影响，但测频由于存在正负1误差，对于精度高的地方，需要高

9、速计数器。还有就是回鸣法了，可以有效改进由于计数器正负1误差带来的测量误差。以上这些都是关于流体的流速的超声测量方法。对于移动物体的速度测量多采用超声多谱勒法。根据声学多普勒效应，当向移动物体发射频率为F的连续超声波时，被移动物体反射的超声波频率为f，f与F 服从多普勒关系。如果超声发射方向和移动物体的夹角已知，就可以通过多普勒关系的v,f,F,c表达式得出物体移 动速度v。计时与测速问题分类赏析一、以传统实验为原型的计时与测速以打点计时器为原型是利用这些装置的等时性，不断推陈出新，旨在考查基础知识及基本原理的灵活应用。1. 【原型】打点记时器问题例1 （ 2004上海）用打点计时器研究物体的

10、自由落体运动得到如图1所示一段纸带，测得AB =,BC =渤。已知交流电频率为5。法则打b点时的瞬时速度为，如果实验测得的重力加速度的值比真实值偏小，可能的原因是。AV-解析由匀变速直线运动的规律，中间时刻的速度等于一段时间的平均速度，7.65 + 9.172 G 1 n J1 W ?=xlO 2 = 2.10/s= mghAT SxI-，不考虑自由落体运动物体所 受空气阻力，则2得V3r12 f幻挪g =mg h + 屿=mv g =+胰，若考虑空气阻力，则2,欧龙 羽 幽龙阻力做负功，可见加速度变小的原因可能是没有考虑空气阻力。点评：本题较为传统，其难点是误差分析。例2、例3均属于本题迁移

11、得到的。2. 【迁移一】单摆与振子测速例2如图2所示，有一块涂有碳黑的玻璃板质量为2*%在拉力的作用下在竖直向上做匀变速直线运动，一个装有指针的振动频率为5论 的电动音叉，在玻璃板上画出如图所示的曲线，量得0A =腿用， = %*，如幽，则外力f的大小是多少？T 1 =0. Is解析由电动音叉振动的等时性可以记录时间可知，必、月、所经历的时间均为2了 ，图中又读出了=，=，5C=5c，即连续相等时间间隔的位移差为次酬_ a 由As = at2，所以对玻璃板J*，所以点评：本题中电动音叉的画痕充当了打点计时器的角色。3. 【迁移二】频闪照片问题例3有一摆长为的单摆，悬点正下方有一小钉，在摆球经过

12、平衡位置时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅摆动，摆球从右边最高点必至左边最高点川运动过程的频闪照片如图3所示（悬点和小钉未被摄入），为摆动中的最低点，由此可知小球与悬点的距离为（）图3A.加b.作 C.却d.无法确定解析由题意知丁1 =四， b , g则3、故选C。点评：本题利用频闪照片连续两次照相的等时性计时，利用频闪照片计时和测速，原理和方法与打点计时器 是等效的。二、以STS （科学、技术、社会）背景的计时与测速超声波、激光传感器、光电脉冲均是新生事物，但这些问题都从生活中来，到实践中去面对新生事物要做到 剥去高科技外衣，找到知识点内涵，真正做到抽丝剥茧，他问他的

13、，你答你的的境界。4. 【创新一】超声波测速仪例4 （2001年高考 上海）图4是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声 波冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度。图5中巧、夕是测速仪发出的超声波信号，勺、电是为、孔由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，外、乩之间的时间间隔山=1.赤，超v = 340声波在空气中传播的速度是若汽车是匀速行驶的，则根据图5可知，汽车在接收到巧、卢两个信，汽车的速度是.图4号之间的时间内前进的距离是01z34加Am山山mlm中虹4Pln图5勤 勺解析设孔、叱、r、对应的时刻分别为勺、勺、乌、&，芦的中间时刻（汽车与

14、超声波第一次相遇 的时刻）为如，夕w昭的中间时刻（汽车与超声波第二次相遇的时刻）为垢。从题目所给条件得，标尺上每小格1S表示的时间为实。则有超声波第一次的与汽车相遇的位移为2L 4 一必超声波第二次的与汽车相遇的位移为汽车的位移为岛S = 17刑，汽车的运动时间为W =。 Q（汽车的速度为电一 ,从标尺上读出数据代入得，= 17.9幽估。点评：解决本题的关键是搞清汽车与超声波两次相遇的时刻，找时间关系，从超声波的运动过程反映汽车的 位移关系。5. 【创新二】光电脉冲测速例5 （ 2002年高考 上海）如图6所示为一实验小车中利用光电脉冲测量车速和行程的装置的示意图，入为 光源，8为光电接收器，

15、A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮。车轮转动时，A 发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示。若 实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ； 小车速度的表达式为v =；行程的表达式为s =。解析A点发出的光束经齿轮间隙变成脉冲光信号，因此脉冲数目与齿轮数p有关；由n和p可以确定出单位 时间内齿轮的转数为W，依次可以得出齿轮的角速度物#。要求齿轮边缘的线速度，即车速，还须测出 C的半径R，这样小车的速度为* 枷田件。由于累计圈数为叫故行程为”却.（踏）=2疝

16、贝。点评：本题贴近实际生活，实用性强。解决本题的关键在于抓住与小车速度相关的物理量（车轮转动时的转 速n与车轮半径R），对此进行分析，并利用运动学基本公式求解。6. 【创新三】激光传感器测速例6 （ 2005年高考 上海）一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动。在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均 匀狭缝。将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆 盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传 感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线。图7为该装置示意图，图8为所接收的 光信

17、号随时间变化的图线。横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中 t1 = 1. 0x10-3s，At2 =0. 8x10-3s。利用图8中的数据求1s时圆盘转动的角速度;说明激光器和传感器沿半径移动的方向； 求图8中第三个激光信号的宽度At3。m =rad /s =/ s解析由图象得转盘的转动周期?= 踞，角速度T 0.8。激光器和探测器沿半径由远中心向边缘移动，（理由为：由于脉冲宽度逐渐变窄，表明光信号通过狭缝的 时间逐渐变小即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此，激光器向边缘移动）。设狭缝宽度为，探测器接收到的第个时距转轴的距离为门，第个脉冲宽度为激光器和探测器沿 半径

18、的运动速度为皆。=7宛dT, 11 、dT, 11 、今一 n = （） 上一心=（一）= 曷旻戛2E地由两式得I &皿 1.0x10-3x0.8x10-3 n _ in_3=- = s = 0.67 xlO s2 叫-也 2xl.0xl0-3-0.8xl0-3尚点评：激光器、传感器、计算机终端显示技术都属于高科技，但最终解决问题的关键是圆盘的圆周运动和激 光器沿半径方向匀速运动的等时性处理问题。P1 超声成I运动方向1, 广矿14、（14分）如图所示这是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪B发出并接收超声波脉冲信 号，根据发出和接收到的信号的时间差，测出被测物体的速度。设小车向

19、右运动，先后经过P、Q两点，小车经 过P点时B发出的第一个超声波被小车反射，B从发出到接收历时t=0.30s，小车经过Q点时B发出的第二个超 声波被小车反射，B从发出到接收历时t2=0.40s，相邻两次发射超声波的时间间隔为t=1.0s，超声波在空气中传 播的速度为v=340m/s，若汽车是匀速行驶的，求小车先后两次反射超声波脉冲的时间内的位移和汽车的速度。14、17m,16.19m/s6.利用超声波遇到物体发生反射，可测定物体运 动的有关量.图甲中仪器A和B通过电缆线相接，B 为超声波反射与接收一体化装置，而仪器A为B提供超声波信号源而且能将B收到的超声波信号进行处理并 在屏幕上显示其波形.

20、现固定装置B，并将它对准匀速行驶的小车C，使其每隔固定时间T。发射一短促的超声 波脉冲（如图乙中幅度大的波形），而B接收到的由小车C反射回的超声波经仪器A处理后显示如图乙中幅度较小的波形，反射滞后的时间已在乙图中标出，其中T0和为已知量，另外还知道该测定条件下声波在空气中的速度为，则根据所给信息，求小车的运动方向和小车速度的大小T0T0T0解:从图可以看出接收到反射波的时间越来越长，说明小车远离B，即小车向右运动.发出第一个脉冲时，设车仪相距S0，有：V -T = S + v -T（3 分）0 202经T0发出第二个脉冲，车仪相距S0+vT.第二个脉冲追上车时：T + ATT + AT,v0（

21、一2） = （s0 + vT） + v（一2）（3 分）分析：本题的物理情景是超声波和汽车同时做相向运动，两者相遇时超声波被汽车反向反射回测速仪，而汽 车继续匀速靠近测速仪.因为超声波从发出到反射回测速仪的时间内做了一次往返运动，因此汽车接收到超声波 时距测速仪的距离是超声波往返一次运动路程的一半.由于汽车在逐渐向测速仪靠近，所以每个超声波信号往返 一次所用的时间不同.t = 12At 、t = 9At解：设汽车接收到P1、P2两个信号的时刻，汽车与测速仪的距离分别为s1和s2 （如图所示）.At1由题意可知，图（b）中相邻两个刻度所表示的时间间隔为：At0 = 30 = 30s由图（b）可知

22、，信号P 1和尸2从发出到被汽车反射回测速仪所用的时间分别为:由超声波的往返运动可知：s = 1 v t、s = 1 v t12声122声2则汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离为：s = s - s =1 v （t -t ） = 1X 340 X （12 - 9） x m = 17m122 声 12，230汽车接收到P1、P2两个信号的时刻分别是图（b）中P1至ne P2至n2的中间时刻，所以汽车接收到P1、P2 两个信号之间的时间间隔为：t = (39.5 - 11)At 0 = 28.5At0s由此可得汽车的速度为：母=;17F7.9m/s28.5 x 30北Illi I

23、 I I Illi Illi I I 斑马线:切LJ女 西B东四 A 17.5mT 14.0m一 C 东起始刹车点* D 停车点南9.在某市区内，一辆小汽车在平直公路上以速度vA向东匀速行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横 过马路，汽车司机发现前方有危险（游客正在D处向北走）经0.7s作出反应，从A点开始紧急刹车，但仍将正 步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下.为了清晰了解事故现场，现以下图示之：为了判断汽车司机是否超速行驶，并测出肇事汽车速度vA，警方派一车胎磨损情况与肇事车相当的车以法定最高速度v = m14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的出事点B急刹车，恰好也在

24、C点停下来.在事故现场测得AB=17.5m、BC=14.0m、BD=2.6m，问:（1）该肇事汽车的初速度vA是多大？（2）游客横过马路的速度是多大?解：（1）以警车为研究对象，则：v2 v2 =-2as 0将v=14.0m/s，s=14.0m，v=0代入得警车刹车加速度大小为:a=7.0m/s2，因为警车行驶条件与肇事汽车相 同，则肇事汽车的加速度a/=a=“g=7.0m/s2.所以肇事汽车的初速度vA=：2a/s = 21m / s.（2）肇事汽车在出事点B的速度：vB =yl2a/sBC = 14m/s肇事汽车通过s 段的平均速度：v = V 4 : Vb = 21 14 m / s =

25、 17.5m / sAB22s 17.51肇事汽车通过京段的时间：2= =箱Si所以游客横过马路的速度：V = SBD = 2.6 m/s = 1.53m/s dt1 +120.7 +1由得：v = 2；0（2分）k I Z_A7. （01上海）图A是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波冲信号，根据发 出和接收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度。图B中pi、p2是测速仪发出的超声波信号，*、n2是pi. p2由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，P】、P2之间的时间间隔At = 1.0 s，超声波在空气中传播的速度 是v = 340m/s，若汽车是匀速行驶的

26、，则根据图B可知，汽车在接收到p】、肖两个信号之间的时间内前进的距离 是，汽车的速度是 m/s。椭圆与双曲线的对偶性质一（必背的经典结论）高三数学备课组椭1. 点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角.2. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.6.若P 3 , y )在椭圆挡+ y = 1上，则过P的椭圆的切线方程是孕+工 =1.oooa 2 b 2oa 2b2X 2 y 2若P (x ,y )在椭圆一 +

27、 9 = 1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程 oooa 2 b 21 21 2曰 xxy y 1是一+- = 1.a 2 b2X 2 y 2 _7, 椭圆云+ b- = 1 (abo)的左右焦点分别为与，F 2，点P为椭圆上任意一点ZFPF2 =Y，则椭圆的焦点角形的面积为S = b2 tan J. 件22X2y2 -. 一 .8, 椭圆+ - =1 (ab0 )的焦半径公式：a 2 b 2I MF 1= a + ex , I MF 1= a - ex (F (-c,o), F (c,。) M (x , y ).1o2o12o o9, 设过椭圆焦点F作直线与椭圆

28、相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦 点F的椭圆准线于M、N两点，则MFXNF.1o.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, AA2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P11.12.和A1Q交于点N，则MFNF.x 2 y 2b 2AB是椭圆云+ b- = 1的不平行于对称轴的弦，M(xo, yo)为AB的中点，则m七 “，丘b2 x即。o一 、 x 2 y 2若P(xo, yo)在椭圆a?+b2 =1内则被Po所平分的中点弦的方程是+ =+ a 2b 2 a 2 b 2x 2 y 2x 2 y 2 x x y y13.若p(xo,yo)在椭圆

29、二+后=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是+丘=；+b.双曲线1. 点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角.2. PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切,(内切：P在右支；外切：P在左支)5. 若P (x , y )在双曲线兰T2 = 1 (ao,bo)上，则过P的双曲线的切线方程是* 旱 =1.oooa 2 b 2oa 2b 2、x 2y 2 一6. 若P( xo, y)在双曲线万-丘=1 (a o,bo)外，

30、则过Po作双曲线的两条切线切点为PP2，则x x y y 4切点弦PP2的直线方程是- * = 1 .x2 y27. 双曲线一 b- = 1 (ao,bo)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点/糠广丁，则双曲线的焦点角形的面积为S= b2cot:.件228.9.10.X 2 y 2双曲线b- = 1 (a0,bo)的焦半径公式：(F(c,0) , F2(c,0)当 M (x , y )在右支上时，I MF 1= ex + a, I MF 1= ex a. 001020当 M (x , y )在左支上时，I MF I= ex + a, I MF I= ex 一 a 0 01020设

31、过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别 交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFXNF.11.12.点M，A2P和A1Q交于点N，则MFXNF.x 2 y2AB是双曲线 云膈=1( a 0,b 0)的不平行于对称轴的弦，M(X0, y 0)为AB的中点，则b 2 om ab a 2 y ，0b 2 x即 K =0AB a 2 y 0X 2y 2b 2=1( a 0,b 0 )内，则被Po所平分的中点弦的方程是过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于xx yy x 2 y 2= 0

32、 a 2 b 2a 2b 213.若竹, %)在双曲线=1 ( a 0,b 0 )内，则过Po的弦中点的轨迹方程是X 2y2尤尤 y y= 0 a 2b 2a 2b 2椭圆与双曲线的对偶性质一(会推导的经典结论)高三数学备课组椭x 2y2一1. 椭圆云+ 土 = 1(abo)的两个顶点为A1(a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P、P2时,一一 X2y 2a1p1与a2p2父点的轨迹方程是云-7 = 1.X 2y 22. 过椭圆弟+ b- = 1 (a0, b0)上任一点A3。, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，,b 2 x则直线BC有定向且kC = 寸(

33、常数).a 0X 2y 2_3. 若P为椭圆 + b2 = 1( a b 0 )上异于长轴端点的任一点，F, F 2是焦点，/PFF2 = a ,ZPF F = P，贝 ija_C = tan a co t .2 1a + c 22X2y 24,设椭圆云+ b- = 1 （ab0）的两个焦点为F、F2，P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在APF1F2中，记 ZF1PF2=a,ZPFF =P , ZFFP =，则有.以=-=e.2 2sin p + sin y a5. 若椭圆a2 + （： =1（ab0）的左、右焦点分别为F、F2，左准线为L,则当0VeWJ2-1时，可在 椭圆上求一点P,使

34、得PF是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.x 2 y 26. P为椭圆a + = 1 （ a b 0 ）上任一点,F,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a -1 AF 11 PA I + I PF l （Ax + By + C）2.x 2 y 2 一 8. 已知椭圆一 +谷=（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP 1 OQ .（）a 2 b 24a 2b 2a 2b 2O!T+rOQIT =云+b;IOP|2+IOQ|2的最大值为 E; F的最小值是顽x 2 y 2 b0）的右焦点F作直线父该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线父 a 2 b 2轴于P，则I PF I

35、I MN Ix 2 y 20.已知椭圆一+ = （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 a 2 b 2P(x0,),则x 2 y 2.设P点是椭圆云+ Fl（ ab0）上异于长轴端点的任一点F、乌为其焦点记PF2=，则，一，一，2b2一 ， y()I PF II PF I=.(2) S = b2 tan L.2 + cos 9APFF22一一 .一 x 2y 22.设A、B是椭圆+ = ( a b 0 )的长轴两端点，P是椭圆上的一点，/PAB =a , a 2 b 22ab21 cosa IZPBA = p , ZBPA =y，c、e分别是椭圆的半焦距离心

36、率，则有()I PA I=.(2)a2 一 c2co s2 y2a 2b 2tan a tan P = 一 e2 .(3)S =cot y .pab b 2 - a 2X2 y 213. 已知椭圆一 + 9 = 1（ ab0）的右准线l与x轴相父于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相父a 2 b 2于A、B两点，点C在右准线l上，且BC 1 x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16. 椭圆焦三角形中，内

37、点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线x 2y2 一.，.，1. 双曲线a2 - b2 = 1（a0,b0）的两个顶点为A1（-a,0） , A2（a,0），与y轴平行的直线交双曲线x2y20,bo）上任一点A3。, y0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于,b 2 xB,C两点，则直线BC有定向且、=-

38、广（常数）.a yx2 y23. 若P为双曲线 -慕=1 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点，耳，F 2是焦点,c a a B c a B a/PFF =a , ZPF F = B，贝ij= tan cot （或=tan cot一 ）.1 22 1c + a 22 c + a 22x 2y 24. 设双曲线一-. = 1 （a0,b0）的两个焦点为F、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 APF1F2 中，记 /F1PF2 =a/PFF = B ,/FF P =y，1 21 2则有sin a土(sin y - sin B)c=e.a5. 若双曲线X -b- = 1 (a0

39、,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,则当10,b 0 )上任一点，FF2为二焦点，A为双曲线内一定点，则0I AF I -2a 0,b 0 )与直线Ax + By + C = 0有公共点的充要条件是a 2 b 2A 2 a 2 - B 2 b 2 a 0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP上0Q .a 2 b 2.、111 14a 2b2a 2b2rOFiT+阿=云节;(2) IOP|2+IOQ|2的最小值为朽2; F的最小值是EX 2 y 2 0,b0)的右焦点F作直线父该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的a 2 b 2I PF I e垂直平分线交x轴于P，则 =二

40、.I MN I 2x 2y 210. 已知双曲线一- = 1 (a0,b0) ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相a 2b 2、 a 2 + b 2a 2 + b 2交于点P(x ,),则x N或x 0,b0)上异于实轴端点的任一点,F、F2为其焦点记/FPF2 =。，,，2b2一 ，丫贝0(1)I PF II PF I=.(2) S = b2cotL.121 - cos 0 1 XPF& 2 一 一 .x 2y 212. 设A、B是双曲线一=1 (a0,b0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，ZPAB =a ,a 2b 22ab21 cos以 IZPBA = P , ZBP

41、A =7，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)I PA I=-I a2 一 c2co s2 7 I2a 2b 2(2) tan 以 tan P = 1 一 e2 .(3)S =cot 7 .pabb 2 + a 2x 2 y 2 一,一13. 已知双曲线一 = 1 (a0,b0)的右准线l与x轴相交于点矿过双曲线右焦点F的直线与a 2 b 2双曲线相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC 1 x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17. 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.