概率论与数理统计第一至第四章得重点题型复习资料

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1、第一章 随机事件与概率一、填空题1. 写出下列随机试验的样本空间。（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则 =；（2） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，则=；（3） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，用0表示次品，1表示正品，则 =；（4） 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则=；（5） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则=；（6） 将一尺之锤折成三段，观察各段长度，设x,y,z分别表示三段长度，则=；（7） 在某十字路口，记录一小时内

2、通过的机动车辆数，则=；（8） 记录某城市一天内的用电量，则=。2. 设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。（1）“A发生，B与C不发生”=；（2）“A与B都发，而C不发生”=；（3）“A，B，C中至少有一个发生”=；(4)“A，B，C都发生”=；（5）“A，B，C都不发生”=；（6）“A，B，C中不多于一个发生”=；（7）“A，B，C中不多于两个发生”=；（8）“A，B，C中至少有两个发生”=。3. 在抛三枚硬币的试验中，1表示正面，0表示反面，试写出下列事件的集合表示。（1）“至少出现一个正面”=；（2）“最多出现一个正面”=；（3）“恰好出现一个正面”=；（4）“出

3、现三面相同”=。4. 设， 则（1）；（2）（3）；（4）5. 设A，B为两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7，则（1）当 时，P（AB）取到最大值，最大值= ；（2）当 时，P（AB）取到最小值，最小值= 。解：（1）观察上式，已知P(A)，P(B)均固定，当最小时，P(AB)最大。当，即时，最小，此时，P(AB)取到最大值，最大为P(AB)=P(A)=0.6。（2）当最大时，P(AB)最小。当时，取得最大值为1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为=0.6+0.7-1=0.3。6. 设A，B，C为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=

4、1/8,则A,B,C至少有一个发生的概率= 。要点：用字母表示事件，是本课程入门的又一关键，由“至少”联想“”，进而想到公式：解：至少有一个发生：其中 7. 设P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=,则事件A,B,C都不发生的概率= 。解：事件A,B,C都不发生： 8. 在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1， ，9）= 。解：所有可能的种数为10101010种，后四个数全不相同的种数为，则所求概率为。9. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码。则（1）

5、 最小号码为5的概率= ；（2）最大号码为5的概率= 。解 样本空间的样本点总数为。（1） 最小号码为5是必须取到5号，而其余2人从610号中任取，故事件的样本点个数为，所求概率为（2） 最大号码为5，其余2人在14中选号，事件的样本点个数为，所求概率为 10. 10个人随机地围一圆桌而坐，则甲、乙两人相邻而坐的概率= 。要点：先假定某人已坐好，再考虑其他人相对该人的坐法解：设甲已坐好，其余个人相对甲的坐法有种，甲乙相邻，乙有两种坐法，其余个人的坐法有种，故所求概率为。10. 从0,1,2,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率。11. 有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,

6、9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率。12. 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后随机把六个头两两相接，六个尾两两相接，则放开手后六根草恰好连成一个环的概率= 。要点：“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况。解：考虑头两两相接的先后次序，则“六个头两两相接”共有种不同结果。而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有一个不能相接，只可与余下的4个头中的任一个相接，第二步从未接的头中任取1个，与余下的2个头中的任一个相接，这总共有种可能接法，故所求概率为。13在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小

7、于6/5的概率= 。解：设两数之和小于6/5，两数分别为，由几何概率如图01y1yyx 发生 14. 设A,B为随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,=0.8,则= 。解：，所以15. 设A,B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6,则P()= 。解：，所以。16. 已知事件A，B满足，记，则= 。解：，由此得 ，所以 。17. 已知，则= 。解：因为，所以， 18. 已知，则= 。解：，由乘法定理有：又由有： 19. 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率= 。要点：“至少”

8、对立事件。解：三人能否译出相互独立，则三人都译不出的概率为(11/5)(11/3)(11/5)=0.4，至少一个译出的概率为10.4=0.6。20. 设两两独立的事件，且。若，且，则= 。解： . 或 ，由 .21. 已知（1）若和不相容，则= ；（2）若和独立，则= ； （3）若，则= 。解：（1） （由已知）（2） （3）22. 设在三次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现一次的概率为 ，则在一次试验中事件A出现的概率= 。解：设所求概率为p，由题意有 = ，则p=23. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率=。24. 某盒中有10件产品，其中4件次品，

9、今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为_，第三次才取得正品的概率为_.解：设第次取到正品，则或 25. 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为_；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为_.解：设取到第箱 ，取出的是一个白球 26. 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是_.解法1 样本点总数为，记A=“4只鞋子中至少有2只是一双”，则对立事件=“4只鞋子均不成双”，故第一只鞋子是从5双（1

10、0只）中任取一只，有10种取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有8种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中任取一只，有6种取法，第四只鞋子有4种取法，故事件所包含的样本点总数为10864，得解法2 中个数是从5双不同鞋子中任取4双，再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有种取法，故 27. 设在一次试验中，事件发生的概率为. 现进行次独立试验，则至少发生一次的概率为_，而事件至多发生一次的概率为_.解：设 至少发生一次 至多发生一次 二、计算题1. 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P孩子得病=0.6，P母亲得病孩子得病=0.5，P父亲得病母亲及孩子得病

11、=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解 ：设A=“孩子得病”，“母亲得病”，“父亲得病”，则所求概率为。已知P(A)=0.6,P(BA)=0.5,P(CAB)=0.4,则由乘法定理有由,有2. . 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解法1：设A=“2正”，B=“2次”，C=“一正一次”，D=“第2次次”，基本事件=“取一只，不放回，再取一只”，S中个数=，可利用古典概型公式计算：（1） 中个数，于是（2） 中个数，于是（3） 中个数

12、，于是（4） “第一次取出正且第二次取出次”“第一次取出次且第二次取出次”中个数，于是解法：设事件如解法，又设=“第一次正”，=“第2次正”，则=“第1次次”，=“第2次次”，用乘法公式算（1）（2）（3） （4） 3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解法1 设Ai=“第i次接通电话”（i=1，2，3），A=“拨号不超过3次接通所需电话”，则，故所求概率 解法2 “拨号不超过3次就接通”的对立事件是“拨号3次都未接通”，于是 设B=“已知最后一个数字式奇数，不超过3次拨通”，则4.（1）

13、设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红漆；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？（2） 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一只盒子中任取2只球放入第二只盒子中去，然后从第二只盒子中任取一只球，求取到白球的概率。要点：从题中“嗅出”划分，把“全”公式写出来，剩下就简单了。解：（1）设B1=“从甲袋中取到白球”，B2=“从甲袋中取得红球”，则B1，B2构成一个划分，“从乙袋中取得白球”，由全概率公式（2）设Bi=“从第一只盒中取到i只白球”，i=0，1，2，则B0，B1，B2构成一个

14、划分，设A=“从第二个盒中取得白球”，则由全概率公式知 5. 设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为型，33.7%为O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？受血者受血者 输血者A型B型AB型O型A型B型AB型O型 ：允许输血 ：不允许输血解：设分别为A，B，O，AB型输血，分别为A，B，O，AB型受血，则 6. 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。解 字母脱落2个共有五种情况，脱下“M，X”或“A，X”或“M，A”或“A

15、，A”或“M，M”分别用表示，则Ai，i=1，2，5构成划分；设B=“放回结果正确”。脱落的基本事件总数为。由全概率公式 7. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？要点：“条件互倒”联想“贝”；公式右边=中转/全；抓住划分；死记贝叶斯公式不如掌握其推导过程。解：设“色盲患者”，B“男性”，“女性”，B与为划分，由贝叶斯公式8. 10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的装有也是一等品的概率。 解：

16、设从箱中任取2件都是一等品 丢失等号 . 则 ； 所求概率为9. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为p/2。(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次及格，求他第一次及格的概率。解 ：设Ai=“第i次及格”，i=1，2，则(1) (2) 其中 10. 已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确

17、是合格品的概率. 解：设任取一产品，经检验认为是合格品， 任取一产品确是合格品 则（1） （2） 11. 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收做B的概率为0.02，而B被误收做A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1，若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解 设B1=“发出信息A”，B2=“发出信息B”，A=“收到信息为A”，则，B1，B2为划分，由贝叶斯公式12. 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，

18、否则不买。求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。解：（1）设事件=一箱的玻璃杯中含i个残次品，i=0,1,2,且P()=0.8, P()=P()=0.1,事件B=从一箱中任取四只杯子无残次品，则由全概率公式可得：P(B)= P()P(B|)+ P()P(B|)+ P()P(B|) = 0.8+0.1+0.1=0.94（2）P(|B)= =0.8513. 设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机地从一地区，先后任取两份报名表，求：(1)先取的那份报名表是女生的概率p；(2)已知后取到的报名表是男

19、生的，而先取的那份报名表是女生的概率q。解：(1) 设=考生的报名表是第i个地区的，i=1,2,3, B=取到的报名表是女生的，由全概率公式知：p=P(B)= P()P(B|)+ P()P(B|)+P()P(B|) =（2）设C=先取的那份报名表是女生的,D=后取到的报名表是男生的,则q=P(C|D)= 其中P(CD)= P()P(CD|)+ P()P(CD|)+P()P(CD|) =P(D)= P()P(D |)+ P()P(D |)+P()P(D |)=所以可计算得q=14. 设第一只盒子中装有3只篮球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只篮球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子

20、中各取一只球。（1） 求至少有一只篮球的概率；（2）求有一只篮球一只白球的概率；（3）已知至少有一只篮球，求有一只篮球一只白球的概率。解：设分别表示在第一只盒子中取到篮球、绿球、白球；分别表示在第二只盒子中取到的篮球、绿球、白球。（1） （2）15. 如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每一个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需

21、要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。要点：独立“积的概=概的积”解：设Ai=“在情况C发生时，第i只开关闭合”，i=1，2，3， ，n。当n=2时，系统的可靠性为 也可以 设n只开关并联，可保证系统的可靠性至少为0.9999，则 即 故至少需要3只开关并联，才能使系统的可靠性至少为0.9999。16. 设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率的概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。（提示：先求出击不沉的概率。）解：设A=“释放4 枚炸弹，击沉潜水艇”，B=“释放4枚炸弹，均未击中潜水艇”，C=“

22、释放4 枚炸弹，恰有一枚击伤潜水艇”，则由独立性有 第二章 随机变量及其分布一、 填空题1. 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大码，则随机变量X的分布律为 。2. 设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，则X的分布律为 。解： PX=1=C12C213/C315=，PX=2=C22C13/C315=，PX=0=1PX=1PX=2=分布律图形如图2-1所示。X012pk22/3512/351/353. 设随机变量X的分布律为，k=0，1，2，；为常数，则常数=。4. 设，且，

23、则_，_。解： 4. 设随机变量Y在区间1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为 0.8 。解：方程有实根当且仅当0，即|Y|2,则P(|Y|2)=0.85. 设随机变量X在区间2，5上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率为 。解：P(X3)= , 则所求概率即为6. 设 X ，对X的三次独立重复观察中，事件X0.5出现的次数为随机变量Y,则PY =2= 9/64 。解：PX0.5=0.25, Y服从B(3,0.25)分布,则PY=2=7. 设，若，则 19/27 。解：，则，则而，所以.8. 设随机变量的概率密度为则_，的分布函数_。解：所以 .9. 设

24、随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，设（x）为标准正态分布函数，已知（2.5）=0.9938,则X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为 0.9876 。10. 设随机变量Xf(x)=,-x+,则X。解：当x0时，F(x)=当x0时，F(x)=11. 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,则其分布函数F(x) =。12. 设X的分布函数,则A= 1 ,P(|X| ) = 1/2 。解：为连续函数，.13. 设X的分布函数，则X的概率分布列为 。14. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(Z)=

25、4 。15. 设XN(2,）且P2X4=0.3,则PX0= 0.2 。解：即,则16. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则 4/3 。17. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则= 18.4 。解：XB(10,0.4）,则18. 设随机变量X的概率密度为，则（1）= 2 ；（2）= 1/3 。19. 设服从泊松分布. （1）若，则_；（2）若，则_。解： （1） ， （2）所以 20. 设，且，则_。解：，所以 21. 设，且，则_；_。解：22. 设一次试验成功的概率为，现进行100次独立重复试验，当_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_。解：，有最大值

26、为5.23. 设服从参数为的指数分布，且，则_。解： .，24. 一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为_，标准差为_。解：设表示所取产品的次品数，则.，25. 设随机变量的概率密度为且，则_，_.解： 解（1）（2）联立方程有：.二、 计算题1. 一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿信号显示的时间相等，求此汽车首次遇到红灯前已通过的路口数X的概率分布。解： 设 =第 个路口遇到红灯，=1,2,3,则P()=0.5, X的所有取值为0,1,2,3,其概率分布如下：P(X=0)=P()=0.5

27、P(X=1)=0.25 P(X=2)=0.125 P(X=3)= =0.1252. 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1） 恰有2个设备被使用的概率是多少？（2） 至少有3个设备被使用的概率是多少？（3） 至多有3个设备被使用的概率是多少？（4） 至少有1个设备被使用的概率是多少？解：设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且每次试验相互独立。于是Xb(5,0.1),分布律为 PX=k=(0.1)k(0.9)5-k，k=0，1，2，3，4，5（1） PX=2=0.12（1-0.1）3=0.0729（2） PX=PX=3+PX=4

28、+PX=5 =+=0.00856（3） PX=1-PX=4-PX=5 =0.99954（4） PX=1-PX=1-PX=0 =1-=0.409513. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：设A发生的次数为X，则Xb(n,0.3)，设B为指示灯发出信号。（1） n=5，则P(B)=PX=或 P(B)=（2）n=7， 则P(B)=或 P(B)=0.3534. 设随机变量X的密度函数为 试求（1）X的分布函数； （2） 。 解：当时，；当时，；当时，；当

29、时，所以可的X的分布函数为（2） 5. 设随机变量X的密度函数为 试求（1） 系数A； （2） X落在区间（0，p/4）的概率。解：（1）因为 所以（2） 所求概率6. 设随机变量X的分布函数为 试求（1）系数A； （2） X落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3） X的密度函数。解：（1） 由的连续性，有，由此得（2） （3） X的密度函数为7. 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解：设X表示考生的外语成绩，且XN(72,),则P(X96)=1-P(X96)=1-(

30、)=0.023,即 ()=0.977,查表得=2，则 =12，即且XN(72,144)，故P(60X84)=P(-11)=2(1)-1=0.6828. 设测量误差XN(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用Possion分布求其近似值（精确到0.01）。解：由于XN(0，100)，则P(|X|19.6)=1- P(|X|19.6)=21-(1.96)=0.05且显然YB(100,0.05),故P(Y3)=1- P(Y2)=1-设l=np=1000.05=5，且YP(5),则P(Y3)=1- P(Y2)=1-=0.87059. 设X N (3,

31、22)，(1)求2X5，P42,PX 3;（2）确定c使得PXc=PXc, (3) 设d满足PXd0.9，问d至多为多少？要点： 本题及接下来的四道题要查表计算：一般正态化为标准正态，再查标准正态表，其理论根据：若XN(,2),则（，），例如，（，2）,求Px1Xx2=? 核心技术：让x1，X，2三方“同跳标准舞”，Px1Xx2=P =（）。反之，若这个知识点不透，后面的学习将会在黑暗中摸索，因为在统计部分仍将反复使用这个知识点。可省去过程，直接使用公式：Px1Xx2=（）由于的图像关于远点对称，口诀： 解：（）P2X50.5328P42=1P=1()+()=1()+()=1+()()=0.6

32、977PX=1PX=1()=1=0.5（2）由PX=PX得：PX=，PX=(，则c=3（3）PX=1PX=1P=1()0.9()0.1查表10. 设随机变量X的概率密度函数为对独立重复观察4次，表示观察值大于的次数，求的数学期望。解： 因为随机变量的概率密度函数为所以，。因此。于是便可得11. 设随机变量X的概率密度函数为试求。解：所以 ， 于是得。12. 设随机变量X的概率密度 =，x0，求Y=的概率密度。解：因为的取值范围是，且是严增函数，其反函数为，及，所以的密度函数为13设随机变量，求的分布。解：因为的取值范围是，所以当时的密度函数为。而当时，的分布函数为，上式两边关于求导得，当时的密

33、度函数为所以的密度函数为14. 设随机变量X服从，求随机变量的密度函数。解：的密度函数为由于在内取值，所以的取值范围是。在的取值范围之外有。而当时，的分布函数为上式两边关于求导得所以的密度函数为 15. 设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。解 当时，则当或时，或当时， 则概率密度为 三、 应用题1. 有一大批产品，其验收方案如下。先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10，求（1） 这批产品经第一次检验就能接受的概率。（2） 需做第二次检验的概率。（3） 这批产品

34、按第二次检验的标准被接受的概率。（4） 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。这批产品被接受的概率。解： 设X=“第一次检验的次品数”，Y=“第二次检验的次品数”，p=10=0.1，则Xb(10,0.1), Y b(5,0.1)（1） PX=0=0.9100.349（2） P1X2=PX=1+PX=2=0.581（3） PY=0=0.950.590（4） PY=0,1X2=PY=0P1X2 两事件相互独立 =0.590.5810.343（5） P（X=0Y=0,1X2）=0.349+0.343=0.6922. 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能

35、将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1） 某人随机的去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2） 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）。要点： 本题第（2）问为后面第八章假设检验作伏笔。解： （1）为古典概型问题，基本事件总数为，则成功一次的概率为1/=（2）设成功次数为X，则Xb(10,)，所以PX=3=3.16310-4因为仅凭猜测，能成功3次的概率特别小，可认为他确有区分的能力。3. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的改短时间内有1

36、000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2 的概率是多少？（利用泊松定理计算。）解： 1000辆汽车中在一天的某段时间内发生事故的次数X服从二项分布b(1000,0.0001),所求概率为 PX2= =1 =1计算较麻烦，如果用泊松定理计算，将大大化简计算。即，其中np=10000.0001=0.1，于是PX2=1PX2=1PX=0PX=11 =1=0.004684. 某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N（110，122），在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X；（1）求PX，P100；（2）确定最小的x，使PX0.05。解（1）XPX=()=(0.417)=1(0.

37、417)=10.6628=0.3372P100=()()=(0.83)(0.83)=2(0.83)1=0.5934（2）要使PX0.05，只须1PX0.05，即 PX10.05=0.095亦即 ()0.95，故 。5. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求PY。要点： 5次5重Yb(n,p)=b(5,p)，p由X的分布求。解： Yb(5,p)p =PX=Y的分布律为PY=k=，k=0，1，2，3，4，5PY=1PY=1PY

38、=0=1=0.51676. 由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数=10.05，=0.06的正态分布，规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。解：记螺栓的长度为X，则螺栓为不合格品的概率为3. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为=160，的正态分布，若要求P，允许最大为多少？解： XP=2得，查表知，(1.28)=0.90，即(1.28)所以最大为31.25。7. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是 (x)=，求下述概率：（1） P至多3分钟； （2） P至少4分钟； （3） P3分钟至4分钟之间；

39、（4） P至多3分钟或至少4分钟； （5） P恰好2.5分钟。要点： 由此题可体会由分布函数计算概率的简洁！解： （1）PX=FX(3)=1=1e-1.2=0.6988（2） PX=1PX=1FX(4)=0.2019（3） P3X4=PXPX =FX(4)FX(3)=1=0.0993（4） PX+PX=1=0.6988+0.2019=0.9007PX=2.5=08. 某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，公司损失0.5（千元）。问公司应该组织多少货源，可以使平均收益最大？

40、解：设公司组织该货源吨，则应有。又记Y为在吨货源条件下的收益额（单位：千元），则收益额Y为需求量的函数，有所以这是的二次函数。当=450吨时，达到最大。故公司应该组织货源450吨。-9. 某新产品在未来市场上的占有率是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密度函数为 试求平均市场占有率。解：求平均市场占有率即是去求，有第三章 多维随机变量及其分布一、填空题1. 设X的分布律为且X与Y独立同分布，则随机变量Z=maxX,Y的分布律为（ ）。 答案： 2. 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ,求边缘密度，。解：=3设XN(-3，1），YN(2,1),且X与Y相互独立，若Z=X-2Y+7，则

41、Z服从的分布是（ ）。 答案 填：N(0,5）4. 设D是由曲线xy=1与直线y=0,x=1,x=围成的平面区域,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘分布在x=2处的值为( )。 答案 填：由， 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则：当(x,y)D时，f(x,y)= ； 当(x,y)时，f(x,y)=0.当1x时，显然在x=2处的值为.5. 设随机变量相互独立且都服从区间上的均匀分布，则_.解： 1xy01 6. 设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N(0, ),则E|X-Y|=( ). 答案 填：令U=X-Y,则UN(0,1),从而 E|X-Y|

42、=E|U|= =7. 设是两个随机变量，且，则_. 解： .8. 设，则_. 解：， ，常数 9. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4，而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有（ ）。 答案 填：事实上，10. 设是两个随机变量，且，则_. 解： .11. 设，则_. 解：， ，常数 二、 计算题1. 设某班车起点站上客人数X服从参数为l（l0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率p(0p1),且中途下车与否相互独立。已Y表示在中途下车的人数,求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率; （2）二维随机向量(X,Y)的概率分布.解：（1）PY=m|X

43、=n=, m=0,1,2,n.（2）PX=n,Y=m=, m=0,1,2,n; n=0,1,2, 2. 设随机变量,求的联合分布列.解: (X1,X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0) = P(|Y|1,|Y|2)= (|Y|2)=2-2(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(1|Y|2)=2(2)-(1)=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=0，P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|1)=0.68263. 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ,求边缘密度，。解：=4. ，试求

44、：（1） 常数 A； （2） P(X2, Y1); （3) P(X, Y)D, 其中D为 2x+3y6.解：（1） =A/6， 所以（2）P X2, YY)。解：（1） ，由此得。（2）积分区域为，所以7. 设随机变量（X,Y）的概率密度为（1）确定常数k；（2）求（3）求（4）求. 。要点： 1确定常数，启动； 2用重要公式：； 3复习二重积分计算。解： （1）由可知 （2）（3）（4）8. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为，其中A，B，C为常数，x(-,+)，y(-,+) (1) 试确定A，B，C； (2)求X和Y的边缘分布函数； (3) 求P(X2)解：由联合分布函数性质2可知：

45、，解得，。故（2）， （3） 由X的分布函数可得：9. 设二维随机变量，求边缘密度函数fX(x)和fY(y)解： 当0x1时,，当x0或x1时，fX(x)=0，所以；当0y0时,即（3）由（1）、（2）不难验证：，知X,Y相互独立。于是20. 设随机变量（X,Y）具有概率密度 求。解： ， 21. 设随机变量具有概率密度 求。解： ，同理 故22. 设的概率密度为，求要点： ，分别令即可。解： ，23. 将n只球随机地放进n只盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X)。解： 引进随机变量则，其中分布， ，从而 24. 设与在圆域上服从联

46、合均匀分布，（1）求与的相关系数；（2）问与是否独立？解：（1）由与服从圆域上的联合均匀分布，即 可知关于各自的边缘概率密度函数为： 且（奇函数对称区间上的积分为0 因而 且，即与的相关系数为0。（2）由及可知，即与不独立。25. 已知三个随机变量X,Y,Z中，, 求。要点： 条件没说X,Y,Z相互独立，因而在算。解： 三、 应用题1. 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机。求：两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、期望值与方差。解：设第台自动记录仪无故障的工作时间，与独立同分布，且，即，当时，当时， 即为

47、两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度。 2. 设一商店经销某种商品，每周的进货量与顾客对该商品的需求量是两个相互独立的随机变量，均服从区间上的均匀分布，此商店每售出一个单位的商品，可获利1000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望。解：设一商店经销某种商品的每周所获利润为元，据题意可知： 当时， 当时，即 且 所以此商店经销这种商品每周获利的期望是14167元。3. 卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（以公斤计）服从(50，2.5)，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。解： 每袋重量X，

48、设最多装n袋，则总重量 Y ， ，故最多装39袋，（本题要点：反查的表。）四、 证明题1. 设X，Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明：Z=X+Y服从参数为的泊松分布。证明： 由题设知 由上一题结论可知二项式定理： 即Z=X+Y服从参数为的泊松分布。2. 设X,X,X是相互独立的随机变量。且有E(X)，D(X),i1,2,n.。记，S(1) 验证E(),D()；(2) 验证S;(3) 验证E(S)。要点： 此题为第六章及以后知识作准备，是核心推导之一。证明： 利用数学期望和方差的性质及定义。（1） E()ED()D(2) S （3） E(S) 3. 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为 试验证：X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。要点： 不相关；不独立（非“几乎处处”）证明： 即 同理 经验证有，故X与Y不是相互独立的，这是一方面。另一方面 （奇函数在对称区间积分为零）同理 从而 即4. 设服