角的平分线的性质(1)

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1、复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念oBCA12复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB我的我的长度长度 如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一条画一条射线射线AE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗你能由上面的探究得出作已

2、知角的平分线的方法吗?E角的平分线的作法角的平分线的作法证明：证明：在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求 想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=O

3、N，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=OC，OMC OMC ONCONC（SSSSSS）MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB练习练习1 1：平分平角：平分平角AOBAOB。归纳：归纳：“过直线上一点作这条直线的垂线过直线上一点作这条直线的垂线”的方法。的方法。ABOCDABOAOEBCPD 将将 AOBAOB对折对折,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边),),然后展开然后展开,观察

4、两次折叠形成的三条折痕观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论你能得出什么结论?可以看一看可以看一看,第一条折痕是第一条折痕是AOBAOB的平分线的平分线OCOC,第二次折叠第二次折叠形成的两条折痕形成的两条折痕PD,PEPD,PE是角的平分线上一点到是角的平分线上一点到AOBAOB两边的两边的距距离离,这两个距离相等这两个距离相等.角平分线的性质角平分线的性质已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明：PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）

5、（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）PDO=PEO AOC=BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DP PEAOBC证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED12 1=2 1=2 PD OA PD O

6、A，PE OBPE OBPD=PEPD=PE(角角的的平分线上的点到角的两边平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等)推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。角平分线的性质角平分线的性质BADOPEC定理应用所具备的定理应用所具备的条件条件：（1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相

7、等。ADCBBD CD（）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线，又又 _PD=PE ()PDOA，PEOBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等 在在OAB中，中，OE是它的角平分线

8、，且是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D.求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD D 在在ABC中，中，C=90 ，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，BC7，DE3.求求BD的长。的长。EDCBA 如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的的平分线，平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF这节课我们学习了哪些知识？这节课我们学习了哪些知识？1、“作已知角的平分线作已知角的平分线”的尺规作图法；的尺规作图法；2、角的平分线的性质：、角的平分线的性质：111

9、角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。OC是是AOB的平分线的平分线,又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点角的平分线上的点到角的两边距离相等到角的两边距离相等).EDOABPC几何语言几何语言:，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE 2 2、如图、如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,点点P P在在OCOC上上,PD,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD

10、=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用41.1.如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F，DE=DFDE=DF，EDB=EDB=6060，则，则 EBF=EBF=度，度，BE=BE=。ABCDCEF60BF2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm练习练习3.已知已知ABC中中,C=900,AD平分平分 CAB

11、,且且 BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE你会吗？你会吗？证明：证明：过点过点P P作作PD PD、PEPE、PFPF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂，垂足为足为D、E、F BM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PE=PF.PD=PE=PF.=PF.即点即点P P到边到边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？如图，的如图，的的外角的平分线与的外角的平分线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线求证：点到三边，所在直线的距离相等的距离相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！