§1.4因动点产生的平行四边形问题

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1、14 因动点产生的平行四边形问题课前导学我们先思考三个问题：1已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？图1 图2 图3如图1，过ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D如图2，已知A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单

2、位得到点D(5, 4)如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等关系式xAxCxBxD和yAyCyByD有时候用起来很方便我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图4，点A是抛物线yx22x3在x轴上方的一个动点，ABx轴于点B，线段AB交直线yx1于点C，那么点A的坐标可以表示为(x,x22x3)，点C的坐标可以表示为(x, x1)，线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为AByAx22x3，线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标 图4表示为ACyAyC(x22x3)(x1)x2x2 通俗

3、地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题如图1，抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C三点设点E(x, y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形（1）求抛物线的解析式；（2）当点E(x, y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由 图1 动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E运动，可以体验到，当

4、点E运动到抛物线的顶点时，S最大当点E运动到OB的垂直平分线上时，四边形OEBF恰好是正方形思路点拨1平行四边形OEBF的面积等于OEB面积的2倍2第（3）题探究正方形OEBF，先确定点E在OB的垂直平分线上，再验证EOEB图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点，设ya(x1)(x5)代入点C，得解得所以抛物线的解析式为（2）因为SS平行四边形OEBF2SOBEOB(yE)所以当x3时，S取得最大值，最大值为此时点E是抛物线的顶点（如图2）（3）如果平行四边形OEBF是正方形，那么点E在OB的垂直平分线上，且EOEB当x时，此时E如图3，设EF与OB交于点D，恰好

5、OB2DE所以OEB是等腰直角三角形所以平行四边形OEBF是正方形所以当平行四边形OEBF是正方形时，E、F图2 图3考点伸展既然第（3）题正方形OEBF是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢？如图4，如果平行四边形OEBF为矩形，那么OEB90根据EH2HOHB，列方程或者由DEOB，根据DE2，列方程这两个方程整理以后都是一元三次方程4x328x253x200，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的事实上，这个方程可以因式分解，如图3，x；如图4，x4；如图5，x，但此时点E在x轴上方了这个方程我们也可以用待定系数法解：设方程的三个根是、m、n，那么4x328x253x20根据恒

6、等式对应项的系数相等，得方程组解得图4 图5例 25 2014年湖南省益阳市中考第20题如图1，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线ya(x2)2k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长】图1 动感体验请打开几何画板文件名“14益阳20”，可以体验到，点Q在线段AB的垂直平分线上还可以体验到，正方形的对角线为AC，有一个顶点恰为抛物线的顶点思路点拨1第（2）题的等腰三角形只

7、考虑QAQB的情形2第（3）题的正方形不可能AC为边，只存在AC为对角线的情形图文解析（1）由y3x3，得A(1, 0)，B(0, 3)将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入ya(x2)2k，得解得a1，k1（2）如图2，抛物线的对称轴为直线x2，设点Q的坐标为(2, m)已知A(1, 0)、B(0, 3)，根据QA2QB2，列方程12m222(m3)2解得m2所以Q(2, 2)（3）点A(1, 0)关于直线x2的对称点为C(3, 0)，AC2如图3，如果AC为正方形的边，那么点M、N都不在抛物线或对称轴上如图4，当AC为正方形的对角线时，M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,1) 因为对

8、角线AC2，所以正方形的边长为图2 图3 图4考点伸展如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M有几个？如果AC为对角线，上面的正方形AMCN是符合条件的，M(2,1)如图5，如果AC为边，那么MN/AC，MNAC2所以点M的横坐标为4或0 此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3)第（2）题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边，那么符合条件的点Q有几个？如图2，当QAQB时，Q(2, 2)如图6，当BQBA时，以B为圆心，BA为半径的圆与直线x2有两个交点 根据BQ210，列方程22(m3)210，得此时Q或如图7，当AQAB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线x2有两个交点

9、，但是点(2,3)与A、B三点共线，所以Q(2, 3)图5 图6 图7例 26 2014年湖南省邵阳市中考第25题准备一张矩形纸片（如图1），按如图2操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M，将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面积图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳25”，拖动点D可以改变矩形ABCD的形状，可以体验到，当EM与FN在同一条直线上时，四边形BFDE是菱形，此时矩形的直角被三等分思路点拨1平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE是平行

10、四边形2如果平行四边形BFDE是菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直用这两个性质都可以解答第（2）题图文解析（1）如图3，因为AB/DC，所以ABDCDB又因为12，34，所以13所以BE/FD又因为ED/BF，所以四边形BFDE是平行四边形图3 图4（2）如图4，如果四边形BFDE是菱形，那么15所以125由于ABC90，所以12530所以BD2AB4，AE所以ME所以S菱形BFDE2SBDEBDME考点伸展第（1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形还可以这样思考：证明四边形BFDE的两组对边分别相等；证明ED与BF平行且相等；证

11、明四边形BFDE的两组对角分别相等这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明1234这样其实就走了弯路，因为由13，直接得到BE/FD，根据平行四边形的定义来得快能不能根据BD与EF互相平分来证明呢？也是可以的：如图5，设EF与BD交于点O，根据“角角边”证明EMOFNO，得到EF与MN互相平分又因为BMDN，于是得到EF与BD互相平分图5 图6第（2）题的解法，我们用了菱形的性质：对角线平分每组对角，得到30的角我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题：如图6，如果四边形BFDE是菱形，那么对角线EFBD，此时垂足M、N重合因此BD2DC这样就得到了530事实上，当四边形BFDE是菱形时，矩形ABCD被分割为6个全等的直角三角形由AB2，得AD矩形ABCD的面积为菱形面积占矩形面积的，所以菱形面积为