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1、（一）邊界元素法分析技術的數學議題邊界元素法或邊界積分方程法已發展多年，前期主要針對邊界元素法的優點加以發揮（談其優點），例如僅對問題的邊界做離散。於75年台大應力所鮑亦興院士邀請美國Rizzo,Shipp與Mukherjee三位教授來臺開授講習班。而在含退化邊界問題，台大洪宏基終身特聘教授與海大陳正宗終身特聘教授首創對偶邊界元素法。87年由國家高速電腦中心主辦邊界元素計算研討會，主要由國內電機、機械、應力、水利、河工、海洋、結構等不同領域學者參與，當時即可看出國內在此方面充沛的研究能量。然近年來研究發現邊界元素法於工程應用所隱藏的危機（談其缺點），主要分四部份：（I）外域聲波與水波場的虛擬頻
2、率問題。（II）內域多連通共振的假根問題。（III）二維勢能（含Laplacebiharmomi（與Navier方程）退化尺度問題。（IV）大尺度問題的克服。以上幾點分述於下:（I）.外域聲波與水波的虛擬頻率問題:外域聲波與等水深水波問題，若以邊界元素法分析時，將出現數值不穩定的虛擬頻率。在周期陣列圓柱定水深水波問題，除了可觀察到近陷阱模態（見圖1（a）的物理現象外，亦發生虛擬頻率的數值共振現象（見圖1（b）。透過Burton&Miller法或CHIEF法均可有效克服此問題。基於對偶邊界元素法的四個核函數所對應的影響係數矩陣，觀察其SVD數學結構發現真（實）訊息是在右酉向量中，假（虛）訊息則在
3、左酉向量中。進而了解虛擬頻率發生機制並提出解決之道。而假根與退化尺度亦有類似的數學秩降架構。（II）.內域多連通共振的假根問題:於內域多連通問題，若以邊界元素法分析其共振模態將遭遇假根問題。可運用對偶架構四個矩陣作補充列及補充行並搭配奇異值分解（SVD）的技巧分別萃取出真根及假根，發展了一套去蕪存菁術。（III）.二維勢能（含Laplacebiharmomic與Navier方程）退化尺度問題針對以邊界元素法求解邊界值問題時所遭遇退化尺度，作一理論證明與數值實驗，並提供解決方案。所謂退化尺度（degeneratesea乃指以邊界元素法求解邊界值問題時，當問題領域擴大（或縮小）到某特定大小時，邊界
4、元素法（BEM）會產生數值不穩定現象，導致無法正確求解。此問題在數學上屬於解不唯一問題，現今已有多種稱呼：criticalvalue、transfiniteboundary、transfiniteradius或logarithmiccapacity主要探討以傳統邊界積分方程法或邊界元素法，求解二維Dirichlet型問題的解不唯一性。若改以超奇異積分方程求解，因其影響係數矩陣之譜結構沒有零根，而可有效避開退化尺度。另一解決退化尺度秩降問題的方法，可將外域聲場的CHIEF法推廣到內域退化尺度問題的CHEEF法，在域外得束制方程式來提高矩陣秩數而使問題迎刃而解，此點在Laplace與biharmonic方程均已被證實可行。（IV）.大尺度問題的克服:邊界元素法發展雖已逾三十年歷史，然而在大尺度問題上的應用，桌上型電腦仍有其力有未逮之處。透過快速多極邊界元素法開發，將可得以解決。此方面研究是目前邊界元素法的研究重心與主流。(a)(b)圖1四根陣列圓柱排列水波互制行為所產生近陷阱模態及虛擬頻率(a)自由液面高程,(b)虛擬頻率(數學)與近陷阱模態(物理)
一边界元素法分析技术的新议题
