对数学建模题目难度预测

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1、对数学建模题目难度预测摘要本题的目的是通过对数学建模题目难度进行预测，进而对高校数学建模培训起到一定意义上的指引作用。本题解决方案是以难度趋势为突破口，运用层次分析法评价得到有关数据，建立数学模型，定性预测将来一段时间内数学建模难度的变化。建模题难度从单方面评估不是很故意义，为此我们将数学建模的难度分解到数据量、专业度、程序量、复杂度这四个方面的指标，通过这四个方面的数据对数学建模开办来的难度进行间接地衡量。由于数据量庞大,我们一方面对时间较早的题目的数据进行不均匀采样，对近些年的题目的数据进行所有采样，共选用1992年到中的题目，运用层次分析法进行解决，得到的权向量即为这题目的数据量、专业度

2、、程序量、复杂度等的大小。结合样本估计总体的思想，运用线性回归得到得到数学建模题目的数据量、专业度、程序量、复杂度都在不断增大的结论。另一方面通过查阅资料，运用记录学的，对历年题目的措施使用频率进行了记录，成果表白，优化的有关内容及措施所占比重最大，图论、概率、记录等也是主流内容。但仅凭借措施的使用频率来评价措施的重要性较为片面，故在模型改善中，我们运用模糊综合评价，从措施使用频率、难易限度、引用广度等三个方面进行评价，得到措施的重要性排序：概率微积分与差分优化记录图论评判最后，我们根据以上预测与评价成果对建模培训给出了某些建议。核心词：难度分解、不均匀采样、层次分析法、趋势评估一、问题提出：

3、1.1 背景知识概述：近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，并且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗入，所谓数学技术已经成为现代高新技术的重要构成部分。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。数学建模是一种数学的思考措施，是运用数学的语言和措施，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。建模题目的难度预测，有助于提高高校人才培养的针对性与适应性，对高校建模培训具有指引意义。1.2 要

4、解决的问题:1.2.1根据以往数学建模数据，对将来一段时间内，数学建模题目的难度趋势将进行评价和预测。1.22根据这些题目常用的建模措施记录，对常用的建模措施重要性进行排序。1.2.3对建模培训的内容给出建议报告。二、基本假设： 2.1假设1试题难度由数据量、专业度、程序量、复杂度这四个方面指标共同决定，以题目难度作为评价总指标；2.2 假设2在建模比赛中，越接近目前的试题越具有代表性;2.3假设3数学建模题目难度变化规律总体上呈线性变化，忽视“突变”因素；2.4假设4用层次分析法对历年实体的评估都是合理的2.5假设5某种措施的使用频率决定其在建模比赛中的重要限度。三、建立模型： 3.1模型数

5、据准备对建模题目难度进行预测，需要以长期的数学建模数据做为根据。本文采集的数据重要取自数学建模官方网站以及CNKI中对数学建模研究的学报。3.2模型建立措施3.2.1运用层次分析法评价题目3.2.2记录各个措施的使用频率3.2.3使用模糊综合评价法评估重要性具体论述模型、变量、参数代表的意义和满足的条件及建模的思想；3.3参数设定I措施重要性分解集J建模措施集A1复杂度A2专业度A3程序量A4数据量B评价矩阵R1微分法与差分R2评判R3 概率R4 优化R5 图论R6 记录四、模型求解：4.1建模难度有关数据求解4.1.1复杂度求解对1992年到中所采样的题目复杂度数据进行解决，得到如下评价矩阵

6、： 用Matlab解决归一化得到如下数据：0.0085 0.0131 0.0119 0.0194 0.0153 0.0387 0.0583 0.0362 0.0652 0.0388 0.0411 0.0499 0.0612 0.0914 0.1068 0.1478 0.1964将所得数据绘制成表格年份1992199419961998复杂度0.00850.01310.01190.01940.01530.03870.05830.03620.0652年份复杂度0.03880.04110.04990.06120.09140.10680.14780.1964得到如下复杂度-年份曲线图线性拟合后得到：4.

7、1. 2专业度求解对1992年到中所采样的题目复杂度数据进行解决，得到如下评价矩阵用Matlab解决归一化得到如下数据：0.0126 0.0112 0.0091 0.0179 0.0216 0.0354 0.0397 0.0195 0.0438 0.0473 0.0456 0.0727 0.1004 0.1205 0.1220 0.1220 0.1588 将所得数据绘制成表格年份1992199419961998专业度0.01260.01120.00910.01790.02160.03540.03970.01950.0438年份专业度0.04730.04560.07270.10040.12050

8、.1220.1220.1588得到如下复杂度-年份曲线图线性拟合后得到：4.1.3程序量求解对1992年到中所采样的题目复杂度数据进行解决，得到如下评价矩阵用Matlab解决归一化得到如下数据：0.0090 0.0130 0.0136 0.0203 0.0396 0.0795 0.0631 0.0375 0.0758 0.0619 0.0629 0.0440 0.0632 0.0791 0.0449 0.1191 0.1734将所得数据绘制成表格年份1992199419961998程序量0.0090.0130.01360.02030.03960.07950.06310.03750.0758年份

9、程序量0.06190.06290.0440.06320.07910.04490.11910.1734得到如下程序量-年份曲线图线性拟合后得到：4.1.4数据量求解对1992年到中所采样的题目复杂度数据进行解决，得到如下评价矩阵用Matlab解决归一化得到如下数据：0.0086 0.0249 0.0134 0.0154 0.0463 0.0196 0.0160 0.0331 0.0285 0.0479 0.0530 0.0634 0.0669 0.0922 0.1301 0.1027 0.2380将所得数据绘制成表格年份1992199419961998数据量0.00860.02490.01340

10、.01540.04630.01960.0160.03310.0285年份数据量0.04790.0530.06340.06690.09220.13010.10270.238得到如下数据量-年份曲线图线性拟合后得到：4.2建模难度评价及预测将图1、图2、图3、图4叠加后得到如下曲线图。可进一步可得到结论：数学建模难度大体呈逐年上升趋势4.3记录建模措施4.3.1从题目来源上分析：为了细致的理解大学生数学建模竞赛的历年题目，我们一方面对其题目的来源进行了分析我们针对从1992年到所有的A、B题题目来源进行了分析与记录。从这总共44各题目的实际意义方面分析来说,大体上可以分为国际大事、国际关注、社会热

11、点、社会问题、国家项目、工业问题、国内大事、行业问题八个大类。如下是历年题目附属于这八大类的次数记录: 序号题目来源次数序号题目来源次数1国际大事25社会热点82国际关注36社会问题53国家项目37工业问题104国内大事38行业问题10其中：在表格的左半边，这些关乎国家以及国际上大事的题目总共有11个，占到了总数的25%,而在表格的右半边，这些贴近生活，与人们的生活息息有关的问题总共达到了33个，达到了总数的75%。可见大学生数学建模竞赛的试题总体上是贴近生活的。4.3.2从问题的解决措施上分析 如下是各个赛题的解法对照表：措施有关赛题措施数使用总数优化概率模型a、b、b、b1829组合优化1

12、992b、1998b、b规划1993a分步优化解决b数值模拟b、b、b混合整数规划1999b、b蒙特卡罗法a随机规划a、b、b单目的决策b动态规划1994a、1995b、b、b组合数学1994b非线性规划1995a、1996b、1997a、b、b、a、b、a、a线性规划1995a、1998a、a、b、b、a整数规划1993b、b、b、a、b、0-1规划多目的规划1998a、b、a、b计算机仿真优化b、1999a、a二次规划b评判Fisher鉴别a611综合评价措施b、b、a、b、b、b模糊数学措施b模糊规划1998a模式辨认a层次分析1993b、b、bFisher鉴别a概率线性目的函数的多约束

13、的非线性规划问题b57随机模拟1997b、排队论1995b、b、b随机优化1999a满意度函数b线性目的函数的多约束的非线性规划问题b图论距离矩阵b513最短路算法b、b网络流b、a运送问题b、b图论1993b、1994a、1994b、1995b、1997b、1998b、1999b、a、b记录回归分析1992a、a、a、b、a、b816数据拟合1992a、1993a、a、a、b、a、b、a数据收集解决b曲线拟合a记录分析a、a、b数据解决a、a、a、a插值1994a、a、a、b抽样分析b微分与差分数据拟合1992a、1993a、a、a、b、a、b、a414数据收集解决b曲线拟合a微元分析法a差

14、分方程a、a、a微分方程1996a、a、a、b、aa、a、a其她时间序列分析a、a、b、b44灰色预测a、a、b、b4人工神经网络a、a2枚举法1999b1从以上分析可以看出：历年试题重要以优化，记录，评判为主，再在其中穿插某些其她运筹知识，如：图论、概率等，以及其她离散数学，组合数学等有关知识。 4.4常用的建模措施重要性排序。针对以上我们对信息的整合，我们做出了如下记录：一方面我们对各个小措施数目进行了记录：措施大类数量所占比重微积分与差分48.69%评判613.04%概率510.86%优化1839.13%图论510.86%记录48.69%其她48.69%总和461在大学生数学建模竞赛中所

15、使用的多种小措施所从属的大措施中，优化所涉及的小措施最多，占到了总数的39.13%。另一方面是占总数13.04%的评判，再次之则是10.86%的记录，最后是均占总数8.69%的记录、图论和微积分与差分。由此可见优化是在数学建模竞赛中所使用措施分支最多的。由此我们可以到的到措施数量从大到小的的排序：优化评判概率图论=记录=微积分与差分如下是每种大措施的使用次数记录：措施大类使用次数所占比重微积分与差分140.138614评判110.108911概率70.069307优化290.287129图论130.128713记录160.158416其她110.108911总和1011由此可见：在大学生数学建

16、模竞赛所有措施的总共使用次数101次之中，优化所占的比重最大，达到了总数的28.71%。对所有措施的使用次数占总数的比例进行从大到小的排序，得到如下成果（由于其她各项所占比重过小，故归为一类）：优化记录微积分与差分图论评判概率其她由于措施的使用频率的高下相对在这大学生数学建模竞赛中而言，决定着措施的重要限度。换言之，倘若一措施使用频率先比其她较高，则该措施在大学生数学建模竞赛中相比其她措施也更具有重要性。于是得到了重要性排序：优化记录微积分与差分图论评判概率其她4.3.3模型改善针对上面的模型，单纯从措施的使用频率、难易限度、措施的重要性较为片面，我们决定从措施的使用频率、难易限度、措施的重要

17、性、引用广度这三方面对其进行模糊综合评价运用层次分析法得到评价综合矩阵计算后得权向量：对措施的使用频率综合评价后得到评价矩阵：微分与差分：评判：概率：优化：图论：记录：由于： 由归一化后得：微积分与差分：评判：概率：优化：图论：记录：由此可以得到建模措施重要性排序：概率微积分与差分优化记录图论评判4.5对建模培训的内容给出建议报告。为进一步指引数学建模培训,使数学建模教学得到更加科学高效地组织开展,我们对历年建模题目进行了评估记录,并根据成果呈现的趋势对建模难度从四个方面进行了预测,对措施的重要性进行了评价。从整体上看,数学建模的题目来源广泛,波及社会科学、工业工程、生物医学、运送调度等多类问

18、题。题目呈现出综合性、实用性、创新性等特点。为此，我们以层次分析法为主线，对影响实体难度的四个方面进行了分析评估。成果表白：随着时代的发展、科技的进步，数学建模的难度随数据量、专业规定限度、复杂限度、计算机程序量增长而增长。这些指标的增长顺应了时代发展的潮流，也使得数学建模的题目更加富有挑战性。建模措施重要以优化模型、概率记录模型、图论、微分方程等内容为主。针对以上对建模题目的分析，及目前数学建模培训中的现状，我们给出如下建议：1、 培训期间，应当重点对优化、记录等数学建模重点模型措施、内容的专家上来。这些模型措施使用范畴较广，理论相对基本，容易在短期内激发学生建模爱好、从而获得较好的教学效果

19、。2、 培养学生运用计算机软件进行数据记录、数据解决的能力，使学生应对庞大的数据量可以做到心中有数，沉着地去面对大量数据。同步对MATLAB、SPASS/SAS、LINGO/LINDO、MATHMATICA、MAPLE等软件，进一步浅出地解说，以引导学生较为进一步地学习这些软件为目的，以提高某软件求解的能力3、 指引学生高效地进行资料的收集、整合。推荐某些较为权威的学术资料源。4、 论文是呈现学习成果的最重要方式，因此应加大对这方面的培训指引，从中发现学生存在的问题，并及时给出修改建议。5、 引导学生关注科学前沿和社会生产生活中的实际问题，让学生在扩大知识面的同步，提高学生对生疏的问题的思考能

20、力，使学生易于接受新知识、新文化求解、算法的重要环节；成果分析与检查：（含误差分析）；模型改善: 针对第二问，单纯从措施的使用频率、难易限度、措施的重要性较为片面，我们决定从措施的使用频率、难易限度、措施的重要性、引用广度这三方面对其进行综合评价运用层次分析法得到评价综合矩阵模型评价：我们分别通过层次分析法与模糊综合评价法对历年赛题与所用措施进行了分析，得出了将来赛题的进展趋势与措施的重要性排序，成果较为合理，有一定的参照价值。但这两种措施随力求真实客观，但受措施自身限制，成果中仍然具有一定的主观因素。参照文献： 编号(美)米尔斯切特|译者：刘来福，数学建模措施与分析(原书第4版)，北京：机械

21、工业出版社，.附件：2 （1）分工组长：梁云跃资料收集：唐江华模型建立：梁云跃、杨东旭模型求解：梁云跃、杨东旭写作：唐江华、杨东旭（2）需把期间的筹划时间安排和执行进度第一天（相称于比赛的第一天）选题：B题讨论题目思路措施，商讨建模也许波及数据，明确分工，拟定前三天工作筹划，收集并整顿高校数学建模开题报告，收集高校数学建模培训重点内容，为第三问作准备；第二天（相称于比赛的第二天）对数据进行分类整合，完毕第一题，建立模型，第三天（相称于比赛的第二天晚上）查漏补缺、攻克难点，完毕第二题，讨论第三题的思路及论文拟写措施第四天（相称于比赛的第三天）对模型求解，撰写论文第五天（相称于比赛的第三天晚上）修

22、改论文和摘要，核定数据，完毕定稿，撰写总结。（3）实际所做工作以层次分析法为主线解题；收集并整顿高校数学建模开题报告，收集高校数学建模培训重点内容；数据收集、解决、记录、归类；（4）总结整体而言，我组分工合理，配合密切，积极摸索思路措施，但这期间也暴露出了某些局限性，由于我们的资料整合不到位，查找到的资料未能得到有效运用，导致思维不够开放，仅局限于自己的措施，这些局限性都是后来要注意的。附件：3编写的程序：得到归一化后的权向量：function Q,C=guiyi(A) %输入对比矩阵A，输出最大特性值Q，归一化后的权向量CV,D=eig(A);GY=;n=size(A,1); %M表达对比矩

23、阵A的行数ma=D(1,1); %ma表达maxfor i=1:n %通过最大特性值得位置找出最大特性值Q if ma=D(i,i) x=i; endendQ=D(x,x);B=V(:,x); %找出最大特性值相应的特性向量并进行归一化解决M=size(B,1);sum=0;for i=1:Msum=sum+B(i,1);endfor i=1:Mt=B(i,1)/sum;GY=GY,t;endC=GY;CR检查：function CI,CR=testCR(A,RI,n,Q)CI=(Q-n)/(n-1);CR=CI./RI;线性拟合：x=1992 1994 1996 1998 ;y=0.0086 0.0249 0.0134 0.0154 0.0463 0.0196 0.0160 0.0331 0.0285 0.0479 0.0530 0.0634 0.0669 0.0922 0.1301 0.1027 0.2380;p=polyfit(x,y,1);x0 = linspace(min(x), max(x);Y=polyval(p,x0);plot(x,y,*,x0,Y);xlabel(时间, FontSize, 15);ylabel(比例, FontSize, 15);legend(原始数据点,拟合曲线)sprintf(直线方程：Y=%0.5gxX+%0.5g,p(1),p(2)