因式分解wangxiaogang

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1、关于关于x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)x+pq型多项式的因式分型多项式的因式分解解 十字相乘法黎城三中 教师：王小刚十字相乘法教学目标教学目标：1 了解形如x2+(p+q)x+pq型的多项式，2 会用十字相乘法分解形如x2+(p+q)x+pq的多项式重点重点：利用十字相乘法分解因式。难点难点：常数项为正，分为两个同号的数相乘；常数项为负，分为两个异号的数相乘。观察：观察：x2+5x+6x2+9x+18x2+15x+56x2+(p+q)x+pq x2+(2+3)x+23 x2+(3+6)x+36 x2+(7+8)x+78 x2+(p+q)x+pq 第一项系数(即二次项系数）x2+(

2、2+3)x+23 x2+(3+6)x+36 x2+(7+8)x+78 x2+(p+q)x+pq第三项系数(即常数项)x2+(2+3)x+23 x2+(3+6)x+36 x2+(7+8)x+78 x2+(p+q)x+pq第二项系数(即一次项系数)x2+(2+3)x+23 x2+(3+6)x+36 x2+(7+8)x+78 x2+(p+q)x+pq(1)二次项系数是二次项系数是1(2)常数项是两个数之积常数项是两个数之积(3)一次项系数是常数项两个一次项系数是常数项两个因数之和因数之和特点：特点：因此以上例题我们都可以用因此以上例题我们都可以用x2+(p+q)x+pq的形式来表示的形式来表示那么我

3、们来回顾一下x2+(p+q)x+pq是如何分解因式的:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)所以x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)利用这一结果我们可以直接将某些二利用这一结果我们可以直接将某些二次项系数是次项系数是1的二次三项式进行因式的二次三项式进行因式分解分解 例例1(1)分析分析:x2+3 x +2的二次的二次项系数是项系数是1,常数项常数项2=1 2,一一次项系数次项系数3=1+2,可以写可以写x2+(1+2)x+1 2的形式的形式,所以所以:解:x2+3 x +2=(x +1)(x

4、 +2)（2）分析）分析:x2 -7 x +6的二的二次项系数是次项系数是1,常数项常数项 6=(-1)(-6),一次项系数一次项系数 -7=(-1)+(-6),同样可以写成同样可以写成x2+(-1)+(-6)x+(-1)(-6)的形式的形式,所以所以:解解:x2 -7 x +6=(x -1)(x -6)从例从例1中我们可以看到对形如中我们可以看到对形如 x2+(p+q)x+pq的多项式进行因式分解时的多项式进行因式分解时,主要是主要是通过讨论多项式各个项的系数来通过讨论多项式各个项的系数来分解的分解的,因此我们可以用一个简便因此我们可以用一个简便的方法来分解这一类因式的方法来分解这一类因式,

5、即即十字十字相乘法相乘法.例如例如:分解分解 x 2 +8 x +121126x +2x +6解解:原式原式=(x +2 )(x +6)例如例如:分解分解 x 2 -10 x +21-3-711x -3 x -7注意注意:处理系数时要带符号一起处理处理系数时要带符号一起处理所以所以:原式原式=(x -3)(x -7)例例2:分析分析(1)x2 +x -2的两次项系数是的两次项系数是1,常数项常数项-2=(-1)2,一次项系数一次项系数1=(-1)+2,得得:11-12x -1x +2所以所以,原式原式=(x -1)(x +2)(2)x2 -2x -15熟练之后熟练之后,可以直接用十字相乘法如下

6、可以直接用十字相乘法如下:-5113所以所以,原式原式=(x +3)(x -5)归纳填空归纳填空:(1)常数项是正数时常数项是正数时,它分解成两它分解成两个个_号因数号因数,它们和它们和 一次一次项系数符号项系数符号_.(2)常数项是负数时常数项是负数时,它分解成两它分解成两个个_号因数号因数,其中绝对值较其中绝对值较_的因数和一次项系数符的因数和一次项系数符号相同号相同.同 相同异大 课堂练习(1)x2+4x+3(2)a2 +7a+10(3)y2 -7y+12(4)q2 -6q+8(5)x2+x -20(6)m2+7m-18(7)p2 -5p -36(8)t2 -2t -8 课堂小结课堂小结

7、:把一个多项式分解的一般步骤是把一个多项式分解的一般步骤是1 如果多项式各项有公因式,那么先提公因式.2 如果各项没有公因式,可以尝试用公式来分.3 如果上述方法不能分解,可以尝试用分组分解法分解.4 因式分解,必须进行到每个多项式因式不能分解为止.例例3:解：解：(1)x2y2 -5x2y +6x2第一步第一步第一步第一步第一步第一步：先提出各项的公因式 x2，得到：x2y2 -5x2y -6x2=x2(y2-5y+6)第二步第二步第二步第二步第二步第二步：用十字相乘法继续分解y2-5y+6-2-311可得：原式=(x 2)(x 3)解解：81x5y5 -16xy第一步第一步：先提出各项的公

8、因式 xy，得到：81x5y5 -16xy=xy(81x4y4-16)第二步第二步：用平方差公式，得到：可得可得：原式：原式=(x 2)(x 3)原式=xy(9x2y2+4)(9x2y2-4)第三步第三步：再运用平方差公式，得到：原式=xy(9x2y2+4)(3xy+2)(3xy-2)(1)x2y2 -5x2y +6x2=x2(y2-5y+6)=x2(y-2)(y-3)(2)81x5y5 -16xy=xy(81x4y4-16)=xy(9x2y2+4)(9x2y2 4)=xy(9x2y2+4)(3xy+2)(3xy 2)书写过程书写过程：练习：练习：a2b2 (a4+b4 )2-(2a3b3 )2=a2b2(a4+b4)2-4a6b6=a2b2(a4+b4)2-(2a2b2)2=a2b2(a4+b4+2a2b2)(a4+b4-2a2b2)=a2b2(a2+b2)2(a2-b2)2=a2b2(a2+b2)2(a+b)2(a b)2作业作业：(1)x2+9x+8 (2)x2-10+24(3)x2+3x-10 (4)x2-3x-28(5)a2 -4a -21(6)m2+4m-12(7)p2 -8p+7 (8)b2+11b+28