余弦函数图像与性质

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1、x6yo-12345-2-3-41 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 余弦函数余弦函数的图象的图象 正弦函数正弦函数的图象的图象 x6yo-12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2 余弦曲余弦曲线线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲正弦曲线线形状完全一样形状完全一样只是位置不同只是位置不同xyo1-1-2-2 3 4 R Rx xs si in nx x,y y正弦曲线正弦曲线R Rx x ,cosxcosxy y-2-o 2 3 x-11y余弦曲线余弦曲线 函数函数定义域定义域 值域值域sinyxcosyx 1,1 1,1RRyx23460

2、21-15 y=sinx (x R)当当x=x=时，函数值时，函数值y y取得最大值取得最大值1 1；k22当当x=x=时，函数值时，函数值y y取得最小值取得最小值-1 1k22观察下面图象：yx2346021-15 y=cosx(x R)当当x=时，函数值时，函数值y取得最大值取得最大值1；k 2当当x=x=时，函数值时，函数值y y取得最小值取得最小值-1-1k 2观察下面图象：性质性质3：周期性：周期性 周期函数的定义：周期函数的定义：对定义域内的对定义域内的任意任意的的x x的值，的值，存在一个常数存在一个常数T0T0，使得，使得T T叫作周期叫作周期 )()(xfTxf因为终边相同

3、的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在的图象在，与与y=sinx,x0,2的图象相同的图象相同2,4,0,2,2,0,4,2正弦曲线正弦曲线xy-1-12o46246因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在的图象在，与与y=cosx,x0,2的图象相同的图象相同2,4,0,2,2,0,4,2余弦曲线余弦曲线2o46246xy-1-1 由此可知，由此可知，2,4,2,4,2(,0)k k Z k()f x都是这两个函数的周期。都是这两个函数的周期。对于一个周期函数对于一个周期函数 ，如果在，如果

4、在它所有的周期中存在一个最小的它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫正数，那么这个最小的正数就叫做做 的最小正周期。的最小正周期。()f x根据上述定义，可知：根据上述定义，可知：2(,0)kkZ k都是它的周期，都是它的周期，正弦函数、余弦函数都是周期函数，正弦函数、余弦函数都是周期函数，最小正周期为最小正周期为2 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R)x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R)定义域定义域值值 域域周期性周期性x Ry -1,1 T=2 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶

5、性sin(-x)=-sinx (x R)y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性 一般的，对于函数一般的，对于函数f(x)的定义域内的的定义域内的任任意意一个一个x，都有，都有f(-x)-f(x)，则称，则称f(x)为为这这一定义域内一定义域内的奇函数。的奇函数。注意：若注意：若f(x)是奇函数，且是奇函数，且x0在定义域内，则在定义域内，则f(0)0函数函数y=sinx,x0,2是奇函数吗？是奇函数吗？正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 y=sinxyxo-1234-2-312 23 2

6、5 27 2 23 25 y=sinx (x R)图象关于图象关于原点原点对称对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性x6o-12345-2-3-41ycos(-x)=cosx (x R)y=cosx (x R)是是偶函数偶函数 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性 一般的，对于函数一般的，对于函数f(x)的定义域内的的定义域内的任任意意一个一个x，都有，都有f(-x)f(x)，则称，则称f(x)为为这这一定义域内一定义域内的偶函数。的偶函数。关于关于y轴对称轴对称奇函数：奇函数：f(-x)f(-x)-f(x)-f(x)图象关于原点对称图象关于原点对称偶函数：偶函数：f(-x

7、)f(-x)f(x)f(x)图象关于图象关于y y轴对称轴对称 若若 f(x)f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数()()f xf x 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)=-sinx (x R)y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)=cosx (x R)y=cosx (x R)是是偶函数偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性(1)sin 3,(2)sinc o s(3)1sinyxyxxyx 例例1：判定下列函数的奇偶性：判定下列函数的奇

8、偶性 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性3()2sin3,g(x)=()3ff xaxxxf x例2：已知函数若f(2)=3,1)求证：函数是奇函数；2）求(-2)的值 正弦、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ，其值从其值从-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0-1减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k,+2k,k Z2 2 +2k,+2k

9、,k Z2 23 正弦、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R)x cosx2 2 -0 -1 0 1 0-1增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k,2k,k Z 减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12k,2k +,k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 yx2346021-15 y=sinx (x R)当x=时，函数值y取得最大值1；k22当x=时，函数值y取得最小值-1k22)0,k对称中心（2kx对称轴：观察下面图象：yx2346021-15 y=cosx(x R)当x=时，

10、函数值y取得最大值1；k2当x=时，函数值y取得最小值-1k2)0,2k对称中心（kx 对称轴：观察下面图象：函函 数数 性性 质质y=sinx (kz)y=cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴x Rx Rx Rx R-1,1-1,1-1,1-1,1x=2kx=2k时时y ymaxmax=1=1x=2k+x=2k+时时 y yminmin=-1=-1周期为T=2周期为周期为T=2T=2奇函数奇函数偶函数偶函数在x2k，2k+上都是增函数 ,在x2k-，2k 上都是减函数 。(k,0)(k,

11、0)x=kx=2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k-时时 ymin=-122在x2k-,2k+上都是增函数 ,在x2k+，2k+上都是减函数.22232(k+,0)(k+,0)2x=k+2 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 例例 画出函数画出函数y=-cosx，x 0,2 的简图：的简图：x cosx-cosx2 23 0 2 10-101 -1 0 1 0 -1 yxo1-122322y=-cosx，x 0,2 y=cosx，x 0,2 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 小小结结1.正弦曲线、余弦曲线正弦曲线、余弦曲线几何画法几何画法 五点法五点法2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系yxo1-122322y=sinx，x 0,2 y=cosx，x 0,2 26 结束语结束语