实验数据的误差分析精

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1、第2章 实验数据的误差分析通过实验测量所得大批数据是实验的重要成果，但在实验中，由于测量仪表和人的观测等方面的因素，实验数据总存在某些误差，因此在整顿这些数据时，一方面应对实验数据的可靠性进行客观的评估。误差分析的目的就是评估实验数据的精确性，通过误差分析，认清误差的来源及其影响，并设法消除或减小误差，提高实验的精确性。对实验误差进行分析和估算，在评判实验成果和设计方案方面具有重要的意义。本章就化工原理实验中遇到的某些误差基本概念与估算措施作一扼要简介。2.1 误差的基本概念2.1.1真值与平均值真值是指某物理量客观存在的拟定值。一般一种物理量的真值是不懂得的，是我们努力规定测到的。严格来讲，

2、由于测量仪器，测定措施、环境、人的观测力、测量的程序等，都不也许是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一种抱负值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观测的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差浮现的机率相等，故将各观测值相加，加以平均，在无系统误差状况下，也许获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中是指观测次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。然而对我们工程实验而言，观测的次数都是有限的，故用有限观测次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布

3、时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。 （2-1）式中： 各次观测值；n观测的次数。 （2）均方根平均值 （2-2） （3）加权平均值设对同一物理量用不同措施去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 （2-3）式中；各次观测值； 各测量值的相应权重。各观测值的权数一般凭经验拟定。 （4）几何平均值 （2-4） （5）对数平均值 （2-5）以上简介的多种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值的选择重要决定于一组观测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多属于正态分

4、布，故一般采用算术平均值。2.1.2误差的定义及分类在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，措施多么完善，实验者多么细心，不同步间所测得的成果不一定完全相似，而有一定的误差和偏差，严格来讲，误差是指实验测量值（涉及直接和间接测量值）与真值（客观存在的精确值）之差，偏差是指实验测量值与平均值之差，但习惯上一般将两者混淆而不以区别。根据误差的性质及其产生的因素，可将误差分为：1）系统误差； 2）偶尔误差；3）过错误差三种。1系统误差又称恒定误差，由某些固定不变的因素引起的。在相似条件下进行多次测量，其误差数值的大小和正负保持恒定，或随条件变化按一定的规律变化。产生系统误差的因素有：1）仪器刻度不准

5、，砝码未经校正等；2）试剂不纯，质量不符合规定；3）周边环境的变化如外界温度、压力、湿度的变化等；4）个人的习惯与偏向如读取数据常偏高或偏低，记录某一信号的时间总是滞后，鉴定滴定终点的颜色限度各人不同等等因素所引起的误差。可以用精确度一词来表征系统误差的大小，系统误差越小，精确度越高，反之亦然。由于系统误差是测量误差的重要构成部分，消除和估计系统误差对于提高测量精确度就十分重要。一般系统误差是有规律的。其产生的因素也往往是可知或找出因素后可以清除掉。至于不能消除的系统误差，我们应设法拟定或估计出来。2偶尔误差又称随机误差，由某些不易控制的因素导致的。在相似条件下作多次测量，其误差的大小，正负方

6、向不一定，其产生因素一般不详，因而也就无法控制，重要表目前测量成果的分散性，但完全服从记录规律，研究随机误差可以采用概率记录的措施。在误差理论中，常用精密度一词来表征偶尔误差的大小。偶尔误差越大，精密度越低，反之亦然。在测量中，如果已经消除引起系统误差的一切因素，而所测数据仍在未一位或未二位数字上有差别，则为偶尔误差。偶尔误差的存在，重要是我们只注意结识影响较大的某些因素，而往往忽视其她尚有某些小的影响因素，不是我们尚未发现，就是我们无法控制，而这些影响，正是导致偶尔误差的因素。3过错误差又称粗大误差，与实际明显不符的误差，重要是由于实验人员粗心大意所致，如读错，测错，记错等都会带来过错误差。

7、具有粗大误差的测量值称为坏值，应在整顿数据时根据常用的准则加以剔除。综上所述，我们可以觉得系统误差和过错误差总是可以设法避免的，而偶尔误差是不可避免的，因此最佳的实验成果应当只具有偶尔误差。2.1.3 精密度、对的度和精确度（精确度）测量的质量和水平，可用误差的概念来描述，也可用精确度等概念来描述。国内外文献所用的名词术语颇不统一，精密度、对的度、精确度这几种术语的使用历来比较混乱。近年来趋于一致的多数意见是：精密度：可以称衡量某些物理量几次测量之间的一致性，即反复性。它可以反映偶尔误差大小的影响限度。对的度：指在规定条件下，测量中所有系统误差的综合，它可以反映系统误差大小的影响限度。精确度（

8、精确度）：指测量成果与真值偏离的限度。它可以反映系统误差和随机误差综合大小的影响限度。为阐明它们间的区别，往往用打靶来作比方。如图2-1所示，A的系统误差小而偶尔误差大，即对的度高而精密度低；B的系统误差大而偶尔误差小，即对的度低而精密度高；C的系统误差和偶尔误差都小，表达精确度（精确度）高。固然实验测量中没有像靶心那样明确的真值，而是设法去测定这个未知的真值。图21 精密度、对的度、精确度含义示意图对于实验测量来说，精密度高，对的度不一定高。对的度高，精密度也不一定高。但精确度（精确度）高，必然是精密度与对的度都高。2.2误差的表达措施 测量误差分为测量点和测量列（集合）的误差。它们有不同的

9、表达措施。2.2.1测量点的误差表达1绝对误差D测量集合中某次测量值与其真值之差的绝对值称为绝对误差。 （2-6）即 式中：真值，常用多次测量的平均值替代； 测量集合中某测量值2相对误差Er绝对误差与真值之比称为相对误差 （2-7）相对误差常用百分数或千分数表达。因此不同物理量的相对误差可以互相比较，相对误差与被测之量的大小及绝对误差的数值均有关系。3引用误差仪表量程内最大示值误差与满量程示值之比的百分值。引用误差常用来表达仪表的精度。2.2.2测量列（集合）的误差表达1范畴误差范畴误差是指一组测量中的最高值与最低值之差，以此作为误差变化的范畴。使用中常应用误差的系数的概念。 （2-8）式中：

10、最大误差系数； 范畴误差； 算术平均值。范畴误差最大缺陷是使只以决于两极端值。而与测量次数无关。2算术平均误差算术平均误差是表达误差的较好措施，其定义为 =， （2-9）式中：观测次数； 测量值与平均值的偏差，。算术平均误差的缺陷是无法表达出各次测量间彼此符合的状况。3原则误差原则误差也称为根误差。 （2-10）原则误差对一组测量中的较大误差或较小误差感觉比较敏捷，成为表达精确度的较好措施。上式合用无限次测量的场合。实际测量中，测量次数是有限的，改写为 （2-11）原则误差不是一种具体的误差，的大小只阐明在一定条件下等精度测量集合所属的任一次观测值对其算术平均值的分散限度，如果的值小，阐明该测

11、量集合中相应小的误差就占优势，任一次观测值对其算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大。算术平均误差和原则误差的计算式中第次误差可分别代入绝对误差和相对误差，相对得到的值表达测量集合的绝对误差和相对误差。上述的多种误差表达措施中，不管是比较多种测量的精度或是评估测量成果的质量，均以相对误差和原则误差表达为佳，而在文献中原则误差更常被采用。2.2.3仪表的精确度与测量值的误差1电工仪表等某些仪表的精确度与测量误差这些仪表的精确度常采用仪表的最大引用误差和精确度的级别来表达。仪表的最大引用误差的定义为最大引用误差= 100% （2-12）式中仪表显示值的绝对误差指在规定的正常状况下。被测参数的测量

12、值与被测参数的原则值之差的绝对值的最大值。对于多档仪表，不同档次显示值的绝对误差和程量范畴均不相似。式（2-12）表白，若仪表显示值的绝对误差相似，则量程范畴愈大，最大引用误差愈小。国内电工仪表的精确度级别有七种：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。如某仪表的精确度级别为2.5级，则阐明此仪表的最大引用误差为2.5%。在使用仪表时，如何估算某一次测量值的绝对误差和相对误差？设仪表的精确度级别P级，其最大引用误差为10%。设仪表的测量范畴为仪表的示值为，则由式（2-12）得该示值的误差为 （2-13）式（2-13）表白：（1）若仪表的精确度级别P和测量范畴已固定，则测量的示值

13、愈大，测量的相对误差愈小。（2）选用仪表时，不能盲目地追求仪表的精确度级别。由于测量的相对误差还与有关。应当兼顾仪表的精确度级别和两者。2天平类仪器的精确度和测量误差这些仪器的精度用如下公式来表达： 仪器的精密度= （2-14）式中名义分度值指测量时读数有把握对的的最小分度单位，即每个最小分度所代表的数值。例如TG3284型天平，其名义分度值（感量）为0.1毫克，测量范畴为0200克，则其精确度= （2-15）若仪器的精确度已知，也可用式（2-14）求得其名义分度值。使用这些仪器时，测量的误差可用下式来拟定： （2-16）3测量值的实际误差由于仪表的精确度用上述措施所拟定的测量误差，一般总是比

14、测量值的实际误差小的多。这是由于仪器没有调节到抱负状态，如不垂直、不水平、零位没有调节好等，会引起误差；仪表的实际工作条件不符合规定的正常工作条件，会引起附加误差；仪器通过长期使用后，零件发生磨损，装配状况发生变化等，也会引起误差；也许存在有操作者的习惯和偏向所引起的误差；仪表所感受的信号事实上也许并不等于待测的信号；仪表电路也许会受到干扰等。综上所述，测量值实际误差大小的影响因素是诸多的。为了获得较精确的测量成果，需要有较好的仪器，也需要有科学的态度和措施，以及夯实的理论知识和实践经验。2.3“过错”误差的舍弃这里加引号的“过错”误差与前面提到真正的过错误差是不同的，在稳定过程，不受任何人为

15、因素影响，测量出少量过大或过小的数值，随意地舍弃这些“坏值”，以获得实验成果的一致，这是一种错误的做法，“坏值”的舍弃要有理论根据。如何判断与否属于异常值？最简朴的措施是以三倍原则误差为根据。从概率的理论可知，不小于（均方根误差）的误差所浮现的概率只有0.3%，故一般把这一数值称为极限误差，即 （2-17）如果个别测量的误差超过，那么就可以觉得属于过错误差而将舍弃。重要的是如何从有限的几次观测值中舍弃可疑值的问题，由于测量次数少，概率理论已不合用，而个别失常测量值对算术平均值影响很大。有一种简朴的判断法，即略去可疑观测值后，计算其他各观测值的平均值及平均误差，然后算出可疑观测值与平均值的偏差如

16、果 则此可疑值可以舍弃，由于这种观测值存在的概率大概只有千分之一。2.4间接测量中的误差传递在许多实验和研究中，所得到的成果有时不是用仪器直接测量得到的，而是要把实验现场直接测量值代入一定的理论关系式中，通过计算才干求得所需要的成果，既间接测量值。由于直接测量值总有一定的误差，因此它们必然引起间接测量值也有一定的误差，也就是说直接测量误差不可避免地传递到间接测量值中去，而产生间接测量误差。误差的传递公式：从数学中懂得，当间接测量值与直接值测量值有函数关系时，即 则其微分式为：（2-18）（2-19）根据式（2-18）和（2-19），当直接测量值的误差很小，并且考虑到最不利的状况，应是误差累积和

17、取绝对值，则可求间接测量值的误差为：（2-20）（2-21）这两个式子就是由直接测量误差计算间接测量误差的误差传递公式。对于原则差的传则有：（2-22）式中，等分别为直接测量的原则误差、为间接测量值的原则误差。上式在有关资料中称之为“几何合成”或“极限相对误差”。现将计算函数的误差的多种关系式列表如下：函数式的误差关系表数学式误 差 传 递 公 式最大绝对误差最大相对误差2.5误差分析在阻力实验中的具体应用误差分析除用于计算测量成果的精确度外，还可以对具体的实验设计予与先进行误差分析，在找到误差的重要来源及每一种因素所引起的误差大小后，对实验方案和选用仪器仪表提出有益的建议。例2-1 本实验测

18、定层流Re关系是在Dg6（公称径为6mm）的小铜管中进行，因内径大小，不能采用一般的游标卡尺测量，而是采用体积法进行直径间接测量。截取高度为400mm的管子，测量这段管子中水的容积，从而计算管子的平均内径。测量的量具用移液管，其体积刻度线相称精确，并且它的系统误差可以忽视。体积测量三次，分别为11.31、11.26、11.30（毫升）。问体积的算术平均值、平均绝对误差D、相对误差Er为多少？解：算术平均值 平均绝对误差相对误差 例2-2要测定层流状态下，公称内径为6mm的管道的摩擦系数（参见流体阻力实验），但愿在Re =200时，的精确度不低于4.5%，问实验装置设计与否合理？并选用合适的测量

19、措施和测量仪器。解：的函数形式是：=式中：、被测量段前后液注读数值mH2O： 流量m3/s： 被测量段长度m。原则误差：Er()=规定Er()4.5%,由于所引起的误差不不小于，故可以略去不考虑。剩余三项分误差，可按等效法进行分派，每项分误差和总误差的关系：Er()=4.5%每项分误差 mi=流量项的分误差估计：一方面拟定值这样小的流量可以采用500ml的量筒测其流量，量筒系统误差很小，可以忽视，读数误差为，计时用的秒表系统误差也可忽视，开停秒表的随机误差估计为秒，当Re=200时，每次测量水量约为450ml，需时间48秒左右。流量测量最大误差为： 式中具体数字阐明误差较大，可以忽视。因此流量

20、项的分误差： 没有超过每项分误差范畴。d 的相对误差规定：由例2-1懂得管径由体积法进行间接测量。已知管高度为400mm，绝对误差0.5mm为保险起见，仍采用几何合成法计算的相对误差。由例2-1已计算出的相对误差为0.18% 代入具体数值： 也没有超过每项分误差范畴。压差的相对误差：单管式压差计用分度为1mm的尺子测量，系统误差可以忽视，读数随机绝对误差为0.5mm。 压差测量值与两测压点间的距离成正比：式中：为平均流速m/s。由上式可算出的变化对压差相对误差的影响（见下表）。50010001500153045606.73.32.21.6由表中可见，选用可满足规定，若实验采用其相对误差为：总误

21、差：Er()= =通过以上误差分析可知：（a）为实验装置中两测点间的距离的选定充足提供了根据。（b）直径的误差，因传递系数较大（等于5），对总误差影响较大，但所选测量的方案合理，这项测量精确度高，对总误差影响反而下降了。（c）既有的测量误差显得过大，其误差重要来自体积测量，因而若改用精确度更高一级的量筒，则可以提高实验成果的精确度。例2-3若选用1.796m，水温20 ，测得出水量为450ml时，所需时间为319秒，当Re=300时，所测的相对误差为多少？解：由例2知 Er()=成果表白，由于压差下降，压差测量的相对误差上升，致使测量的相对误差增大。当Re=300时，的理论值为，如果实验成果与此值有差别（例如=0.186或=0.240），并不一定阐明的测量值与理论值不符，要看偏差多少？象括号中的这种偏差是测量精密度不高引起的，如果提高压差测量精度或者增长测量次数并取平均值，就有也许与理论值相符。以上例子充足阐明了误差分析在实验中的重要作用。