课题三十一傅立叶级数

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1、第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数【重、难点】【重、难点】【授课时数授课时数】【学习目标】【学习目标】总时数总时数：4学时学时.难点：难点：正确求解函数的傅立叶级数，由实例讲解方法。正确求解函数的傅立叶级数，由实例讲解方法。1、知道傅立叶级数的概念和傅立叶级数的复数形式；、知道傅立叶级数的概念和傅立叶级数的复数形式；2、会将周期分别为、会将周期分别为 、的函数展开成傅立叶级数的函数展开成傅立叶级数；3、会求定义在、会求定义在 上的函数作奇（偶）延拓后的傅立叶级上的函数作奇（偶）延拓后的傅立叶级数。数。

2、2l 2,0l 重点：重点：傅立叶级数的概念，周期为傅立叶级数的概念，周期为 的函数展开成傅立叶的函数展开成傅立叶级数级数，由一类特殊级数引出。，由一类特殊级数引出。2第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波 tttu0,10,1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt otu11第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一

3、 傅立叶傅立叶级数级数tusin4 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数)3sin31(sin4ttu 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数)5sin513sin31(sin4tttu 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技

4、术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数)7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数二、三角级数二、三角级数,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx.,上的积分是零积在任意两个不同函数的乘,0cos nxdx,0sin nxdx),3,2,1(n第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技

5、术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数,0sinsin nmnmnxdxmx,0coscos nmnmnxdxmx.0cossin nxdxmx),2,1,(nm其其中中第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数)sin()sin(21cossin)1()sin()sin(21sincos)2()cos()cos(21coscos)3()cos()cos(21sinsin)4(第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室

6、课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 10)sin()(nnntnAAtf谐波分析谐波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 这样的这样的定义定义形如形如级数叫做级数叫做.第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数问题问题:(1)若能展开成三角级数若能展开成三角级数,是什么是什么?iiba,(2)展开的条件是什么展开的条件是什么?10)sincos(2)(kkkkxbkxa

7、axf若有若有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk)sincos(2)(10 ,2)(的函数是周期为设xf第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 nxdxa

8、n2cos,na nxdxxfancos)(1),3,2,1(n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1),3,2,1(n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk,nb第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 ),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2nnnnxbnxaa形如形如这样的这样的级数叫做级数叫做.第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川

9、职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数(1 1)当当x是是)(xf的的连连续续点点时时,级级数数收收敛敛于于)(xf;.2)0()0(xfxf第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数解解所给函数满足傅立叶级数条收敛件所给函数满足傅立叶级数条收敛件.),2,1,0(处处不不连连续续在在点点 kkt2mmEE 收敛于收敛于2)(mmEE ,0 otumE mE第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题

10、三十一 傅立叶傅立叶级数级数).(,tukt收敛于收敛于时时当当 和函数图象为和函数图象为 ntdttuancos)(1 00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm),2,1,0(0 n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmmotumE mE第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数)cos1(2 nnEm)1(12nmnE ,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2,0;(tt所求函数的傅氏

11、展开式为所求函数的傅氏展开式为第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数解解如图所示，由傅立叶系数公式，得如图所示，由傅立叶系数公式，得xy0 2 2 dxxfa)(10 001)(1xdxdxx,第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn ,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknk 第八章第八

12、章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx,0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)(x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为),3,2,1(n第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数解解 所给函数满足收敛定理的条件所给函数满足收敛定理的条件.,),2,1,0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)0()0(ff收敛于收敛于2)(,

13、0),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象),2,1,0(,0 nan第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn),2,1(n)3sin31

14、2sin21(sin2)(xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;(xx第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 观察两函数图形观察两函数图形第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数播放播放1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏

15、级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级

16、数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开

17、式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的

18、傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的

19、傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为

20、2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.

21、周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1.三角级数三角级数2.傅里叶系数傅里叶系数3.傅立叶级数傅

22、立叶级数4.周期为周期为2的的函数的傅氏展函数的傅氏展开式开式5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数思考题思考题.,)()(,)(上定义的函数成为才能使应如何选择上定义的函数是在设BAtftFBAbaxf思考题解答思考题解答,)(bBAaBA 应使应使.2,2abBabA 即即第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数练一练练一练解解所给函数满足收敛定理的条件所给函

23、数满足收敛定理的条件.,),2,1,0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)0()0(ff收敛于收敛于2)(0,2),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数dxxfa)(10和函数图象为和函数图象为 2 2 3 3xy0).(,22,012,22Nkknknn01xdx,2nxdxxfancos)(10cos1nxdxx02cossin1nnxnnxx)cos1(12nn第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院

24、数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数nxdxxfbnsin)(10sin1nxdxx02sincos1nnxnnxx02sincos1nnxnnxxnncos)3sin313cos32(2sin21)sincos2(4)(2xxxxxxf),3,;(xx).()1(1Nnnn)5sin515cos52(4sin412xxx第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数,2lT .2lT 式为则它的傅里叶级数展开定理的条件满足收敛的周期函数设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnb

25、lxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入下面傅氏级数中代入下面傅氏级数中l 2第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数为为其中系数其中系数nnba,),2,1,0(,cos)(1 ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1 ndxlxnxflblln例例1中的函数是奇函数，它的展开式中只有正弦项，中的函数是奇函数，它的展开式中只有正弦项，而例而例2中的函数是偶函数，它的展开式中只有常数项和中的函数是偶函数，它的展开式中只有常数项和余弦项，一般地，有下面的结论：余弦项

26、，一般地，有下面的结论：第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数,)()1(为为奇奇函函数数如如果果xf那么有那么有;sin)(1nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数),2,1(n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf那么有那么有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其中系数其中系数),2,1,0(n奇（或偶）函数的傅立叶级数奇（或偶）函数的傅立叶级数第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业

27、技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数解解因此有由于,2l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk,0 202sin21xdxnkbn)cos1(nnk na),2,1(n第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数,6,4,20,5,3,12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf),4,2,0

28、;(xxk2 xy2044 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数解解函数满足收敛定理的条件函数满足收敛定理的条件,在整个数轴上连续在整个数轴上连续.,)(为偶函数为偶函数tu,0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E),2,1(n第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12

29、,02,1)2(42knknkE当当当当),2,1(k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1(n第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE,0)6cos3514cos1512cos3121(4)(tttEtu)(t.142cos21 212nnntE第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数).(2,0)(xFllxf函数为周期的延拓成以上定义在设,0,)

30、(0,)()(xlxglxxfxF令),()2(xFlxF且则有如下两种情况则有如下两种情况.偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数奇延拓奇延拓:)()(xfxg ,0),(0,00,)()(xlxfxlxxfxF则xy0ll的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf1sin)(nnlxnbxf)0(lx 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数偶延拓偶延拓:)()(xfxg ,0,)(0,)()(x

31、lxflxxfxF则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf10cos2)(nnlxnaaxf)0(lx xy0ll第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.,)(进进行行奇奇延延拓拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn ,6,4,22,5,3,122nnnn当当当当第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数3sin)2(312si

32、n2sin)2(21 xxxx)0(x5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2xxxxxy 1 xy第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数(2)(2)求余弦级数求余弦级数.,)(进进行行偶偶延延拓拓对对xf 00)1(2dxxa,2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn ,5,3,14,6,4,202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0(x第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室

33、课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数解解,10 xz作变量代换作变量代换155 x,55 z)10()(zfxf),(zFz ,)55()(的定义的定义补充函数补充函数 zzzF,5)5(F令令)10()(TzF作周期延拓作周期延拓然后将然后将,收敛定理的条件这拓展的周期函数满足).()5,5(zF内收敛于内收敛于且展开式在且展开式在 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数

34、学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数x)(zFy5 501510),2,1,0(,0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1(nn),2,1(n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55(z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155(x第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数以以2L为周期的函数的傅里叶级数为为周期的函数的傅里叶级数为),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn ),2,1

35、,0(cos)(1 ndxlxnxflalln),3,2,1(sin)(1 ndxlxnxflblln第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数代入欧拉公式代入欧拉公式,2cosititeet ,2sinieetitit )sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 10222nlxnilxninlxnilxnineeibeeaa 10222nlxninnlxninneibaeibaa第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅

36、立叶级数级数),3,2,1(n,)()(10nlxninlxnineCeCCxf,200aC 令令,2nnnibaC ,2nnnibaC 于是有于是有第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数,)(lxninneCxf),2,1,0()(21 ndxexflClllxninnC|nCnA.|2|nnCA 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数解解 1121dxeecxinxn 11)1(21dxexincoscos112

37、1122 nenenin,)1(2)1)()1(221nineen.)1(2)1)()1()(221xinnnenineexf),2,1,0,12(kkx第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数2.2.非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓3.1.以以2l为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数小结小结(正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数)(奇延拓和偶延拓奇延拓和偶延拓)第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数练一练练一

38、练解解因此有是偶函数由于,)(xf函数函数)(xf的波形图如下图所示的波形图如下图所示xy0-4-3-2-11234第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数1020212dxxa1033x,31102cos212xdxnxan1033222sin2cos2sinnxnnxnxnxnx),2,1(2)1(22nnn0nb),2,1(n),3cos312cos21cos(261)(222xxxxf).(x第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一

39、傅立叶傅立叶级数级数nxdxxfbnsin)(10sin1nxdxx02sincos1nnxnnxx02sincos1nnxnnxxnncos)3sin313cos32(2sin21)sincos2(4)(2xxxxxxf),3,;(xx).()1(1Nnnn)5sin515cos52(4sin412xxx第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题三十一课题三十一 傅立叶傅立叶级数级数（一）（一）P128习题习题8.3；（二）（二）P130习题习题8.4.通过本课题学习，学生应该达到：通过本课题学习，学生应该达到：1、会将周期分别为、会将周期分别为 、的函数展开成傅立叶的函数展开成傅立叶级数级数；2、会求定义在、会求定义在 上的函数作奇（偶）延拓后的上的函数作奇（偶）延拓后的傅立叶级数。傅立叶级数。2l 2,0l【授课小结授课小结】【课后练习课后练习】