定积分不等式

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1、第三章 一元积分学第三节 定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一种较难的问题，措施多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也诸多。总的说来：（1）重要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算措施外，如下几种简朴的不等式也是有用的：（i）若，则 .（ii）.（iii）若,则.(iv)(柯西不等式)(2)重要用微分学的知识,涉及前面己讲过的运用微分学知识证明不等式的一切措施.(3)运用二重积分、级数等值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到多种知识和措施例判断积分的符号分析：这个积分值是求不出来的如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么

2、积分值的符号很容易判断如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负状况将积分区间提成部分区间，然后运用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（事实上是比较积分值的绝对值）本题中被积函数在积分区间上有正、有负，先作换元：，把积分变为后，问题更清晰，因而想到至此积分的符号凭直觉已经能判断了但严格阐明还需做某些工作，上式右端两个积分的积分区间不同样，为了以便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较有了这些分析和思路后，解答就容易了解：令，则对上式右端后一积分换元得从而 注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（）将积分区间提成部分区间（特别是等分区间，特别是

3、二等分）（）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相似积分区间上的积分，然后比较例设，证明：分析:： 从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不同样，前面的积分可用教材上简介的一种等式变为上的积分，再用柯西不等式便可得结论。解：例设在上有一阶持续导数，且，证明：（）（）分析：（）该不等式事实上给出了左边积分的一种界。若令，则有，即给出了导数的界，再加条件，可估计出，进而估计出积分的界。（）不等式两边分别有和，而等式可将两者联系起来，这里要根据具体问题具体选择，本题中容易想到证明：（）令，由拉氏中值定理知从而因此 （），则故注：（）中，若将条件改为(i)，结论仍成立，(i

4、i) ,右端改为,(iii) 且,右端改为,此外本题也可运用等式去证:因此(2)中右边作为左边积分的一种界有点粗(证明过程中能感觉到这一点),我们可以更精细一点：不做(2)的证明过程中的第二步放大,便可证出上面结论：,再分部即可例设在上有二阶持续导数，证明：措施一：运用上一节中的例10中的（2），或练习题21可证出结论。措施二：由泰勒公式有两边在上积分并注意到得，从而得措施三：令，则，且，由泰勒公式有： （1） （2）（1）（2）得因此 例设在上持续且单调增长，求证：分析：本题有多种证明措施，思路一：这里有两个参数，把改成变量，欲证左右两边均是函数，可运用导数这一工具去证明思路二：变形为被积函

5、数中因子有关积分区间中点具有某种对称性，而又单调，因此可想到前面简介的运用对称性计算积分的有关公式去解决思路三：基于思路二的考虑，将积分区间二等分，然后用积分中值定理或其他措施去证思路四：由于故就一目了然思路五：变形为那么看过例6后就懂得怎么做了证：令，则且从而取，便得，结论得证或：（或：）或：注：第一种措施我们称之为变易常数法，即把某个常数（在积分中一般是积分上限或下限）换成变量，从而化为一种函数不等式，再运用微分学的知识及其他知识去证明，这是一种常用的技巧。本题若把条件“持续且单调增长”改为“单调且有界”，结论仍成立。但变易常数法不能用（为什么？）。例6设在上持续且单调增长，求证：分析：右

6、端浮现了两个积分，若将两个积分的积分变量换成不同符号则可化为二重积分：而左边亦可化为二重积分：这样就化为二重积分的比较了。证：令 则 同样可得 两式相加得 故 结论得证。注：本题是通过化为二重积分来证明，这也是有用的措施。仔细体会这个证明过程并用此措施去证一下柯西不等式及上一例题。凹凸性及平均值等式例7设在上持续，且为凹函数即对，及有证明：证明：从而得左过得不等式，下证右过不等式，有从而两边积分得于是得右过不等式注：能看出该不等式的几何意义吗？个正数的算术平均、几何平均、调和平均有如下关系：我们把以上关系推广到积分形式：设正值持续，则（）上面不等式中的第一项称为在上的调和平均，第二项称为在上的

7、几何平均，第三项称为在上的算术平均还可推广到加权平均的形式：，其中为正值持续函数（）下面证一下（1）对于任意，有取，则，两边在上积分，并注意到不等式右边最后一项的积分为零，得即下证左过不等式：左过不等式等价于，这就是右边不等式。也可以这样去证（本质上相似），。对于任意，有取，则，两边在上积分，并注意到不等式右边最后一项的积分为零，得（）的证明与（1）类似。对于任意，有取，则，从而两边在上积分，并注意到不等式右边最后一项的积分为零，得即把右边不等式的换成，便得上式分析上面证明过程，可以发现核心用到了：的二阶导不小于零及因此有下面一般的结论：设在上持续，且，在上有二阶导数，且，则（）更一般情形是设

8、在上持续，且，在上有二阶导数，且，则（4）注：，则上面不等式变号同窗可仿（2）的证明去证一下（3），（4）练习题: 证明:(,而) 证明: （左右，然后用运用对称性计算积分的有关公式） 证明: （通过换元将左、右积分分别比为和，然后比较被积函数的大小便可得结论） 设表达椭圆的周长，证明：（由弧长公式可得，由可得左边不等式，再用积分的柯西不等式可得右边不等式） 设在上有一阶持续导数，证明：（若在上不变号，不等式成立；若变号则存在，使得，由，可得结论） 设在上持续可导，证明对，有（由积分中值定理知，再由可得结论） 设在上持续可导，且，证：（运用） 设在上持续可导，且，证：（,再用柯西不等式) 设在

9、上持续可导，且，证：（令，运用导数证明）（）设在上有二阶持续导数，且，证明：（）设在上有阶持续导数，证明：（1）运用上一节中例10的（1），（2）是（1）的推广，先证明：，其中）设在上有二阶持续导数，且证明：对有（左）设在上有二阶持续导数，且，证明：（，运用上题有而当时总有）设在上持续可导，且，证明：（左而）14设在上持续且单调增长，且持续，求证：15设在上持续，且，证明：（左边不等式可用二重积分或柯西不等式去证，左边不等式与条件“”无关，但需“”。右边不等式的证明有一定难度：）设在上持续，且单调减少，证明：（用二重积分证明）证明：（，其中，便可得左边不等式当 时有，故两边积分可得右边不等式）设在上有二阶导数，且，在上持续，且，证明：（本题是均值不等式中结论（）的特例）设在上有二阶导数，且，证明：（本题可视为上题的特例）设在上持续，且，证明：（可视为18题的特例，其中，也可用二重积分证明）