第2章第9节函数模型及其应用

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1、20092013年高考真题备选题库第2章 函数、导数及其应用第9节 函数模型及其应用 考点一 函数模型的实际应用1（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_(m)解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力如图，过A作AHBC于H，交DE于F，易知AFxFH40x.则Sx(40x)2，当且仅当40xx，即x20时取等号所以满足题意的边长x为20(m)答案：202（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积

2、有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0

3、r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解：(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0r3，所以c20，当r30时，r.令 m，则m0.所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，当r(0,

4、2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r . 考点二 函数与其他知识的交汇1（2013湖南，5分）设函数f(x)axbxcx，其中ca0，cb0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_；(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1,2)，使f(x)0.解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含

5、义、零点存在性定理及推理论证能力(1)由题设f(x)0，ab2axcxx，又abc，abxx，x0，所以x0c1，又01,0，xxx1，即f(x)0，所以正确；由(1)可知正确；由ABC为钝角三角形，所以a2b2c2，所以f(2)c，所以1，所以f(1)0，由零点存在性定理可知正确答案：x|00，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根

6、x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1xx2因此区间I，I的长度为.(2)设d(a)，则d(a).令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或 a1k处取得而1，故d(1k)1，p0)(1)判断函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；(2)若存在m0,1，使h(m)m，称m是函数h(x)的中介元记p(nN)时h(x)的中介元为xn，且Sni，若对任意的nN，都有Sn1，p0，所以当x(0,1)时，g(x)1且0时，由(*)得x(0,1) 或x0,1；得中介元xn()n.综合(

7、)()：对任意的1，中介元为xn()n.(nN)，于是，当1时，有Sn()i1()n，当n无限增大时，()n无限接近于0，Sn无限接近于，故对任意的nN，Sn成立等价于，即3，)(3)当0时，h(x)(1xp)，中介元为xp()，()当01时，依题意只需(1xp)1x在x(0,1)时恒成立，也即xp(1x)p1在x(0,1)时恒成立，设(x)xp(1x)p，x0,1，则(x)pxp1(1x)p1，由(x)0得x，且当x(0，)时，(x)0，又因为(0)(1)1，所以当x(0,1)时，(x)0，a0.过M(a，b)作L的两条切线l1，l2，切点分别为E(p1，p)，E(p2，p)，l1，l2与y

8、轴分别交于F，F.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a，b)X |p1|p2| (a，b)；(3)设D(x，y)|yx1，y(x1)2当点(p，q)取遍D时，求(p，q)的最小值(记为min)和最大值(记为max)解：(1)证明：过点A的切线方程是yp0xp，所以B(0，p)，Q在线段AB上，所以qp0pp(|p|p0|)，所以现方程为x2pxp0pp0，可得x1p0，x2pp0，因为p0、p同号，易得(p，q).(2)证明：yx，易得l1：ypp1(xp1)，即yp1xp，M(a，b)l1，bp1ap且0|a|p2|.反之，也成立故M(a，b)X |p1|p2|，由(1)证可知M(

9、a，b)X(a，b)，当(a，b)时，逆推(1)证也可得M(a，b)l1X，综上，M(a，b)X |p1|p2| (a，b).(3)由于点(p，q)必在曲线f(x)x2pxq上，故此题即求当函数f(x)x2pxq经过D时，方程f(x)0的根的最大值与最小值易求得l：yx2在点(2,1)处的切线方程为yx1，由前证可知：当点(p，q)(x，y)|yx1时恒有(p，q)1，令f(x)0可得x2pxq0，则x(p，q)，点(p，q)D，(p1)2qp1(p1)254q4p4，(p2)2p24q2p4，1(p，q)，而当q(p1)2时p24q2p4，(p，q)，设g(x)(0x2)，令t，x(0t2)，故g(t)t2t1(t1)2，1g(x)，即1(p，q)，min1，max.